Монотонная функция
Поделись знанием:
– Что ж, Соколов, они ведь не совсем уходят! У них тут гошпиталь. Может, тебе еще лучше нашего будет, – сказал Пьер.
– О господи! О смерть моя! О господи! – громче застонал солдат.
– Да я сейчас еще спрошу их, – сказал Пьер и, поднявшись, пошел к двери балагана. В то время как Пьер подходил к двери, снаружи подходил с двумя солдатами тот капрал, который вчера угощал Пьера трубкой. И капрал и солдаты были в походной форме, в ранцах и киверах с застегнутыми чешуями, изменявшими их знакомые лица.
Капрал шел к двери с тем, чтобы, по приказанию начальства, затворить ее. Перед выпуском надо было пересчитать пленных.
– Caporal, que fera t on du malade?.. [Капрал, что с больным делать?..] – начал Пьер; но в ту минуту, как он говорил это, он усумнился, тот ли это знакомый его капрал или другой, неизвестный человек: так непохож был на себя капрал в эту минуту. Кроме того, в ту минуту, как Пьер говорил это, с двух сторон вдруг послышался треск барабанов. Капрал нахмурился на слова Пьера и, проговорив бессмысленное ругательство, захлопнул дверь. В балагане стало полутемно; с двух сторон резко трещали барабаны, заглушая стоны больного.
«Вот оно!.. Опять оно!» – сказал себе Пьер, и невольный холод пробежал по его спине. В измененном лице капрала, в звуке его голоса, в возбуждающем и заглушающем треске барабанов Пьер узнал ту таинственную, безучастную силу, которая заставляла людей против своей воли умерщвлять себе подобных, ту силу, действие которой он видел во время казни. Бояться, стараться избегать этой силы, обращаться с просьбами или увещаниями к людям, которые служили орудиями ее, было бесполезно. Это знал теперь Пьер. Надо было ждать и терпеть. Пьер не подошел больше к больному и не оглянулся на него. Он, молча, нахмурившись, стоял у двери балагана.
Когда двери балагана отворились и пленные, как стадо баранов, давя друг друга, затеснились в выходе, Пьер пробился вперед их и подошел к тому самому капитану, который, по уверению капрала, готов был все сделать для Пьера. Капитан тоже был в походной форме, и из холодного лица его смотрело тоже «оно», которое Пьер узнал в словах капрала и в треске барабанов.
– Filez, filez, [Проходите, проходите.] – приговаривал капитан, строго хмурясь и глядя на толпившихся мимо него пленных. Пьер знал, что его попытка будет напрасна, но подошел к нему.
– Eh bien, qu'est ce qu'il y a? [Ну, что еще?] – холодно оглянувшись, как бы не узнав, сказал офицер. Пьер сказал про больного.
– Il pourra marcher, que diable! – сказал капитан. – Filez, filez, [Он пойдет, черт возьми! Проходите, проходите] – продолжал он приговаривать, не глядя на Пьера.
– Mais non, il est a l'agonie… [Да нет же, он умирает…] – начал было Пьер.
– Voulez vous bien?! [Пойди ты к…] – злобно нахмурившись, крикнул капитан.
Драм да да дам, дам, дам, трещали барабаны. И Пьер понял, что таинственная сила уже вполне овладела этими людьми и что теперь говорить еще что нибудь было бесполезно.
Пленных офицеров отделили от солдат и велели им идти впереди. Офицеров, в числе которых был Пьер, было человек тридцать, солдатов человек триста.
Пленные офицеры, выпущенные из других балаганов, были все чужие, были гораздо лучше одеты, чем Пьер, и смотрели на него, в его обуви, с недоверчивостью и отчужденностью. Недалеко от Пьера шел, видимо, пользующийся общим уважением своих товарищей пленных, толстый майор в казанском халате, подпоясанный полотенцем, с пухлым, желтым, сердитым лицом. Он одну руку с кисетом держал за пазухой, другою опирался на чубук. Майор, пыхтя и отдуваясь, ворчал и сердился на всех за то, что ему казалось, что его толкают и что все торопятся, когда торопиться некуда, все чему то удивляются, когда ни в чем ничего нет удивительного. Другой, маленький худой офицер, со всеми заговаривал, делая предположения о том, куда их ведут теперь и как далеко они успеют пройти нынешний день. Чиновник, в валеных сапогах и комиссариатской форме, забегал с разных сторон и высматривал сгоревшую Москву, громко сообщая свои наблюдения о том, что сгорело и какая была та или эта видневшаяся часть Москвы. Третий офицер, польского происхождения по акценту, спорил с комиссариатским чиновником, доказывая ему, что он ошибался в определении кварталов Москвы.
