Модулярная функция

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве <math>\mathbb{H} = \{x + iy \mid y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}</math>), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Формально, модулярной функцией называется мероморфная функция, удовлетворяющая условию:

<math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = f(z)</math>

для каждой матрицы:

<math>\left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right )</math>,

принадлежащей модулярной группе <math>PSL(2,\Z)</math>.

Модулярная форма

Модулярной формой веса <math>k</math> для группы <math>\Gamma_{0}(N)</math> называется голоморфная функция <math>f\colon H \rightarrow C</math>, удовлетворяющая условию:

<math>f(g \tau) = (c \tau + d)^{k} f(\tau)</math> для любых <math>g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_{0}(N)</math> и <math>\tau \in H</math>

и голоморфная во всех параболических точках.

Пусть <math>H</math> — верхняя комплексная полуплоскость: <math>H = \left\{ z \in C \mid \mathop{\mathrm{Im}}(z) > 0 \right\}</math>. Группа матриц <math>\Gamma_{0}(N)</math> для натурального числа <math>N</math> определяется как:

<math>\Gamma_{0}(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_{2} \;\Big\vert\; c \equiv 0 \pmod N \right\}</math>.

Группа <math>\Gamma_{0}(N)</math> действует на <math>H</math> с помощью дробно-линейных преобразований <math>g \tau = \frac{a \tau + b}{c \tau + d},</math> где <math>g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_{0}(N)</math> и <math>\tau \in H </math>.

Свойства модулярных форм

Модулярные формы нечётного веса равны нулю. Модулярной формой веса <math>2k</math> является (при <math>k > 1</math>) ряд Эйзенштейна:

<math>G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n)\in\mathbb{Z}^2\backslash(0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}</math>,

где <math> z \in \mathbb{H}</math>.

Пусть

<math>g_2= 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-4},\qquad g_3=140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-6}</math>

— модулярные инварианты, <math>\Delta=g_2^3-27g_3^2</math> — модулярный дискриминант. Определив следующим образом основной модулярный инвариант (j-инвариант):

<math>j(\tau)=1728{g_2^3 \over \Delta}</math>,

выполняются равенства:

<math>g_2(\tau+1)=g_2(\tau),\; g_2(-\tau^{-1})=\tau^4g_2(\tau)</math>,

<math>\Delta(\tau+1) = \Delta(\tau),\; \Delta(-\tau^{-1}) = \tau^{12} \Delta(\tau)</math>.

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть <math>g_2</math> — модулярная форма веса 4, <math>\Delta</math> — модулярная форма веса 12. Соответственно <math>g_2^3</math> — модулярная форма веса 12, а <math>j(z)</math> — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и эллиптических кривых.

Литература

• Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: ФАЗИС, 1998. — ISBN 5-70364029-4.
• Tom M. Apostol. Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York: Springer-Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97127-0.
• Robert A. Rankin. Modular forms and functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1977. — ISBN 0-521-21212-X.
• В.В. Прасолов, Ю.П. Соловьев. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. — Факториал, 1997. — 288 с. — ISBN 5-88688-018-6.

Ссылки

• J. S. Milne, [www.jmilne.org/math/CourseNotes/MF.pdf Modular functions and modular forms], курс лекций.

Отрывок, характеризующий Модулярная функция

– А! да, да, да, – поспешно заговорил граф. – Я очень, очень рад. Васильич, ты распорядись, ну там очистить одну или две телеги, ну там… что же… что нужно… – какими то неопределенными выражениями, что то приказывая, сказал граф. Но в то же мгновение горячее выражение благодарности офицера уже закрепило то, что он приказывал. Граф оглянулся вокруг себя: на дворе, в воротах, в окне флигеля виднелись раненые и денщики. Все они смотрели на графа и подвигались к крыльцу.
– Пожалуйте, ваше сиятельство, в галерею: там как прикажете насчет картин? – сказал дворецкий. И граф вместе с ним вошел в дом, повторяя свое приказание о том, чтобы не отказывать раненым, которые просятся ехать.
– Ну, что же, можно сложить что нибудь, – прибавил он тихим, таинственным голосом, как будто боясь, чтобы кто нибудь его не услышал.
В девять часов проснулась графиня, и Матрена Тимофеевна, бывшая ее горничная, исполнявшая в отношении графини должность шефа жандармов, пришла доложить своей бывшей барышне, что Марья Карловна очень обижены и что барышниным летним платьям нельзя остаться здесь. На расспросы графини, почему m me Schoss обижена, открылось, что ее сундук сняли с подводы и все подводы развязывают – добро снимают и набирают с собой раненых, которых граф, по своей простоте, приказал забирать с собой. Графиня велела попросить к себе мужа.
– Что это, мой друг, я слышу, вещи опять снимают?
– Знаешь, ma chere, я вот что хотел тебе сказать… ma chere графинюшка… ко мне приходил офицер, просят, чтобы дать несколько подвод под раненых. Ведь это все дело наживное; а каково им оставаться, подумай!.. Право, у нас на дворе, сами мы их зазвали, офицеры тут есть. Знаешь, думаю, право, ma chere, вот, ma chere… пускай их свезут… куда же торопиться?.. – Граф робко сказал это, как он всегда говорил, когда дело шло о деньгах. Графиня же привыкла уж к этому тону, всегда предшествовавшему делу, разорявшему детей, как какая нибудь постройка галереи, оранжереи, устройство домашнего театра или музыки, – и привыкла, и долгом считала всегда противоборствовать тому, что выражалось этим робким тоном.
Она приняла свой покорно плачевный вид и сказала мужу:
– Послушай, граф, ты довел до того, что за дом ничего не дают, а теперь и все наше – детское состояние погубить хочешь. Ведь ты сам говоришь, что в доме на сто тысяч добра. Я, мой друг, не согласна и не согласна. Воля твоя! На раненых есть правительство. Они знают. Посмотри: вон напротив, у Лопухиных, еще третьего дня все дочиста вывезли. Вот как люди делают. Одни мы дураки. Пожалей хоть не меня, так детей.
Граф замахал руками и, ничего не сказав, вышел из комнаты.
– Папа! об чем вы это? – сказала ему Наташа, вслед за ним вошедшая в комнату матери.
– Ни о чем! Тебе что за дело! – сердито проговорил граф.
– Нет, я слышала, – сказала Наташа. – Отчего ж маменька не хочет?
– Тебе что за дело? – крикнул граф. Наташа отошла к окну и задумалась.
– Папенька, Берг к нам приехал, – сказала она, глядя в окно.


Берг, зять Ростовых, был уже полковник с Владимиром и Анной на шее и занимал все то же покойное и приятное место помощника начальника штаба, помощника первого отделения начальника штаба второго корпуса.