Монотонная последовательность
Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.
Определения
Пусть имеется множество <math>X</math>, на котором введено отношение порядка.
Последовательность <math>\{x_n\}</math> элементов множества <math>X</math> называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.
- <math>\{x_n\}</math> — неубывающая <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant x_{n+1}</math>
Последовательность <math>\{x_n\}</math> элементов множества <math>X</math> называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.
- <math>\{x_n\}</math> — невозрастающая <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant x_{n+1}</math>
Последовательность <math>\{x_n\}</math> элементов множества <math>X</math> называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.
- <math>\{x_n\}</math> — возрастающая <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n < x_{n+1}</math>
Последовательность <math>\{x_n\}</math> элементов множества <math>X</math> называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.
- <math>\{x_n\}</math> — убывающая <math>\Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n > x_{n+1}</math>
Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.[1]
Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.
Очевидно, что монотонная последовательность содержит строго монотонную.
Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.
Промежутки монотонности
Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров <math>n\in\mathbb N</math>, а лишь для номеров из некоторого диапазона
- <math>I=\{n\in\mathbb N\mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}</math>
(здесь допускается обращение правой границы <math>N_{+}</math> в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке <math>I</math>, а сам диапазон <math>I</math> называется промежутком монотонности последовательности.
Примеры
- Последовательность натуральных чисел.
- <math>\forall n \in \N \colon x_n = n</math>.
- Начальные отрезки: <math>(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \cdots)</math>.
- Возрастающая последовательность.
- Состоит из натуральных чисел.
- Ограничена снизу, сверху не ограничена.
- Последовательность Фибоначчи.
- <math>x_n = \begin{cases}
1, & n = 1 \lor n = 2 \\
x_{n - 1} + x_{n - 2}, & n \geqslant 3
\end{cases} </math>
- Начальные отрезки: <math>(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \cdots)</math>.
- Неубывающая последовательность.
- Состоит из натуральных чисел.
- Ограничена снизу, сверху не ограничена.
- Геометрическая прогрессия с основанием <math>1/2</math>.
- <math>\forall n \in \N \colon x_n = \frac{1}{2^{n-1}}</math>.
- Начальные отрезки: <math>(1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, \cdots)</math>.
- Убывающая последовательность.
- Состоит из рациональных чисел.
- Ограничена с обеих сторон.
- Последовательность, сходящаяся к числу e.
- <math>\forall n \in \N \colon x_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>.
- Начальные отрезки: <math>(2, 9/4, 64/27, 625/256, \cdots)</math>.
- Возрастающая последовательность.
- Состоит из рациональных чисел, но сходится к трансцендентному числу.
- Ограничена с обеих сторон.
- Последовательность рациональных чисел вида <math> x_n=\,\!(n-5)^2 </math> не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке <math>\{1,\,\!2, 3, 4\}</math> и (строго) возрастает на промежутке <math>\{n\in\mathbb N\mid n\geqslant 5\}</math>.
Свойства
- Ограниченность.
- Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
- Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
- Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.
- Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)
- Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.
- Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.
Напишите отзыв о статье "Монотонная последовательность"
Примечания
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // [sci-lib.com/book000401.html Математический анализ] / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
См. также
Отрывок, характеризующий Монотонная последовательность
– Да, всего дороже… царское слово, – рыдая, говорил сзади голос Ильи Андреича, ничего не слышавшего, но все понимавшего по своему.Из залы дворянства государь прошел в залу купечества. Он пробыл там около десяти минут. Пьер в числе других увидал государя, выходящего из залы купечества со слезами умиления на глазах. Как потом узнали, государь только что начал речь купцам, как слезы брызнули из его глаз, и он дрожащим голосом договорил ее. Когда Пьер увидал государя, он выходил, сопутствуемый двумя купцами. Один был знаком Пьеру, толстый откупщик, другой – голова, с худым, узкобородым, желтым лицом. Оба они плакали. У худого стояли слезы, но толстый откупщик рыдал, как ребенок, и все твердил:
– И жизнь и имущество возьми, ваше величество!
Пьер не чувствовал в эту минуту уже ничего, кроме желания показать, что все ему нипочем и что он всем готов жертвовать. Как упрек ему представлялась его речь с конституционным направлением; он искал случая загладить это. Узнав, что граф Мамонов жертвует полк, Безухов тут же объявил графу Растопчину, что он отдает тысячу человек и их содержание.
