Многочлены Чебышёва

Многочлены Чебышёва первого рода
Общая информация
Формула	<math>T_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k}</math>
Скалярное произведение	<math> (f, g) = \int_{-1}^{1} {\frac{1}{\sqrt{1-x^2
Дополнительные характеристики

f(x) g(x) dx} </math>

|область =  <math>[-1, 1]</math>

|в честь = Чебышёв, Пафнутий Львович

}}

Многочлены Чебышёва второго рода
Общая информация
Формула	<math>U_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (x^2-1)^k x^{n-2k}</math>
Скалярное произведение	<math> (f, g) = \int_{-1}^{1} {\sqrt{1-x^2} f(x) g(x) dx} </math>
Область определения	<math>[-1, 1]</math>
Дополнительные характеристики
Названы в честь	Чебышёв, Пафнутий Львович

Многочле́ны Чебышёва — две последовательности ортогональных многочленов <math> T_n(x)</math> и <math> U_n(x)</math>, <math>n=\{0,1,\dots\}</math> названные в честь Пафнутия Львовича Чебышёва:

• Многочлен Чебышёва первого рода <math>T_n(x)</math> характеризуется как многочлен степени <math>n</math> со старшим коэффициентом <math>2^{n-1}</math>, который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке <math>[-1,1]</math>. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

• Многочлен Чебышёва второго рода <math>U_n(x)</math> характеризуется как многочлен степени <math>n</math> со старшим коэффициентом <math>2^n</math>, интеграл от абсолютной величины которого по отрезку <math>[-1,1]</math> принимает наименьшее возможное значение. Впервые рассмотрены в совместной работе двух учеников Чебышёва — Коркина и Золотарёва.

Многочлены Чебышёва играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышёва первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Определения

Рекуррентные формулы

Многочлены Чебышёва первого рода <math>T_n(x)</math> могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

<math>T_0(x) = 1</math>

<math>T_1(x) = x</math>

<math>T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x).</math>

Многочлены Чебышёва второго рода <math>U_n(x)</math> могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

<math>U_0(x) = 1</math>

<math>U_1(x) = 2x</math>

<math>U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x).</math>

Явные формулы

Многочлены Чебышёва являются решениями уравнения Пелля:

<math>T_n(x)^2 - (x^2-1) U_{n-1}(x)^2 = 1</math>

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

<math>T_n(x) + U_{n-1}(x)\sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^n.</math>

Из последнего тождества также следуют явные формулы:

<math>T_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}{2} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k};</math>

<math>U_n(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n+1}-(x-\sqrt{x^2-1})^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (x^2-1)^k x^{n-2k}.</math>

Соотношения

<math>U_{n+m}(x) = U_n(x)U_m(x)- U_{n-1}(x)U_{m-1}(x)</math>

<math>m=n+1, \quad U_{2n+1}(x) = 2U_n(x) [xU_n(x)- U_{n-1}(x)]</math>

<math>m=n, \quad U_{2n}(x) = [U_n(x)+ U_{n-1}(x)]\centerdot[U_n(x)- U_{n-1}(x)].</math>

<math>U_{n+1}(x)\cdot U_{n-1}(x) = [U_n(x)+1]\cdot[U_n(x)-1].</math>

<math>T_{n+1}(x)=xU_n(x)-U_{n-1}(x).</math>

Тригонометрическое определение

Многочлены Чебышёва первого рода <math>T_n(x)</math> могут быть также определены с помощью равенства:

<math>T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta).</math>

или, что почти эквивалентно,

<math>T_n(z)=\cos(n \arccos(z))</math>

Многочлены Чебышёва второго рода <math>U_n(x)</math> могут быть также определены с помощью равенства:

