Моноид

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом. Более подробно, моноидом называется множество <math>M</math>, на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент <math>e</math>, что <math>ex=x=xe</math> для любого <math>x\in M</math>. Элемент <math>e</math> называется единицей и часто обозначается <math>1</math>. В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Моноиды возникают в различных областях математики; например, моноиды можно рассматривать как категории из одного объекта. Таким образом, моноиды обобщают свойства композиции функций. Также моноиды используются в информатике и в теории формальных языков.

Примеры

• Всякая группа является моноидом.
• Множество всех отображений произвольного множества <math>S</math> в себя является моноидом относительно операции последовательного выполнения (композиции) отображений. Единицей служит тождественное отображение.
• Множество эндоморфизмов любой универсальной алгебры <math>A</math> является моноидом относительно операции суперпозиции, единица — тождественный эндоморфизм.
• Любую полугруппу S можно превратить в моноид, просто присоединив элемент e и определив e*s = s = s*e для всех s ∈ S.
• Натуральные числа образуют коммутативный моноид (моноид с коммутативной операцией) как по умножению, так и по сложению (если считать ноль натуральным числом).
• Множество всех конечных строк с элементами из алфавита Σ образует моноид, обычно обозначаемый Σ^∗. Операция определяется как конкатенация строк.
• Зафиксируем моноид M. Тогда множество всех функций из фиксированного множества в M образует моноид; единица которого — функция, отображающая всё множество в единицу M, операция определяется поточечно.

Свойства

Всякий моноид можно представить как моноид всех эндоморфизмов некоторой универсальной алгебры.

Для любого элемента моноида можно определить нулевую степень как <math>a^0=e, \forall a</math> Так как моноид является частным случаем полугруппы, то для его элементов определена натуральная степень. Свойства степени <math>a^{m+n}=a^m a^n, (a^m)^n=a^{mn}</math> остаются справедливыми для <math>\mathbb N\cup\{0\}</math>.

Можно ввести определение обратимого элемента моноида: x является обратимым, если существует такой элемент y, что xy = yx = e. Если y и z — два элемента с таким свойством, то по ассоциативности y = (zx)y = z(xy) = z, следовательно, обратный элемент определён однозначно (обычно его обозначают x⁻¹). Множество всех обратимых элементов моноида образует группу (возможно, тривиальную).

С другой стороны, не каждый моноид можно вложить в группу. Например, вполне возможно что в моноиде существуют элементы a и b, такие что ab = a и при этом b не является нейтральным элементом. Если бы этот моноид являлся подмножеством некоторой группы, мы могли бы домножить обе части равенства на a⁻¹ слева и получили бы противоречие. Говорят, что моноид M обладает свойством сокращения, если, для любых его элементов, <math>ab=ac\Rightarrow b=c</math> и <math>ba=ca\Rightarrow b=c</math>. Коммутативный моноид со свойством сокращения можно вложить в группу, используя конструкцию группы Гротендика. Это обобщает способ, по которому аддитивную группу целых чисел можно восстановить по аддитивной группе натуральных чисел.

Конечный моноид со свойством сокращения всегда является группой. Действительно, пусть x — произвольный элемент такого моноида. Из принципа Дирихле следует, что xⁿ = x^m для некоторых m > n > 0. Но тогда из свойства сокращения следует, что x^m−n = e, где e — единица. Следовательно, x * x^m−n−1 = x^m−n−1 * x = e, так что x обратим.

Гомоморфизм из моноида M в моноид N — это функция <math>f\colon M \to N</math>, такая что <math>f(xy)=f(x)\cdot f(y)</math> (для любых x и y из M) и <math>f(e)=e</math>.

Связь с теорией категорий

Аксиомы моноида совпадают с теми аксиомами, которые накладываются на композицию морфизмов в категории. Отличие состоит в том, что в моноиде определено произведение любых двух элементов, тогда как композиция определена не для любых двух морфизмов. Сказать, что для любых двух морфизмов определена композиция — это то же самое, что сказать «категория состоит из одного объекта», то есть моноиды можно рассматривать как категории из одного объекта.

Аналогично, гомоморфизмы моноидов — это в точности функторы между соответствующими категориями. Эта конструкция задаёт эквивалентность между категорией (малых) моноидов Mon и полной подкатегорией в Cat.

Существует также категорное понятие моноида, обобщающее свойства моноида на произвольную моноидальную категорию. Например, моноид в категории множеств — это обычный моноид, определённый выше, тогда как моноид в категории абелевых групп — ассоциативное кольцо с единицей.

См. также

• Алгебраическая система
• Моноидальная категория

Примечания

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 1 (2nd ed.), Dover — ISBN 978-0-486-47189-1.

