Модальная логика

Модальная логика (от лат. modus — способ, мера) — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы). Модальности бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то», «близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России» или «Санкт-Петербург, когда-то в прошлом, был столицей России», которые невозможно или крайне сложно выразить в немодальном языке. Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости).

Обычно для обозначения модального оператора используется <math>\Box</math> и двойственный к нему <math>\diamondsuit</math>:

<math>\diamondsuit A = \neg \Box \neg A.</math>

Это отражает то, что сказать «Москва когда-то была столицей России» то же самое, что сказать «не верно, что Москва никогда не была столицей России».

Модальности

• Алетические (от др.-греч. ἀλήθεια — истина) модальные понятия:
  • Логические:
    • L — необходимо,
    • M — возможно,
    • С — случайно.
  • Фактические:
    • <math>\Box</math> — необходимо,
    • <math>\Diamond</math> — возможно,
    • <math>\triangle</math> — случайно.

• Деонтические (др.-греч. δέοντος — должное, необходимое) модальные понятия:
  • обязательно,
  • разрешено,
  • запрещено.

Логику деонтических модальностей разработал финский философ Георг фон Вригт.

• Аксиологические (др.-греч. ἀξίᾱ — ценность) модальные понятия:
  • хорошо,
  • нейтрально,
  • плохо.

Аксиологическую логику разработал философ А. А. Ивин.

• Эпистемические (др.-греч. ἐπιστήμη — знание) модальные понятия:
  • знание,
  • полагание,
  • незнание.

Эпистемическая логика разработана Яакко Хинтикка.

• Временные:
  • прошлое,
  • настоящее,
  • будущее.

• Пространственные:
  • там,
  • здесь,
  • нигде.

Семантика

В математической логике и информатике наиболее распространённой является семантика Крипке, также существуют алгебраическая семантика, топологическая семантика и ряд других.

Синтаксис

Модальная формула определяется рекурсивно как слово в алфавите состоящем из счетного множества пропозициональных переменных <math>PL</math>, классических связок <math>\to, \bot</math>, скобок <math>(</math>, <math>)</math> и модального оператора <math>\Box</math>. А именно, формулой является

1. <math>p</math> для любого <math>p \in PL</math>.
2. <math>\bot</math>.
3. <math>(A \to B)</math>, если <math>A</math> и <math>B</math> — формулы.
4. <math>(\Box A)</math>, если <math>A</math> — формула.

Нормальной модальной логикой называется множество модальных формул, содержащее все классические тавтологии, аксиому нормальности

<math>\Box(p \to q) \to (\Box p \to \Box q)</math>

и замкнутое относительно правил Modus ponens <math>\frac{A, A\to B}{B}</math>, подстановки <math>\frac{A(p)}{A(B)}</math> и введение модальности <math>\frac{A}{\Box A}</math>.

Минимальная нормальная модальная логика обозначается <math>K</math>.

Конференции по модальной логике

[www.aiml.net Advances in Modal Logic] (AiML) проводится раз в 2 года [m4m.loria.fr/ Methods for Modalities] (M4M) — также

Литература

• Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic.— Oxford University Press, 1997. (на английском)
• Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic.— CambridgeUniversity Press, 2002.
• Кондаков Н. И. [runivers.ru/philosophy/lib/book6198/138457/ Логический словарь-справочник. – М: Наука, 1976. – 720с.]
• Фейс Р., Модальная логика.— Главная редакция физ-мат литературы изд-ва «Наука», М. 1974.
• Шкатов Д. П., Модальная логика и модальные фрагменты классической логики.— Институт философии РАН, 2008. ISBN 978-5-9540-0128-0 (см. описание книги: [www.ozon.ru/context/detail/id/4479252/ в Озоне])

