Моменты случайной величины
Поделись знанием:
Пьер с главноуправляющим каждый день занимался . Но он чувствовал, что занятия его ни на шаг не подвигали дела. Он чувствовал, что его занятия происходят независимо от дела, что они не цепляют за дело и не заставляют его двигаться. С одной стороны главноуправляющий выставлял дела в самом дурном свете, показывая Пьеру необходимость уплачивать долги и предпринимать новые работы силами крепостных мужиков, на что Пьер не соглашался; с другой стороны, Пьер требовал приступления к делу освобождения, на что управляющий выставлял необходимость прежде уплатить долг Опекунского совета, и потому невозможность быстрого исполнения.
Управляющий не говорил, что это совершенно невозможно; он предлагал для достижения этой цели продажу лесов Костромской губернии, продажу земель низовых и крымского именья. Но все эти операции в речах управляющего связывались с такою сложностью процессов, снятия запрещений, истребований, разрешений и т. п., что Пьер терялся и только говорил ему:
– Да, да, так и сделайте.
Пьер не имел той практической цепкости, которая бы дала ему возможность непосредственно взяться за дело, и потому он не любил его и только старался притвориться перед управляющим, что он занят делом. Управляющий же старался притвориться перед графом, что он считает эти занятия весьма полезными для хозяина и для себя стеснительными.
В большом городе нашлись знакомые; незнакомые поспешили познакомиться и радушно приветствовали вновь приехавшего богача, самого большого владельца губернии. Искушения по отношению главной слабости Пьера, той, в которой он признался во время приема в ложу, тоже были так сильны, что Пьер не мог воздержаться от них. Опять целые дни, недели, месяцы жизни Пьера проходили так же озабоченно и занято между вечерами, обедами, завтраками, балами, не давая ему времени опомниться, как и в Петербурге. Вместо новой жизни, которую надеялся повести Пьер, он жил всё тою же прежней жизнью, только в другой обстановке.
Из трех назначений масонства Пьер сознавал, что он не исполнял того, которое предписывало каждому масону быть образцом нравственной жизни, и из семи добродетелей совершенно не имел в себе двух: добронравия и любви к смерти. Он утешал себя тем, что за то он исполнял другое назначение, – исправление рода человеческого и имел другие добродетели, любовь к ближнему и в особенности щедрость.
Весной 1807 года Пьер решился ехать назад в Петербург. По дороге назад, он намеревался объехать все свои именья и лично удостовериться в том, что сделано из того, что им предписано и в каком положении находится теперь тот народ, который вверен ему Богом, и который он стремился облагодетельствовать.
Главноуправляющий, считавший все затеи молодого графа почти безумством, невыгодой для себя, для него, для крестьян – сделал уступки. Продолжая дело освобождения представлять невозможным, он распорядился постройкой во всех имениях больших зданий школ, больниц и приютов; для приезда барина везде приготовил встречи, не пышно торжественные, которые, он знал, не понравятся Пьеру, но именно такие религиозно благодарственные, с образами и хлебом солью, именно такие, которые, как он понимал барина, должны были подействовать на графа и обмануть его.
Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.
Содержание
Определения
Если дана случайная величина <math>\displaystyle X,</math> определённая на некотором вероятностном пространстве, то:
- <math>\displaystyle k</math>-м нача́льным моментом случайной величины <math>\displaystyle X,</math> где <math>k \in \mathbb{N},</math> называется величина
- <math>\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right],</math>
- если математическое ожидание <math>\mathbb{E}[*]</math> в правой части этого равенства определено;
- <math>\displaystyle k</math>-м центра́льным моментом случайной величины <math>\displaystyle X</math> называется величина
- <math>\mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right],</math>
- <math>\displaystyle k</math>-м абсолю́тным и <math>\displaystyle k</math>-м центральным абсолютным моментами случайной величины <math>\displaystyle X</math> называется соответственно величины
- <math>\nu_k = \mathbb{E}\left[|X|^k\right]</math> и <math>\mu_k = \mathbb{E}\left[|X - \mathbb{E}X|^k\right],</math>
- <math>\displaystyle k</math>-м факториальным моментом случайной величины <math>\displaystyle X</math> называется величина
- <math>\mu_k = \mathbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],</math>
- если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.[1]
Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых <math>k</math>, но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.
Замечания
- Если определены моменты <math>\displaystyle k</math>-го порядка, то определены и все моменты низших порядков <math>1 \leqslant k' < k.</math>
- В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например, <math>\mu_k = \sum \limits_{s=0}^{k} {(-1)^s C_k^s v_{k-s} v_{1}^{s}}</math>.
Геометрический смысл некоторых моментов
- <math>\displaystyle \nu_1</math> равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
- <math>\displaystyle \mu_2</math> равняется дисперсии распределения <math>\displaystyle (\mu_2=\sigma^2)</math> и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
- <math>\displaystyle \mu_3</math>, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
- <math>\frac{\mu_3}{\sigma^3}</math>
- называется коэффициентом асимметрии.