<math> U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}. </math>

Примеры

Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода

<math> T_0(x) = 1 \;</math>

<math> T_1(x) = x \;</math>

<math> T_2(x) = 2x^2 - 1 \;</math>

<math> T_3(x) = 4x^3 - 3x \;</math>

<math> T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \;</math>

<math> T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \;</math>

<math> T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \;</math>

<math> T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \;</math>

<math> T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \;</math>

<math> T_{n+1}(x) = 2x\cdot T_n - T_{n-1}.</math>

Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода

<math> U_0(x) = 1 \;</math>

<math> U_1(x) = 2x \;</math>

<math> U_2(x) = 4x^2 - 1 \;</math>

<math> U_3(x) = 8x^3 - 4x \;</math>

<math> U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \;</math>

<math> U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \;</math>

<math> U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \;</math>

<math> U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \;</math>

Свойства

Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:

• Многочлены чётных степеней являются чётными функциями, нечётных — нечётными функциями.
• Сумма коэффициентов многочленов Чебышёва первого рода <math>T_k(x)</math> равняется 1, а коэффициентов многочленов второго рода <math>U_k(x)</math> равняется <math>k+1</math>.
• Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> для многочленов первого рода и <math>\sqrt{1-x^2}</math> для многочленов второго рода).
• Среди всех многочленов, значения которых на отрезке <math>[-1,1]</math> не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышёва имеет:
  • наибольший старший коэффициент
  • наибольшее значение в любой точке за пределами <math>[-1,1]</math>
  • если <math>n \equiv k \pmod{2}</math>, то <math>|a_{k-1}| + |a_k| \le |t_{k}|</math>, где <math>t_k</math> — коэффициент многочлена Чебышёва первого рода, <math>a_k</math> — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.
• Нули полиномов Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.
• На концах и середине отрезка выполняются следующие соотношения:

<math>T_n(1)=1</math>	<math>T_n(-1)=(-1)^n</math>	<math>T_{2n}(0)=(-1)^n</math>	<math>T_{2n+1}(0)=0</math>
<math>U_{n}(1)=n+1</math>		<math>U_{2n}(0)=(-1)^n</math>	<math>U_{2n+1}(0)=0</math>

• Многочлен Чебышёва первого рода порядка N является частным случаем фигур Лиссажу при соотношении частот, равном N и амплитуде обоих сигналов, равной 1.

Применения

1. Теория приближений, приближение экспериментальных данных(точек) функцией.

Многочлены Чебышева используются для приближения функцией(рядом многочленов Чебышева) экспериментальных данных, для этого область определения экспериментальных данных должна быть линейно отображена в интервал ортогональности аппроксимирующих многочленов, в данном случае это многочлены Чебышева, с интервалом ортогональности <math>[-1,1]</math>.

<math>l\colon X_i\to [-1, 1]</math>, где <math>l</math> — линейное отображение, <math>X_i</math> — область определения точек.

Примером отображения <math>l</math>, отображающего заданный интервал в область ортогональности многочленов, <math>l\colon [x_{min}, x_{max}] \to [-1, 1]</math>, может быть функция:

<math>l(x) = \frac{2x - (x_{max} + x_{min})}{x_{max} - x_{min}} </math>

2. Многочлены Чебышёва применяются для расчета антенной решётки. Мощность излучения каждой антенны рассчитывается при помощи многочленов Чебышёва. Это позволяет управлять формой диаграммы направленности, а точнее соотношением амплитуды основного и боковых лепестков.

Вариации и обобщения

• Вопрос о многочленах минимальной нормы с фиксированными коэффициентами при двух старших степенях был рассмотрен позднее Золотарёвым, найденные им полиномы носят название многочлены Золотарёва.
• Многочлены Фабера

Литература

• Васильев, Н. [kvant.mccme.ru/1982/01/mnogochleny_chebyshyova_i_reku.htm Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения] / Васильев, Н., Зелевинский, А. // Квант. — 1982. — № 1. — С. 12—19.</span>
• Кампе де Ферье, Ж. Функции математической физики / Кампе де Ферье, Ж., Кемпбелл, Р., Петьо, Г. [и др.]. — М. : Физматлит, 1963.</span>
• Хованский, А. Г. [www.mccme.ru/free-books/matpros/mph.pdf Полиномы Чебышёва и их обращения] // Математическое просвещение. — 2013. — Вып. 17. — С. 93—106.</span>
• Лекция 7 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. [biblio.mccme.ru/node/2392 Математический дивертисмент]. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