См.также

• Логика знаний

Ссылки

• plato.stanford.edu/entries/logic-modal/

Отрывок, характеризующий Модальная логика

– J'y ai ete, [Я был там,] – сказал Пьер.
– Bah, vraiment! Eh bien, tant mieux, – сказал француз. – Vous etes de fiers ennemis, tout de meme. La grande redoute a ete tenace, nom d'une pipe. Et vous nous l'avez fait cranement payer. J'y suis alle trois fois, tel que vous me voyez. Trois fois nous etions sur les canons et trois fois on nous a culbute et comme des capucins de cartes. Oh!! c'etait beau, monsieur Pierre. Vos grenadiers ont ete superbes, tonnerre de Dieu. Je les ai vu six fois de suite serrer les rangs, et marcher comme a une revue. Les beaux hommes! Notre roi de Naples, qui s'y connait a crie: bravo! Ah, ah! soldat comme nous autres! – сказал он, улыбаясь, поело минутного молчания. – Tant mieux, tant mieux, monsieur Pierre. Terribles en bataille… galants… – он подмигнул с улыбкой, – avec les belles, voila les Francais, monsieur Pierre, n'est ce pas? [Ба, в самом деле? Тем лучше. Вы лихие враги, надо признаться. Хорошо держался большой редут, черт возьми. И дорого же вы заставили нас поплатиться. Я там три раза был, как вы меня видите. Три раза мы были на пушках, три раза нас опрокидывали, как карточных солдатиков. Ваши гренадеры были великолепны, ей богу. Я видел, как их ряды шесть раз смыкались и как они выступали точно на парад. Чудный народ! Наш Неаполитанский король, который в этих делах собаку съел, кричал им: браво! – Га, га, так вы наш брат солдат! – Тем лучше, тем лучше, господин Пьер. Страшны в сражениях, любезны с красавицами, вот французы, господин Пьер. Не правда ли?]
До такой степени капитан был наивно и добродушно весел, и целен, и доволен собой, что Пьер чуть чуть сам не подмигнул, весело глядя на него. Вероятно, слово «galant» навело капитана на мысль о положении Москвы.
– A propos, dites, donc, est ce vrai que toutes les femmes ont quitte Moscou? Une drole d'idee! Qu'avaient elles a craindre? [Кстати, скажите, пожалуйста, правда ли, что все женщины уехали из Москвы? Странная мысль, чего они боялись?]
– Est ce que les dames francaises ne quitteraient pas Paris si les Russes y entraient? [Разве французские дамы не уехали бы из Парижа, если бы русские вошли в него?] – сказал Пьер.
– Ah, ah, ah!.. – Француз весело, сангвинически расхохотался, трепля по плечу Пьера. – Ah! elle est forte celle la, – проговорил он. – Paris? Mais Paris Paris… [Ха, ха, ха!.. А вот сказал штуку. Париж?.. Но Париж… Париж…]
– Paris la capitale du monde… [Париж – столица мира…] – сказал Пьер, доканчивая его речь.
Капитан посмотрел на Пьера. Он имел привычку в середине разговора остановиться и поглядеть пристально смеющимися, ласковыми глазами.
– Eh bien, si vous ne m'aviez pas dit que vous etes Russe, j'aurai parie que vous etes Parisien. Vous avez ce je ne sais, quoi, ce… [Ну, если б вы мне не сказали, что вы русский, я бы побился об заклад, что вы парижанин. В вас что то есть, эта…] – и, сказав этот комплимент, он опять молча посмотрел.
– J'ai ete a Paris, j'y ai passe des annees, [Я был в Париже, я провел там целые годы,] – сказал Пьер.
– Oh ca se voit bien. Paris!.. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se sent a deux lieux. Paris, s'est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards, – и заметив, что заключение слабее предыдущего, он поспешно прибавил: – Il n'y a qu'un Paris au monde. Vous avez ete a Paris et vous etes reste Busse. Eh bien, je ne vous en estime pas moins. [О, это видно. Париж!.. Человек, который не знает Парижа, – дикарь. Парижанина узнаешь за две мили. Париж – это Тальма, Дюшенуа, Потье, Сорбонна, бульвары… Во всем мире один Париж. Вы были в Париже и остались русским. Ну что же, я вас за то не менее уважаю.]