- <math>\displaystyle \mu_4</math> контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
- <math>\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3</math>
- называется коэффициентом эксцесса куртозиса распределения <math>\displaystyle X.</math>
Вычисление моментов
- Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью <math>\displaystyle f(x),</math> имеем:
- <math>\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,</math>
если <math> \nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty} ,</math>
- а для дискретного распределения с функцией вероятности <math>\displaystyle p(x):</math>
- <math>\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),</math>
если <math>\nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.</math>
- Также моменты случайной величины могут быть вычислены через её характеристическую функцию <math>\displaystyle \phi(t)</math>:
- <math>\nu_k = \left.(-i)^k \frac{d^k}{dt^k} \phi(t)\right\vert_{t=0}.</math>
- Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов <math>\displaystyle M(t),</math> то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
- <math>\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M(t)\right\vert_{t=0}.</math>
Обобщения
Можно также рассматривать нецелые значения <math>k</math>. Момент, рассматриваемый как функция от аргумента <math>k</math>, называется преобразованием Меллина.
Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). И т. д.
Напишите отзыв о статье "Моменты случайной величины"
Примечания
- ↑ Г. Крамер. Математические методы статистики. — 2-е изд. — М.: Мир, 1975. — С. 196-197, 284. — 648 с.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Моменты случайной величины
Несмотря на огромное богатство графа Безухого, с тех пор, как Пьер получил его и получал, как говорили, 500 тысяч годового дохода, он чувствовал себя гораздо менее богатым, чем когда он получал свои 10 ть тысяч от покойного графа. В общих чертах он смутно чувствовал следующий бюджет. В Совет платилось около 80 ти тысяч по всем имениям; около 30 ти тысяч стоило содержание подмосковной, московского дома и княжон; около 15 ти тысяч выходило на пенсии, столько же на богоугодные заведения; графине на прожитье посылалось 150 тысяч; процентов платилось за долги около 70 ти тысяч; постройка начатой церкви стоила эти два года около 10 ти тысяч; остальное около 100 та тысяч расходилось – он сам не знал как, и почти каждый год он принужден был занимать. Кроме того каждый год главноуправляющий писал то о пожарах, то о неурожаях, то о необходимости перестроек фабрик и заводов. И так, первое дело, представившееся Пьеру, было то, к которому он менее всего имел способности и склонности – занятие делами.Пьер с главноуправляющим каждый день занимался . Но он чувствовал, что занятия его ни на шаг не подвигали дела. Он чувствовал, что его занятия происходят независимо от дела, что они не цепляют за дело и не заставляют его двигаться. С одной стороны главноуправляющий выставлял дела в самом дурном свете, показывая Пьеру необходимость уплачивать долги и предпринимать новые работы силами крепостных мужиков, на что Пьер не соглашался; с другой стороны, Пьер требовал приступления к делу освобождения, на что управляющий выставлял необходимость прежде уплатить долг Опекунского совета, и потому невозможность быстрого исполнения.
Управляющий не говорил, что это совершенно невозможно; он предлагал для достижения этой цели продажу лесов Костромской губернии, продажу земель низовых и крымского именья. Но все эти операции в речах управляющего связывались с такою сложностью процессов, снятия запрещений, истребований, разрешений и т. п., что Пьер терялся и только говорил ему:
– Да, да, так и сделайте.
Пьер не имел той практической цепкости, которая бы дала ему возможность непосредственно взяться за дело, и потому он не любил его и только старался притвориться перед управляющим, что он занят делом. Управляющий же старался притвориться перед графом, что он считает эти занятия весьма полезными для хозяина и для себя стеснительными.
В большом городе нашлись знакомые; незнакомые поспешили познакомиться и радушно приветствовали вновь приехавшего богача, самого большого владельца губернии. Искушения по отношению главной слабости Пьера, той, в которой он признался во время приема в ложу, тоже были так сильны, что Пьер не мог воздержаться от них. Опять целые дни, недели, месяцы жизни Пьера проходили так же озабоченно и занято между вечерами, обедами, завтраками, балами, не давая ему времени опомниться, как и в Петербурге. Вместо новой жизни, которую надеялся повести Пьер, он жил всё тою же прежней жизнью, только в другой обстановке.
Из трех назначений масонства Пьер сознавал, что он не исполнял того, которое предписывало каждому масону быть образцом нравственной жизни, и из семи добродетелей совершенно не имел в себе двух: добронравия и любви к смерти. Он утешал себя тем, что за то он исполнял другое назначение, – исправление рода человеческого и имел другие добродетели, любовь к ближнему и в особенности щедрость.
Весной 1807 года Пьер решился ехать назад в Петербург. По дороге назад, он намеревался объехать все свои именья и лично удостовериться в том, что сделано из того, что им предписано и в каком положении находится теперь тот народ, который вверен ему Богом, и который он стремился облагодетельствовать.
Главноуправляющий, считавший все затеи молодого графа почти безумством, невыгодой для себя, для него, для крестьян – сделал уступки. Продолжая дело освобождения представлять невозможным, он распорядился постройкой во всех имениях больших зданий школ, больниц и приютов; для приезда барина везде приготовил встречи, не пышно торжественные, которые, он знал, не понравятся Пьеру, но именно такие религиозно благодарственные, с образами и хлебом солью, именно такие, которые, как он понимал барина, должны были подействовать на графа и обмануть его.
