Многогранник Шёнхардта
| многогранник Шёнхардта | |
 Многогранник Шёнхардта | |
| Тип | |
|---|---|
| Грани | |
| Рёбра |
12 |
| Вершины |
6 |
| Свойства |
Невыпуклый |
В геометрии многогранник Шёнхардта — это простейший невыпуклый многогранник, который нельзя триангулировать тетраэдрами без добавления новых вершин. Многогранник назван именем немецкого математика Эриха Шёнхардта[de], построившего его в 1928 году.
Содержание
Построение
Многогранник Шёнхардта можно построить с помощью двух конгруэнтных правильных треугольников на двух параллельных плоскостях, таких, что прямая, проведённая через середины треугольников, перпендикулярна плоскостям. Два треугольника должны быть повёрнуты относительно друг друга так, что они не являются ни параллельным переносом друг друга, ни поворотом на 180º.
Выпуклая оболочка этих двух треугольников образует выпуклый многогранник, который комбинаторно эквивалентен правильному октаэдру. Наряду с рёбрами исходных треугольников, многогранник имеет шесть рёбер, соединяющих эти два треугольника, двух различных длин и три внутренних диагонали. Многогранник Шёнхардта получается удалением более длинных соединяющих рёбер и заменой их тремя диагоналями выпуклой оболочки.
Многогранник Шёнхардта можно образовать также удалением трёх тетраэдров из выпуклой оболочки. Каждый удаляемый тетраэдр является выпуклой оболочкой четырёх вершин двух треугольников, по два от каждого. Это удаление приводит заменой длинных соединяющих ребер тремя новыми рёбрами с вогнутыми двугранными углами, что даёт невыпуклый многогранник.
Описание
Многогранник Шёнхардта комбинаторно эквивалентен правильному октаэдру. То есть, его вершины, рёбра и грани можно взаимно однозначно сопоставить вершинам, рёбрам и граням правильного октаэдра. Но, в отличие от правильного октаэдра, три ребра имеют вогнутые двугранные углы и эти три ребра образуют совершенное паросочетание графа октаэдра. Этот факт существенен для доказательства отсутствия триангуляризации.
Шесть вершин многогранника Шёнхардта можно использовать для получения пятнадцати неупорядоченных пар вершин. Двенадцать из этих пятнадцати пар образуют рёбра многогранника — шесть являются рёбрами двух правильных треугольных граней, а шесть рёбер соединяют эти два треугольника. Оставшиеся три ребра образуют диагонали многогранника, но они лежат полностью вне многогранника.
Невозможность триангуляции
Невозможно разбить многогранник Шёнхардта на тетраэдры, вершины которых являются вершинами многогранника. Более того, не существует тетраэдра, полностью лежащего внутри многогранника Шёнхардта и имеющего вершинами вершины многогранника. Действительно, среди любых четырёх вершин многогранника Шёнхардта по меньшей мере одна пара должна быть диагональю многогранника, а диагонали полностью лежат вне многогранника.
Приложения
Рупперт и Зайдель[1] использовали многогранник Шёнхардта как основу доказательства NP-полноты проверки, что невыпуклый многогранник можно триангулизировать.
Вариации и обобщения
- Как показал Рамбо[2], существуют многогранники, комбинаторно эквивалентных антипризмам, подобные многограннику Шёнхардта — их нельзя триангулировать.
Эти многогранники можно получить соединением правильных k-угольников в двух параллельных плоскостях, повёрнутых относительно друг друга таким образом, что k из 2k рёбер, соединяющих два k-угольника, имеют вогнутые двугранные углы.
- Икосаэдр Йенсена — другой многогранник, который нельзя не допускает триангуляции без дополнительных вершин.
- В 1948 году Бэйджмил[3] построил многогранник, который также как и многогранник Шёнхардта не имеет внутренних диагоналей.
- Тетраэдр и многогранник Часара не имеют диагоналей вообще — каждая пара вершин в этих многогранниках является ребром.
- Остаётся неясным вопрос о существовании других многогранников (с границами в виде многообразия) без диагоналей[4], хотя существуют поверхности без диагоналей с любым числом вершин, большим пяти, но их границы не являются многообразиями[5][6].