Ссылки

• [www.dsmmph.org.ua/ Сайт, посвящённый методу дискретных особенностей в задачах математической физики, который основан на интерполяционных формулах с использованием полиномов Чебышёва]

Математика

Отрывок, характеризующий Многочлены Чебышёва

«Что он говорит?» подумал князь Андрей. «Да, об весне верно, подумал он, оглядываясь по сторонам. И то зелено всё уже… как скоро! И береза, и черемуха, и ольха уж начинает… А дуб и не заметно. Да, вот он, дуб».
На краю дороги стоял дуб. Вероятно в десять раз старше берез, составлявших лес, он был в десять раз толще и в два раза выше каждой березы. Это был огромный в два обхвата дуб с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюжими, несимметрично растопыренными, корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами. Только он один не хотел подчиняться обаянию весны и не хотел видеть ни весны, ни солнца.
«Весна, и любовь, и счастие!» – как будто говорил этот дуб, – «и как не надоест вам всё один и тот же глупый и бессмысленный обман. Всё одно и то же, и всё обман! Нет ни весны, ни солнца, ни счастия. Вон смотрите, сидят задавленные мертвые ели, всегда одинакие, и вон и я растопырил свои обломанные, ободранные пальцы, где ни выросли они – из спины, из боков; как выросли – так и стою, и не верю вашим надеждам и обманам».
Князь Андрей несколько раз оглянулся на этот дуб, проезжая по лесу, как будто он чего то ждал от него. Цветы и трава были и под дубом, но он всё так же, хмурясь, неподвижно, уродливо и упорно, стоял посреди их.
«Да, он прав, тысячу раз прав этот дуб, думал князь Андрей, пускай другие, молодые, вновь поддаются на этот обман, а мы знаем жизнь, – наша жизнь кончена!» Целый новый ряд мыслей безнадежных, но грустно приятных в связи с этим дубом, возник в душе князя Андрея. Во время этого путешествия он как будто вновь обдумал всю свою жизнь, и пришел к тому же прежнему успокоительному и безнадежному заключению, что ему начинать ничего было не надо, что он должен доживать свою жизнь, не делая зла, не тревожась и ничего не желая.


