Многозначное отображение

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> — произвольные множества, а <math>2^Y</math> — совокупность всех подмножеств множества <math>Y.</math> Многозначным отображением из множества <math>X</math> в <math>Y</math> называется всякое отображение <math>F : \ X \to 2^Y.</math> Обычно областью определения многозначного отображения <math>F</math> является подмножество <math>X \subset \mathbb{R}^n</math>, а областью значений — пространство <math>\Omega(Y) \subset 2^Y,</math> состоящее из непустых компактных подмножеств множества <math>Y \subset \mathbb{R}^m,</math> то есть <math>F: X \to \Omega(Y).</math>

• Пример 1. Пусть <math>X = Y = \mathbb{R}</math>. Ставя в соответствие каждому значению <math>x \in X</math> отрезок <math>[-|x|,\,|x|],</math> мы получаем многозначное отображение <math>F: \mathbb{R} \to \Omega(\mathbb{R}).</math>

• Пример 2. Пусть <math>f: [0,1] \to \mathbb{R}</math> — непрерывная функция. Положим <math>X = [\min f,+\infty]</math> и <math>Y = [0,1].</math> Ставя в соответствие каждому значению <math>x\in X</math> множество <math>M(x)=\{y\in [0,1] : f(y)\le x\},</math> мы получаем многозначное отображение <math>F: X \to \Omega(Y).</math>

• Пример 3. Контингенция и паратингенция.

Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.

Связанные определения и свойства

1. Пространство <math>\Omega(\mathbb{R}^m)</math> является метрическим с метрикой Хаусдорфа. Это позволяет ввести понятие непрерывного многозначного отображения.

2. Рассматривая для каждого <math>x \in \mathbb{R}^n</math> опорную функцию множества <math>F(x) \in \Omega(\mathbb{R}^m),</math> мы получим вещественнозначную функцию <math>c(F(x),\psi)</math> от двух аргументов: <math>x \in \mathbb{R}^n</math> и <math>\psi \in (\mathbb{R}^n)^*</math>, где звёздочка означает сопряжённое пространство.

3. Многозначное отображение <math>F</math> непрерывно тогда и только тогда, когда его опорная функция <math>c(F(x),\psi)</math> непрерывна по переменной <math>x</math> для каждого фиксированного <math>\psi</math>.

4. Многозначное отображение называется измеримым, если его опорная функция <math>c(F(x),\psi)</math> измерима по переменной <math>x</math> для каждого фиксированного <math>\psi</math>.

5. Однозначной ветвью или селектором многозначного отображения <math>F: \mathbb{R}^n \to \Omega(\mathbb{R}^m)</math> называется такая функция <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m,</math> что <math>f(x)\in F(x)</math> для любого <math>x \in \mathbb{R}^n.</math>

6. Лемма Филиппова: у любого измеримого многозначного отображения существует измеримый селектор. Лемма Филиппова имеет многочисленные приложения. В частности, она позволяет установить существование оптимального управления для широкого класса задач в теории управляемых систем.

7. Многозначное отображение <math>F: X \to \Omega(Y)</math> называется полунепрерывным сверху (по включению) в точке <math>x_0\in X</math>, если для любой окрестности множества <math>F(x_0) \in \Omega(Y)</math> (обозначим её <math>V(F(x_0))</math>) существует такая окрестность точки <math>x_0 \in X</math> (обозначим её <math>U(x_0)</math>), что <math>F(x) \subset V(F(x_0))</math> для любого <math>x \in U(x_0).</math> Многозначное отображение <math>F: X \to \Omega(Y)</math> называется полунепрерывным сверху (по включению), если оно является полунепрерывным сверху в каждой точке <math>x\in X.</math> Непрерывное многозначное отображение (определение с помощью метрики Хаусдорфа) является полунепрерывным сверху.

8. Теорема Какутани: Пусть <math>X \subset \mathbb{R}^n</math> — непустое, компактное, выпуклое подмножество и многозначное отображение <math>F: X \to \Omega(X)</math> имеет своими значениями компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным сверху по включению. Тогда отображение <math>F</math> имеет неподвижную точку <math>x_* \in X,</math> то есть <math>x_* \in F(x_*).</math> Теорема Какутани имеет многочисленные приложения в теории игр. В частности, с её помощью легко получается доказательство фундаментального результата теории игр — теоремы Нэша о существовании равновесия в бескоалиционной игре.

См. также

• Многозначная функция
• Дифференциальное включение

Литература

• Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
• Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
• Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. [www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=tm&paperid=2218&what=fullt&option_lang=rus Дифференциальные включения и оптимальное управление], — Тр. МИАН, т.169 (1985).
• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
• Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, — Наука, Москва, 1980.
• Воробьёв Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры, — Наука, Москва, 1984.