– О чем спорите? – сердито говорил майор. – Николы ли, Власа ли, все одно; видите, все сгорело, ну и конец… Что толкаетесь то, разве дороги мало, – обратился он сердито к шедшему сзади и вовсе не толкавшему его.
– Ай, ай, ай, что наделали! – слышались, однако, то с той, то с другой стороны голоса пленных, оглядывающих пожарища. – И Замоскворечье то, и Зубово, и в Кремле то, смотрите, половины нет… Да я вам говорил, что все Замоскворечье, вон так и есть.
– Ну, знаете, что сгорело, ну о чем же толковать! – говорил майор.
Проходя через Хамовники (один из немногих несгоревших кварталов Москвы) мимо церкви, вся толпа пленных вдруг пожалась к одной стороне, и послышались восклицания ужаса и омерзения.
– Ишь мерзавцы! То то нехристи! Да мертвый, мертвый и есть… Вымазали чем то.
Пьер тоже подвинулся к церкви, у которой было то, что вызывало восклицания, и смутно увидал что то, прислоненное к ограде церкви. Из слов товарищей, видевших лучше его, он узнал, что это что то был труп человека, поставленный стоймя у ограды и вымазанный в лице сажей…
– Marchez, sacre nom… Filez… trente mille diables… [Иди! иди! Черти! Дьяволы!] – послышались ругательства конвойных, и французские солдаты с новым озлоблением разогнали тесаками толпу пленных, смотревшую на мертвого человека.
По переулкам Хамовников пленные шли одни с своим конвоем и повозками и фурами, принадлежавшими конвойным и ехавшими сзади; но, выйдя к провиантским магазинам, они попали в середину огромного, тесно двигавшегося артиллерийского обоза, перемешанного с частными повозками.
У самого моста все остановились, дожидаясь того, чтобы продвинулись ехавшие впереди. С моста пленным открылись сзади и впереди бесконечные ряды других двигавшихся обозов. Направо, там, где загибалась Калужская дорога мимо Нескучного, пропадая вдали, тянулись бесконечные ряды войск и обозов. Это были вышедшие прежде всех войска корпуса Богарне; назади, по набережной и через Каменный мост, тянулись войска и обозы Нея.
(перенаправлено с «Монотонность функции»)
Моното́нная фу́нкция — это функция, которая всё время либо возрастает, либо убывает. Более точно, это функция <math>f</math> приращение которой <math>\Delta f = f(x')-f(x)</math> при <math>\Delta x = x'-x > 0</math> не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное[1]. Если в дополнение приращение <math>\Delta f</math> не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Содержание
Определения
Пусть дана функция <math>f:M \subset \R \to \R.</math> Тогда
- функция <math>f</math> называется возраста́ющей на <math>M</math>, если
- <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y)</math>.
- функция <math>f</math> называется стро́го возраста́ющей на <math>M</math>, если
- <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y)</math>.
- функция <math>f</math> называется убыва́ющей на <math>M</math>, если
- <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y)</math>.
- функция <math>f</math> называется стро́го убыва́ющей на <math>M</math>, если
- <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y)</math>.
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
Другая терминология
Иногда под терминами возрастающая (убывающая) функция подразумевается строго возрастающая (убывающая) функция. Тогда про нестрого возрастающую (убывающюю) функцию говорят, невозрастающая (неубывющая)[2]:
- Функция <math>f(x)</math> называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1)<f(x_2)</math>. Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
- Функция <math>f(x)</math> называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1)>f(x_2)</math>. Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
- Функция <math>f(x)</math> называется неубывающей на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1) \le f(x_2)</math>.
- Функция <math>f(x)</math> называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1) \ge f(x_2)</math>.
- Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, неубывающие и невозрастающие функции — монотонными.
Свойства монотонных функций
- Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
- Монотонная функция, <math>f:[a,b] \to \R,</math> определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
- Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
- Монотонная функция <math>f:(a,b) \to \R</math> дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.