По опекунским делам рязанского именья, князю Андрею надо было видеться с уездным предводителем. Предводителем был граф Илья Андреич Ростов, и князь Андрей в середине мая поехал к нему.
Был уже жаркий период весны. Лес уже весь оделся, была пыль и было так жарко, что проезжая мимо воды, хотелось купаться.
Князь Андрей, невеселый и озабоченный соображениями о том, что и что ему нужно о делах спросить у предводителя, подъезжал по аллее сада к отрадненскому дому Ростовых. Вправо из за деревьев он услыхал женский, веселый крик, и увидал бегущую на перерез его коляски толпу девушек. Впереди других ближе, подбегала к коляске черноволосая, очень тоненькая, странно тоненькая, черноглазая девушка в желтом ситцевом платье, повязанная белым носовым платком, из под которого выбивались пряди расчесавшихся волос. Девушка что то кричала, но узнав чужого, не взглянув на него, со смехом побежала назад.
Князю Андрею вдруг стало от чего то больно. День был так хорош, солнце так ярко, кругом всё так весело; а эта тоненькая и хорошенькая девушка не знала и не хотела знать про его существование и была довольна, и счастлива какой то своей отдельной, – верно глупой – но веселой и счастливой жизнию. «Чему она так рада? о чем она думает! Не об уставе военном, не об устройстве рязанских оброчных. О чем она думает? И чем она счастлива?» невольно с любопытством спрашивал себя князь Андрей.
Граф Илья Андреич в 1809 м году жил в Отрадном всё так же как и прежде, то есть принимая почти всю губернию, с охотами, театрами, обедами и музыкантами. Он, как всякому новому гостю, был рад князю Андрею, и почти насильно оставил его ночевать.
В продолжение скучного дня, во время которого князя Андрея занимали старшие хозяева и почетнейшие из гостей, которыми по случаю приближающихся именин был полон дом старого графа, Болконский несколько раз взглядывая на Наташу чему то смеявшуюся и веселившуюся между другой молодой половиной общества, всё спрашивал себя: «о чем она думает? Чему она так рада!».
Вечером оставшись один на новом месте, он долго не мог заснуть. Он читал, потом потушил свечу и опять зажег ее. В комнате с закрытыми изнутри ставнями было жарко. Он досадовал на этого глупого старика (так он называл Ростова), который задержал его, уверяя, что нужные бумаги в городе, не доставлены еще, досадовал на себя за то, что остался.
Князь Андрей встал и подошел к окну, чтобы отворить его. Как только он открыл ставни, лунный свет, как будто он настороже у окна давно ждал этого, ворвался в комнату. Он отворил окно. Ночь была свежая и неподвижно светлая. Перед самым окном был ряд подстриженных дерев, черных с одной и серебристо освещенных с другой стороны. Под деревами была какая то сочная, мокрая, кудрявая растительность с серебристыми кое где листьями и стеблями. Далее за черными деревами была какая то блестящая росой крыша, правее большое кудрявое дерево, с ярко белым стволом и сучьями, и выше его почти полная луна на светлом, почти беззвездном, весеннем небе. Князь Андрей облокотился на окно и глаза его остановились на этом небе.
Комната князя Андрея была в среднем этаже; в комнатах над ним тоже жили и не спали. Он услыхал сверху женский говор.
– Только еще один раз, – сказал сверху женский голос, который сейчас узнал князь Андрей.
– Да когда же ты спать будешь? – отвечал другой голос.
– Я не буду, я не могу спать, что ж мне делать! Ну, последний раз…
Два женские голоса запели какую то музыкальную фразу, составлявшую конец чего то.
– Ах какая прелесть! Ну теперь спать, и конец.
– Ты спи, а я не могу, – отвечал первый голос, приблизившийся к окну. Она видимо совсем высунулась в окно, потому что слышно было шуршанье ее платья и даже дыханье. Всё затихло и окаменело, как и луна и ее свет и тени. Князь Андрей тоже боялся пошевелиться, чтобы не выдать своего невольного присутствия.
– Соня! Соня! – послышался опять первый голос. – Ну как можно спать! Да ты посмотри, что за прелесть! Ах, какая прелесть! Да проснись же, Соня, – сказала она почти со слезами в голосе. – Ведь этакой прелестной ночи никогда, никогда не бывало.
Соня неохотно что то отвечала.
– Нет, ты посмотри, что за луна!… Ах, какая прелесть! Ты поди сюда. Душенька, голубушка, поди сюда. Ну, видишь? Так бы вот села на корточки, вот так, подхватила бы себя под коленки, – туже, как можно туже – натужиться надо. Вот так!
– Полно, ты упадешь.
Послышалась борьба и недовольный голос Сони: «Ведь второй час».
– Ах, ты только всё портишь мне. Ну, иди, иди.
Опять всё замолкло, но князь Андрей знал, что она всё еще сидит тут, он слышал иногда тихое шевеленье, иногда вздохи.
– Ах… Боже мой! Боже мой! что ж это такое! – вдруг вскрикнула она. – Спать так спать! – и захлопнула окно.
«И дела нет до моего существования!» подумал князь Андрей в то время, как он прислушивался к ее говору, почему то ожидая и боясь, что она скажет что нибудь про него. – «И опять она! И как нарочно!» думал он. В душе его вдруг поднялась такая неожиданная путаница молодых мыслей и надежд, противоречащих всей его жизни, что он, чувствуя себя не в силах уяснить себе свое состояние, тотчас же заснул.