Отрывок, характеризующий Многозначное отображение

– Наташа, я тебя просила не говорить об этом. Будем говорить о тебе.
Они помолчали.
– Только для чего же в Петербург! – вдруг сказала Наташа, и сама же поспешно ответила себе: – Нет, нет, это так надо… Да, Мари? Так надо…


Прошло семь лет после 12 го года. Взволнованное историческое море Европы улеглось в свои берега. Оно казалось затихшим; но таинственные силы, двигающие человечество (таинственные потому, что законы, определяющие их движение, неизвестны нам), продолжали свое действие.
Несмотря на то, что поверхность исторического моря казалась неподвижною, так же непрерывно, как движение времени, двигалось человечество. Слагались, разлагались различные группы людских сцеплений; подготовлялись причины образования и разложения государств, перемещений народов.
Историческое море, не как прежде, направлялось порывами от одного берега к другому: оно бурлило в глубине. Исторические лица, не как прежде, носились волнами от одного берега к другому; теперь они, казалось, кружились на одном месте. Исторические лица, прежде во главе войск отражавшие приказаниями войн, походов, сражений движение масс, теперь отражали бурлившее движение политическими и дипломатическими соображениями, законами, трактатами…
Эту деятельность исторических лиц историки называют реакцией.
Описывая деятельность этих исторических лиц, бывших, по их мнению, причиною того, что они называют реакцией, историки строго осуждают их. Все известные люди того времени, от Александра и Наполеона до m me Stael, Фотия, Шеллинга, Фихте, Шатобриана и проч., проходят перед их строгим судом и оправдываются или осуждаются, смотря по тому, содействовали ли они прогрессу или реакции.
В России, по их описанию, в этот период времени тоже происходила реакция, и главным виновником этой реакции был Александр I – тот самый Александр I, который, по их же описаниям, был главным виновником либеральных начинаний своего царствования и спасения России.
В настоящей русской литературе, от гимназиста до ученого историка, нет человека, который не бросил бы своего камушка в Александра I за неправильные поступки его в этот период царствования.
«Он должен был поступить так то и так то. В таком случае он поступил хорошо, в таком дурно. Он прекрасно вел себя в начале царствования и во время 12 го года; но он поступил дурно, дав конституцию Польше, сделав Священный Союз, дав власть Аракчееву, поощряя Голицына и мистицизм, потом поощряя Шишкова и Фотия. Он сделал дурно, занимаясь фронтовой частью армии; он поступил дурно, раскассировав Семеновский полк, и т. д.».
Надо бы исписать десять листов для того, чтобы перечислить все те упреки, которые делают ему историки на основании того знания блага человечества, которым они обладают.
Что значат эти упреки?
Те самые поступки, за которые историки одобряют Александра I, – как то: либеральные начинания царствования, борьба с Наполеоном, твердость, выказанная им в 12 м году, и поход 13 го года, не вытекают ли из одних и тех же источников – условий крови, воспитания, жизни, сделавших личность Александра тем, чем она была, – из которых вытекают и те поступки, за которые историки порицают его, как то: Священный Союз, восстановление Польши, реакция 20 х годов?
В чем же состоит сущность этих упреков?
В том, что такое историческое лицо, как Александр I, лицо, стоявшее на высшей возможной ступени человеческой власти, как бы в фокусе ослепляющего света всех сосредоточивающихся на нем исторических лучей; лицо, подлежавшее тем сильнейшим в мире влияниям интриг, обманов, лести, самообольщения, которые неразлучны с властью; лицо, чувствовавшее на себе, всякую минуту своей жизни, ответственность за все совершавшееся в Европе, и лицо не выдуманное, а живое, как и каждый человек, с своими личными привычками, страстями, стремлениями к добру, красоте, истине, – что это лицо, пятьдесят лет тому назад, не то что не было добродетельно (за это историки не упрекают), а не имело тех воззрений на благо человечества, которые имеет теперь профессор, смолоду занимающийся наукой, то есть читанном книжек, лекций и списыванием этих книжек и лекций в одну тетрадку.
Но если даже предположить, что Александр I пятьдесят лет тому назад ошибался в своем воззрении на то, что есть благо народов, невольно должно предположить, что и историк, судящий Александра, точно так же по прошествии некоторого времени окажется несправедливым, в своем воззрении на то, что есть благо человечества. Предположение это тем более естественно и необходимо, что, следя за развитием истории, мы видим, что с каждым годом, с каждым новым писателем изменяется воззрение на то, что есть благо человечества; так что то, что казалось благом, через десять лет представляется злом; и наоборот. Мало того, одновременно мы находим в истории совершенно противоположные взгляды на то, что было зло и что было благо: одни данную Польше конституцию и Священный Союз ставят в заслугу, другие в укор Александру.