Смотри также
Напишите отзыв о статье "Многогранник Шёнхардта"
Примечания
Литература
- F. Bagemihl On indecomposable polyhedra // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1948. — Т. 55, вып. 7. — С. 411—413. — DOI:10.2307/2306130..
- J. Rambau. [www.msri.org/communications/books/Book52/files/27rambau.pdf Combinatorial and computational geometry]. — Cambridge: Cambridge University Press, 2005. — С. 501—516.
- J. Ruppert, R. Seidel. [gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=214858 On the difficulty of triangulating three-dimensional Nonconvex Polyhedra]. — Discrete Comput. Geom.. — 1992. — Т. 7. — С. 227—253. — DOI:10.1007/BF02187840
- E. Erich Schönhardt [gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=27796 Über die Zerlegung von Dreieckspolyedern in Tetraeder] // Math. Annalen. — 1928. — Т. 98. — С. 309—312. — DOI:10.1007/BF01451597.
- Sándor Szabó Polyhedra without diagonals // Periodica Mathematica Hungarica. — 1984. — Т. 15, вып. 1. — С. 41—49. — DOI:10.1007/BF02109370.
- Sándor Szabó Polyhedra without diagonals II // Periodica Mathematica Hungarica. — 2009. — Т. 58, вып. 2. — С. 181—187. — DOI:10.1007/s10998-009-10181-x.
- Günter M. Ziegler. Discrete Differential Geometry / A. I. Bobenko, P. Schröder, J. M. Sullivan, G. M. Ziegler. — Springer-Verlag, 2008. — Vol. 38. — С. 191—213. — (Oberwolfach Seminars). — ISBN 978-3-7643-8620-7. — DOI:10.1007/978-3-7643-8621-4_10
Ссылки
- [www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/untetra/ Three Untetrahedralizable Objects], D. Eppstein[en]. Включает вращающуюся трёхмерную модель многогранника Шёнхардта.
Отрывок, характеризующий Многогранник Шёнхардта
На площади куда поехал государь, стояли лицом к лицу справа батальон преображенцев, слева батальон французской гвардии в медвежьих шапках.В то время как государь подъезжал к одному флангу баталионов, сделавших на караул, к противоположному флангу подскакивала другая толпа всадников и впереди их Ростов узнал Наполеона. Это не мог быть никто другой. Он ехал галопом в маленькой шляпе, с Андреевской лентой через плечо, в раскрытом над белым камзолом синем мундире, на необыкновенно породистой арабской серой лошади, на малиновом, золотом шитом, чепраке. Подъехав к Александру, он приподнял шляпу и при этом движении кавалерийский глаз Ростова не мог не заметить, что Наполеон дурно и не твердо сидел на лошади. Батальоны закричали: Ура и Vive l'Empereur! [Да здравствует Император!] Наполеон что то сказал Александру. Оба императора слезли с лошадей и взяли друг друга за руки. На лице Наполеона была неприятно притворная улыбка. Александр с ласковым выражением что то говорил ему.
Ростов не спуская глаз, несмотря на топтание лошадьми французских жандармов, осаживавших толпу, следил за каждым движением императора Александра и Бонапарте. Его, как неожиданность, поразило то, что Александр держал себя как равный с Бонапарте, и что Бонапарте совершенно свободно, как будто эта близость с государем естественна и привычна ему, как равный, обращался с русским царем.
Александр и Наполеон с длинным хвостом свиты подошли к правому флангу Преображенского батальона, прямо на толпу, которая стояла тут. Толпа очутилась неожиданно так близко к императорам, что Ростову, стоявшему в передних рядах ее, стало страшно, как бы его не узнали.
– Sire, je vous demande la permission de donner la legion d'honneur au plus brave de vos soldats, [Государь, я прошу у вас позволенья дать орден Почетного легиона храбрейшему из ваших солдат,] – сказал резкий, точный голос, договаривающий каждую букву. Это говорил малый ростом Бонапарте, снизу прямо глядя в глаза Александру. Александр внимательно слушал то, что ему говорили, и наклонив голову, приятно улыбнулся.