На другой день простившись только с одним графом, не дождавшись выхода дам, князь Андрей поехал домой.
Уже было начало июня, когда князь Андрей, возвращаясь домой, въехал опять в ту березовую рощу, в которой этот старый, корявый дуб так странно и памятно поразил его. Бубенчики еще глуше звенели в лесу, чем полтора месяца тому назад; всё было полно, тенисто и густо; и молодые ели, рассыпанные по лесу, не нарушали общей красоты и, подделываясь под общий характер, нежно зеленели пушистыми молодыми побегами.
Целый день был жаркий, где то собиралась гроза, но только небольшая тучка брызнула на пыль дороги и на сочные листья. Левая сторона леса была темна, в тени; правая мокрая, глянцовитая блестела на солнце, чуть колыхаясь от ветра. Всё было в цвету; соловьи трещали и перекатывались то близко, то далеко.
«Да, здесь, в этом лесу был этот дуб, с которым мы были согласны», подумал князь Андрей. «Да где он», подумал опять князь Андрей, глядя на левую сторону дороги и сам того не зная, не узнавая его, любовался тем дубом, которого он искал. Старый дуб, весь преображенный, раскинувшись шатром сочной, темной зелени, млел, чуть колыхаясь в лучах вечернего солнца. Ни корявых пальцев, ни болячек, ни старого недоверия и горя, – ничего не было видно. Сквозь жесткую, столетнюю кору пробились без сучков сочные, молодые листья, так что верить нельзя было, что этот старик произвел их. «Да, это тот самый дуб», подумал князь Андрей, и на него вдруг нашло беспричинное, весеннее чувство радости и обновления. Все лучшие минуты его жизни вдруг в одно и то же время вспомнились ему. И Аустерлиц с высоким небом, и мертвое, укоризненное лицо жены, и Пьер на пароме, и девочка, взволнованная красотою ночи, и эта ночь, и луна, – и всё это вдруг вспомнилось ему.
«Нет, жизнь не кончена в 31 год, вдруг окончательно, беспеременно решил князь Андрей. Мало того, что я знаю всё то, что есть во мне, надо, чтобы и все знали это: и Пьер, и эта девочка, которая хотела улететь в небо, надо, чтобы все знали меня, чтобы не для одного меня шла моя жизнь, чтоб не жили они так независимо от моей жизни, чтоб на всех она отражалась и чтобы все они жили со мною вместе!»

Возвратившись из своей поездки, князь Андрей решился осенью ехать в Петербург и придумал разные причины этого решенья. Целый ряд разумных, логических доводов, почему ему необходимо ехать в Петербург и даже служить, ежеминутно был готов к его услугам. Он даже теперь не понимал, как мог он когда нибудь сомневаться в необходимости принять деятельное участие в жизни, точно так же как месяц тому назад он не понимал, как могла бы ему притти мысль уехать из деревни. Ему казалось ясно, что все его опыты жизни должны были пропасть даром и быть бессмыслицей, ежели бы он не приложил их к делу и не принял опять деятельного участия в жизни. Он даже не понимал того, как на основании таких же бедных разумных доводов прежде очевидно было, что он бы унизился, ежели бы теперь после своих уроков жизни опять бы поверил в возможность приносить пользу и в возможность счастия и любви. Теперь разум подсказывал совсем другое. После этой поездки князь Андрей стал скучать в деревне, прежние занятия не интересовали его, и часто, сидя один в своем кабинете, он вставал, подходил к зеркалу и долго смотрел на свое лицо. Потом он отворачивался и смотрел на портрет покойницы Лизы, которая с взбитыми a la grecque [по гречески] буклями нежно и весело смотрела на него из золотой рамки. Она уже не говорила мужу прежних страшных слов, она просто и весело с любопытством смотрела на него. И князь Андрей, заложив назад руки, долго ходил по комнате, то хмурясь, то улыбаясь, передумывая те неразумные, невыразимые словом, тайные как преступление мысли, связанные с Пьером, с славой, с девушкой на окне, с дубом, с женской красотой и любовью, которые изменили всю его жизнь. И в эти то минуты, когда кто входил к нему, он бывал особенно сух, строго решителен и в особенности неприятно логичен.