Многочлены Кравчука
| Многочлены Кравчука | |
| Общая информация | |
|---|---|
| Формула |
<math>\mathcal{K}^{(p)}_n(x)=(-1)^n \binom{N}{n} p^n {}_2 F_1(-n,-x;-N;1/p)</math> |
| Скалярное произведение |
<math>(f, g) = \sum\limits^N_{x=0}f(x) g(x) \sigma(x)</math>. |
| Область определения |
<math> x \in {1, 2, ... N} </math> |
| Дополнительные характеристики | |
| Названы в честь | |
Многочлены Кравчука (М. Ф. Кравчук, 1929) относятся к классическим ортогональным полиномам дискретной переменной на равномерной сетке, для которых соотношение ортогональности представляет собой не интеграл, а ряд или конечную сумму: <math>\sum\limits^N_{x=0}k^{(p)}_n(x)k^{(p)}_m(x) \sigma(x)= d_n^2,\delta_{m,n}</math>.
Здесь <math>\sigma(x)=\binom{N}{x} p^x q^{N-x}</math> — весовая функция, <math>d_n=\sqrt{\binom{N}{n}(pq)^n}</math> — квадратичная норма, <math>0<p<1, \quad 0<q<1, \quad p+q=1</math>. Для <math>p=q=1\left/2\right.</math> весовая функция с точностью до постоянного множителя <math>1\left/ 2^N\right.</math> сводится к биномиальному коэффициенту.
Рекуррентное соотношение для этих многочленов имеет вид <math>(n+1)k^{(p)}_{n+1}(x)+pq\left(N-n+1\right)k^{(p)}_{n-1}(x)= \bigl[ x+n(p-q)-pN \bigr]k^{(p)}_n (x)</math>.
Путём несложных преобразований его можно привести к форме
<math>f_{n+1}\frac{k^{(p)}_{n+1}(x)}{d_{n+1}}+f_{n}\frac{k^{(p)}_{n-1}(x)}{d_{n-1}}= \left( rx+\varepsilon n+\Delta \right)\frac{k^{(p)}_n (x)}{d_n}</math>,
где
<math>f_n=\sqrt{\frac{n(N+1-n)}{N}},\quad
r=\frac{1}{\sqrt{pqN}},\quad \varepsilon=r(p-q),\quad \Delta=-rpN.</math>
Многочлены Кравчука могут быть выражены через гипергеометрическую функцию Гаусса:
<math>k^{(p)}_n(x)=(-1)^n \binom{N}{n} p^n {}_2 F_1(-n,-x;-N;1/p)</math>
В пределе при <math>N\to\infty</math> многочлены Кравчука переходят в многочлены Эрмита:
<math>\lim\limits_{N\to\infty} \left(2/Npq\right)^{n/2}n! ;k_n^{(p)} \left( Np + \sqrt{2Npq},x \right) = H_n(x)</math>
Первые четыре полинома для простейшего случая <math>p=q=1/2</math>:
- <math>\mathcal{K}_0(x, N) = 1</math>
- <math>\mathcal{K}_1(x, N) = -2x + N</math>
- <math>\mathcal{K}_2(x, N) = 2x^2 - 2Nx + {N\choose 2}</math>
- <math>\mathcal{K}_3(x, N) = -\frac{4}{3}x^3 + 2Nx^2 - \left(N^2 - N + \frac{2}{3}\right)x + {N \choose 3}</math>
Напишите отзыв о статье "Многочлены Кравчука"
Литература
- [orthpol.narod.ru/1929.html Sur une généralisation des polynomes d’Hermite. M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 — 622] — статья, в которой впервые введены многочлены Кравчука; по ссылке доступны французский оригинал и переводы на английский и русский языки.
- А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва, «Наука», 1985.
- [orthpol.narod.ru/ Krawtchouk Polynomials Home Page] — сайт, посвященный многочленам Кравчука, содержит, в частности, обширную библиографию.
См. также
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
| ||||||
Отрывок, характеризующий Многочлены Кравчука
– Помощь дается токмо от Бога, – сказал он, – но ту меру помощи, которую во власти подать наш орден, он подаст вам, государь мой. Вы едете в Петербург, передайте это графу Вилларскому (он достал бумажник и на сложенном вчетверо большом листе бумаги написал несколько слов). Один совет позвольте подать вам. Приехав в столицу, посвятите первое время уединению, обсуждению самого себя, и не вступайте на прежние пути жизни. Затем желаю вам счастливого пути, государь мой, – сказал он, заметив, что слуга его вошел в комнату, – и успеха…Проезжающий был Осип Алексеевич Баздеев, как узнал Пьер по книге смотрителя. Баздеев был одним из известнейших масонов и мартинистов еще Новиковского времени. Долго после его отъезда Пьер, не ложась спать и не спрашивая лошадей, ходил по станционной комнате, обдумывая свое порочное прошедшее и с восторгом обновления представляя себе свое блаженное, безупречное и добродетельное будущее, которое казалось ему так легко. Он был, как ему казалось, порочным только потому, что он как то случайно запамятовал, как хорошо быть добродетельным. В душе его не оставалось ни следа прежних сомнений. Он твердо верил в возможность братства людей, соединенных с целью поддерживать друг друга на пути добродетели, и таким представлялось ему масонство.
Приехав в Петербург, Пьер никого не известил о своем приезде, никуда не выезжал, и стал целые дни проводить за чтением Фомы Кемпийского, книги, которая неизвестно кем была доставлена ему. Одно и всё одно понимал Пьер, читая эту книгу; он понимал неизведанное еще им наслаждение верить в возможность достижения совершенства и в возможность братской и деятельной любви между людьми, открытую ему Осипом Алексеевичем. Через неделю после его приезда молодой польский граф Вилларский, которого Пьер поверхностно знал по петербургскому свету, вошел вечером в его комнату с тем официальным и торжественным видом, с которым входил к нему секундант Долохова и, затворив за собой дверь и убедившись, что в комнате никого кроме Пьера не было, обратился к нему:
– Я приехал к вам с поручением и предложением, граф, – сказал он ему, не садясь. – Особа, очень высоко поставленная в нашем братстве, ходатайствовала о том, чтобы вы были приняты в братство ранее срока, и предложила мне быть вашим поручителем. Я за священный долг почитаю исполнение воли этого лица. Желаете ли вы вступить за моим поручительством в братство свободных каменьщиков?