– A celui qui s'est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Тому, кто храбрее всех показал себя во время войны,] – прибавил Наполеон, отчеканивая каждый слог, с возмутительным для Ростова спокойствием и уверенностью оглядывая ряды русских, вытянувшихся перед ним солдат, всё держащих на караул и неподвижно глядящих в лицо своего императора.
– Votre majeste me permettra t elle de demander l'avis du colonel? [Ваше Величество позволит ли мне спросить мнение полковника?] – сказал Александр и сделал несколько поспешных шагов к князю Козловскому, командиру батальона. Бонапарте стал между тем снимать перчатку с белой, маленькой руки и разорвав ее, бросил. Адъютант, сзади торопливо бросившись вперед, поднял ее.
– Кому дать? – не громко, по русски спросил император Александр у Козловского.
– Кому прикажете, ваше величество? – Государь недовольно поморщился и, оглянувшись, сказал:
– Да ведь надобно же отвечать ему.
Козловский с решительным видом оглянулся на ряды и в этом взгляде захватил и Ростова.
«Уж не меня ли?» подумал Ростов.
– Лазарев! – нахмурившись прокомандовал полковник; и первый по ранжиру солдат, Лазарев, бойко вышел вперед.
– Куда же ты? Тут стой! – зашептали голоса на Лазарева, не знавшего куда ему итти. Лазарев остановился, испуганно покосившись на полковника, и лицо его дрогнуло, как это бывает с солдатами, вызываемыми перед фронт.
Наполеон чуть поворотил голову назад и отвел назад свою маленькую пухлую ручку, как будто желая взять что то. Лица его свиты, догадавшись в ту же секунду в чем дело, засуетились, зашептались, передавая что то один другому, и паж, тот самый, которого вчера видел Ростов у Бориса, выбежал вперед и почтительно наклонившись над протянутой рукой и не заставив ее дожидаться ни одной секунды, вложил в нее орден на красной ленте. Наполеон, не глядя, сжал два пальца. Орден очутился между ними. Наполеон подошел к Лазареву, который, выкатывая глаза, упорно продолжал смотреть только на своего государя, и оглянулся на императора Александра, показывая этим, что то, что он делал теперь, он делал для своего союзника. Маленькая белая рука с орденом дотронулась до пуговицы солдата Лазарева. Как будто Наполеон знал, что для того, чтобы навсегда этот солдат был счастлив, награжден и отличен от всех в мире, нужно было только, чтобы его, Наполеонова рука, удостоила дотронуться до груди солдата. Наполеон только прило жил крест к груди Лазарева и, пустив руку, обратился к Александру, как будто он знал, что крест должен прилипнуть к груди Лазарева. Крест действительно прилип.
Русские и французские услужливые руки, мгновенно подхватив крест, прицепили его к мундиру. Лазарев мрачно взглянул на маленького человечка, с белыми руками, который что то сделал над ним, и продолжая неподвижно держать на караул, опять прямо стал глядеть в глаза Александру, как будто он спрашивал Александра: всё ли еще ему стоять, или не прикажут ли ему пройтись теперь, или может быть еще что нибудь сделать? Но ему ничего не приказывали, и он довольно долго оставался в этом неподвижном состоянии.
Государи сели верхами и уехали. Преображенцы, расстроивая ряды, перемешались с французскими гвардейцами и сели за столы, приготовленные для них.
Лазарев сидел на почетном месте; его обнимали, поздравляли и жали ему руки русские и французские офицеры. Толпы офицеров и народа подходили, чтобы только посмотреть на Лазарева. Гул говора русского французского и хохота стоял на площади вокруг столов. Два офицера с раскрасневшимися лицами, веселые и счастливые прошли мимо Ростова.
– Каково, брат, угощенье? Всё на серебре, – сказал один. – Лазарева видел?
– Видел.
– Завтра, говорят, преображенцы их угащивать будут.
– Нет, Лазареву то какое счастье! 10 франков пожизненного пенсиона.
– Вот так шапка, ребята! – кричал преображенец, надевая мохнатую шапку француза.