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), [www.encyclopediaofmath.org/index.php/Monoid Monoid], Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4

Отрывок, характеризующий Моноид

– Я должен поправить это в Москве, – сказал Наполеон. – A tantot, [До свиданья.] – прибавил он и подозвал де Боссе, который в это время уже успел приготовить сюрприз, уставив что то на стульях, и накрыл что то покрывалом.
Де Боссе низко поклонился тем придворным французским поклоном, которым умели кланяться только старые слуги Бурбонов, и подошел, подавая конверт.
Наполеон весело обратился к нему и подрал его за ухо.
– Вы поспешили, очень рад. Ну, что говорит Париж? – сказал он, вдруг изменяя свое прежде строгое выражение на самое ласковое.
– Sire, tout Paris regrette votre absence, [Государь, весь Париж сожалеет о вашем отсутствии.] – как и должно, ответил де Боссе. Но хотя Наполеон знал, что Боссе должен сказать это или тому подобное, хотя он в свои ясные минуты знал, что это было неправда, ему приятно было это слышать от де Боссе. Он опять удостоил его прикосновения за ухо.
– Je suis fache, de vous avoir fait faire tant de chemin, [Очень сожалею, что заставил вас проехаться так далеко.] – сказал он.
– Sire! Je ne m'attendais pas a moins qu'a vous trouver aux portes de Moscou, [Я ожидал не менее того, как найти вас, государь, у ворот Москвы.] – сказал Боссе.
Наполеон улыбнулся и, рассеянно подняв голову, оглянулся направо. Адъютант плывущим шагом подошел с золотой табакеркой и подставил ее. Наполеон взял ее.
– Да, хорошо случилось для вас, – сказал он, приставляя раскрытую табакерку к носу, – вы любите путешествовать, через три дня вы увидите Москву. Вы, верно, не ждали увидать азиатскую столицу. Вы сделаете приятное путешествие.
Боссе поклонился с благодарностью за эту внимательность к его (неизвестной ему до сей поры) склонности путешествовать.
– А! это что? – сказал Наполеон, заметив, что все придворные смотрели на что то, покрытое покрывалом. Боссе с придворной ловкостью, не показывая спины, сделал вполуоборот два шага назад и в одно и то же время сдернул покрывало и проговорил:
– Подарок вашему величеству от императрицы.
Это был яркими красками написанный Жераром портрет мальчика, рожденного от Наполеона и дочери австрийского императора, которого почему то все называли королем Рима.
Весьма красивый курчавый мальчик, со взглядом, похожим на взгляд Христа в Сикстинской мадонне, изображен был играющим в бильбоке. Шар представлял земной шар, а палочка в другой руке изображала скипетр.
Хотя и не совсем ясно было, что именно хотел выразить живописец, представив так называемого короля Рима протыкающим земной шар палочкой, но аллегория эта, так же как и всем видевшим картину в Париже, так и Наполеону, очевидно, показалась ясною и весьма понравилась.
– Roi de Rome, [Римский король.] – сказал он, грациозным жестом руки указывая на портрет. – Admirable! [Чудесно!] – С свойственной итальянцам способностью изменять произвольно выражение лица, он подошел к портрету и сделал вид задумчивой нежности. Он чувствовал, что то, что он скажет и сделает теперь, – есть история. И ему казалось, что лучшее, что он может сделать теперь, – это то, чтобы он с своим величием, вследствие которого сын его в бильбоке играл земным шаром, чтобы он выказал, в противоположность этого величия, самую простую отеческую нежность. Глаза его отуманились, он подвинулся, оглянулся на стул (стул подскочил под него) и сел на него против портрета. Один жест его – и все на цыпочках вышли, предоставляя самому себе и его чувству великого человека.
Посидев несколько времени и дотронувшись, сам не зная для чего, рукой до шероховатости блика портрета, он встал и опять позвал Боссе и дежурного. Он приказал вынести портрет перед палатку, с тем, чтобы не лишить старую гвардию, стоявшую около его палатки, счастья видеть римского короля, сына и наследника их обожаемого государя.
Как он и ожидал, в то время как он завтракал с господином Боссе, удостоившимся этой чести, перед палаткой слышались восторженные клики сбежавшихся к портрету офицеров и солдат старой гвардии.
– Vive l'Empereur! Vive le Roi de Rome! Vive l'Empereur! [Да здравствует император! Да здравствует римский король!] – слышались восторженные голоса.
После завтрака Наполеон, в присутствии Боссе, продиктовал свой приказ по армии.
– Courte et energique! [Короткий и энергический!] – проговорил Наполеон, когда он прочел сам сразу без поправок написанную прокламацию. В приказе было:
«Воины! Вот сражение, которого вы столько желали. Победа зависит от вас. Она необходима для нас; она доставит нам все нужное: удобные квартиры и скорое возвращение в отечество. Действуйте так, как вы действовали при Аустерлице, Фридланде, Витебске и Смоленске. Пусть позднейшее потомство с гордостью вспомнит о ваших подвигах в сей день. Да скажут о каждом из вас: он был в великой битве под Москвою!»
– De la Moskowa! [Под Москвою!] – повторил Наполеон, и, пригласив к своей прогулке господина Боссе, любившего путешествовать, он вышел из палатки к оседланным лошадям.
– Votre Majeste a trop de bonte, [Вы слишком добры, ваше величество,] – сказал Боссе на приглашение сопутствовать императору: ему хотелось спать и он не умел и боялся ездить верхом.
Но Наполеон кивнул головой путешественнику, и Боссе должен был ехать. Когда Наполеон вышел из палатки, крики гвардейцев пред портретом его сына еще более усилились. Наполеон нахмурился.
– Снимите его, – сказал он, грациозно величественным жестом указывая на портрет. – Ему еще рано видеть поле сражения.