Многочлены Полачека
Поделись знанием:
– Предел человеческий, – говорил старичок, духовное лицо, даме, подсевшей к нему и наивно слушавшей его, – предел положен, его же не прейдеши.
– Я думаю, не поздно ли соборовать? – прибавляя духовный титул, спрашивала дама, как будто не имея на этот счет никакого своего мнения.
– Таинство, матушка, великое, – отвечало духовное лицо, проводя рукою по лысине, по которой пролегало несколько прядей зачесанных полуседых волос.
– Это кто же? сам главнокомандующий был? – спрашивали в другом конце комнаты. – Какой моложавый!…
– А седьмой десяток! Что, говорят, граф то не узнает уж? Хотели соборовать?
– Я одного знал: семь раз соборовался.
Вторая княжна только вышла из комнаты больного с заплаканными глазами и села подле доктора Лоррена, который в грациозной позе сидел под портретом Екатерины, облокотившись на стол.
Многочлены Полачека — последовательность многочленов <math>P^\lambda_n(x;\varphi),\;\lambda >0,\;0<\varphi<\pi,\;n=\{0,1,...\}</math>, которые были рассмотрены Полачеком в 1950 году.
Рекурсивное определение
<math>P^\lambda_{-1}=0</math>
<math>P^\lambda_0=1</math>
<math>nP^\lambda_n-2\left((n-1+\lambda)\cos\varphi+x\sin\varphi\right)P^\lambda_{n-1}+(n-2+2\lambda)P^\lambda_{n-2}=0</math>
Свойства
- Симметричные многочлены Полачека <math>\left(P^\lambda_n(x;\pi/2)\right)</math> ортогональны на всей вещественной оси с весом:
- <math>\frac{1}{2\pi}\frac{2^{2\lambda}}{\Gamma(2\lambda)}{|\Gamma(\lambda+ix)|}^2</math>, где <math>\Gamma</math> — гамма-функция Эйлера
- Аналог формул Родрига для многочленов Полачека:
- <math>P^\lambda_n(x;\pi/2)G(\lambda,x)=\frac{{-1}^n}{n!}\delta^nG\left(\lambda+\frac{n}{2}\right)</math>, где <math>G(\lambda,x)=\frac{\Gamma(\lambda+ix)}{\Gamma(1-\lambda+ix)}e^{\pi x}</math> — мероморфная функция, а <math>\delta</math> — оператор конечной разности <math>(\delta F)(x)=F\left(x+\frac{i}{2}\right)-F\left(x-\frac{i}{2}\right)</math>
Напишите отзыв о статье "Многочлены Полачека"
Литература
- В. Н. Сорокин [mi.mathnet.ru/rus/msb/v200/i4/p113 Обобщенные многочлены Полачека] (рус.) // Матем. сб.. — 2009. — Т. 200, № 4. — С. 113—130.
|
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
| ||||||
Отрывок, характеризующий Многочлены Полачека
Находившиеся в слабо освещенной комнате неровным шопотом говорили между собой и замолкали каждый раз и полными вопроса и ожидания глазами оглядывались на дверь, которая вела в покои умирающего и издавала слабый звук, когда кто нибудь выходил из нее или входил в нее.– Предел человеческий, – говорил старичок, духовное лицо, даме, подсевшей к нему и наивно слушавшей его, – предел положен, его же не прейдеши.
– Я думаю, не поздно ли соборовать? – прибавляя духовный титул, спрашивала дама, как будто не имея на этот счет никакого своего мнения.
– Таинство, матушка, великое, – отвечало духовное лицо, проводя рукою по лысине, по которой пролегало несколько прядей зачесанных полуседых волос.
– Это кто же? сам главнокомандующий был? – спрашивали в другом конце комнаты. – Какой моложавый!…
– А седьмой десяток! Что, говорят, граф то не узнает уж? Хотели соборовать?
– Я одного знал: семь раз соборовался.
Вторая княжна только вышла из комнаты больного с заплаканными глазами и села подле доктора Лоррена, который в грациозной позе сидел под портретом Екатерины, облокотившись на стол.