Старик Ростов без слез не мог рассказать жене того, что было, и тут же согласился на просьбу Пети и сам поехал записывать его.
На другой день государь уехал. Все собранные дворяне сняли мундиры, опять разместились по домам и клубам и, покряхтывая, отдавали приказания управляющим об ополчении, и удивлялись тому, что они наделали.
Наполеон начал войну с Россией потому, что он не мог не приехать в Дрезден, не мог не отуманиться почестями, не мог не надеть польского мундира, не поддаться предприимчивому впечатлению июньского утра, не мог воздержаться от вспышки гнева в присутствии Куракина и потом Балашева.
Александр отказывался от всех переговоров потому, что он лично чувствовал себя оскорбленным. Барклай де Толли старался наилучшим образом управлять армией для того, чтобы исполнить свой долг и заслужить славу великого полководца. Ростов поскакал в атаку на французов потому, что он не мог удержаться от желания проскакаться по ровному полю. И так точно, вследствие своих личных свойств, привычек, условий и целей, действовали все те неперечислимые лица, участники этой войны. Они боялись, тщеславились, радовались, негодовали, рассуждали, полагая, что они знают то, что они делают, и что делают для себя, а все были непроизвольными орудиями истории и производили скрытую от них, но понятную для нас работу. Такова неизменная судьба всех практических деятелей, и тем не свободнее, чем выше они стоят в людской иерархии.
Теперь деятели 1812 го года давно сошли с своих мест, их личные интересы исчезли бесследно, и одни исторические результаты того времени перед нами.
Но допустим, что должны были люди Европы, под предводительством Наполеона, зайти в глубь России и там погибнуть, и вся противуречащая сама себе, бессмысленная, жестокая деятельность людей – участников этой войны, становится для нас понятною.
Провидение заставляло всех этих людей, стремясь к достижению своих личных целей, содействовать исполнению одного огромного результата, о котором ни один человек (ни Наполеон, ни Александр, ни еще менее кто либо из участников войны) не имел ни малейшего чаяния.
Теперь нам ясно, что было в 1812 м году причиной погибели французской армии. Никто не станет спорить, что причиной погибели французских войск Наполеона было, с одной стороны, вступление их в позднее время без приготовления к зимнему походу в глубь России, а с другой стороны, характер, который приняла война от сожжения русских городов и возбуждения ненависти к врагу в русском народе. Но тогда не только никто не предвидел того (что теперь кажется очевидным), что только этим путем могла погибнуть восьмисоттысячная, лучшая в мире и предводимая лучшим полководцем армия в столкновении с вдвое слабейшей, неопытной и предводимой неопытными полководцами – русской армией; не только никто не предвидел этого, но все усилия со стороны русских были постоянно устремляемы на то, чтобы помешать тому, что одно могло спасти Россию, и со стороны французов, несмотря на опытность и так называемый военный гений Наполеона, были устремлены все усилия к тому, чтобы растянуться в конце лета до Москвы, то есть сделать то самое, что должно было погубить их.
В исторических сочинениях о 1812 м годе авторы французы очень любят говорить о том, как Наполеон чувствовал опасность растяжения своей линии, как он искал сражения, как маршалы его советовали ему остановиться в Смоленске, и приводить другие подобные доводы, доказывающие, что тогда уже будто понята была опасность кампании; а авторы русские еще более любят говорить о том, как с начала кампании существовал план скифской войны заманивания Наполеона в глубь России, и приписывают этот план кто Пфулю, кто какому то французу, кто Толю, кто самому императору Александру, указывая на записки, проекты и письма, в которых действительно находятся намеки на этот образ действий. Но все эти намеки на предвидение того, что случилось, как со стороны французов так и со стороны русских выставляются теперь только потому, что событие оправдало их. Ежели бы событие не совершилось, то намеки эти были бы забыты, как забыты теперь тысячи и миллионы противоположных намеков и предположений, бывших в ходу тогда, но оказавшихся несправедливыми и потому забытых. Об исходе каждого совершающегося события всегда бывает так много предположений, что, чем бы оно ни кончилось, всегда найдутся люди, которые скажут: «Я тогда еще сказал, что это так будет», забывая совсем, что в числе бесчисленных предположений были делаемы и совершенно противоположные.