Условия монотонности функции
- (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция <math>f \in C \bigl( (a,b) \bigr)</math> непрерывна на <math>(a,b),</math> и имеет в каждой точке <math>x\in (a,b)</math> производную <math>f'(x).</math> Тогда
- <math>f</math> не убывает на <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) \ge 0;</math>
- <math>f</math> не возрастает на <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) \le 0.</math>
- (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция <math>f \in C \bigl( (a,b) \bigr)</math> непрерывна на <math>(a,b),</math> и имеет в каждой точке <math>x\in (a,b)</math> производную <math>f'(x).</math> Тогда
- если <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) > 0,</math> то <math>f</math> строго возрастает на <math>(a,b);</math>
- если <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) < 0,</math> то <math>f</math> строго убывает на <math>(a,b).</math>
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале <math>(a,b).</math> Точнее имеет место
- (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть <math>f\in C\bigl( (a,b) \bigr),</math> и всюду на интервале определена производная <math>f'(x).</math> Тогда <math>f</math> строго возрастает на интервале <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
- <math>\forall x \in (a,b) \; f'(x) \ge 0;</math>
- <math>\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) > 0.</math>
Аналогично, <math>f</math> строго убывает на интервале <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
- <math>\forall x \in (a,b) \; f'(x) \le 0;</math>
- <math>\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) < 0.</math>
Примеры
- Функция <math>f(x)=x^3</math> строго возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка <math>x=0</math> является стационарной, т.е. в этой точке <math>f'(x)=0</math>.
- Функция <math>f(x)= \sin x</math> является строго возрастающей не только на открытом интервале <math>(- \pi /2; \pi /2)</math>, но и на замкнутом интервале <math>[- \pi /2; \pi /2]</math>.
- Экспонента <math>f(x) = e^x</math> строго возрастает на всей числовой прямой.
- Константа <math>f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R}</math> одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
- Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
- Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.
Напишите отзыв о статье "Монотонная функция"
Примечания
- ↑ Монотонная функция / Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 4. Непрерывность функции // [sci-lib.com/book000401.html Математический анализ] / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 146. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
См. также
Отрывок, характеризующий Монотонная функция
Пьер, обутый в башмаки, сшитые для него Каратаевым из цибика, который принес француз для подшивки себе подошв, подпоясанный веревкою, подошел к больному и присел перед ним на корточки.– Что ж, Соколов, они ведь не совсем уходят! У них тут гошпиталь. Может, тебе еще лучше нашего будет, – сказал Пьер.
– О господи! О смерть моя! О господи! – громче застонал солдат.
– Да я сейчас еще спрошу их, – сказал Пьер и, поднявшись, пошел к двери балагана. В то время как Пьер подходил к двери, снаружи подходил с двумя солдатами тот капрал, который вчера угощал Пьера трубкой. И капрал и солдаты были в походной форме, в ранцах и киверах с застегнутыми чешуями, изменявшими их знакомые лица.
Капрал шел к двери с тем, чтобы, по приказанию начальства, затворить ее. Перед выпуском надо было пересчитать пленных.
– Caporal, que fera t on du malade?.. [Капрал, что с больным делать?..] – начал Пьер; но в ту минуту, как он говорил это, он усумнился, тот ли это знакомый его капрал или другой, неизвестный человек: так непохож был на себя капрал в эту минуту. Кроме того, в ту минуту, как Пьер говорил это, с двух сторон вдруг послышался треск барабанов. Капрал нахмурился на слова Пьера и, проговорив бессмысленное ругательство, захлопнул дверь. В балагане стало полутемно; с двух сторон резко трещали барабаны, заглушая стоны больного.
«Вот оно!.. Опять оно!» – сказал себе Пьер, и невольный холод пробежал по его спине. В измененном лице капрала, в звуке его голоса, в возбуждающем и заглушающем треске барабанов Пьер узнал ту таинственную, безучастную силу, которая заставляла людей против своей воли умерщвлять себе подобных, ту силу, действие которой он видел во время казни. Бояться, стараться избегать этой силы, обращаться с просьбами или увещаниями к людям, которые служили орудиями ее, было бесполезно. Это знал теперь Пьер. Надо было ждать и терпеть. Пьер не подошел больше к больному и не оглянулся на него. Он, молча, нахмурившись, стоял у двери балагана.
Когда двери балагана отворились и пленные, как стадо баранов, давя друг друга, затеснились в выходе, Пьер пробился вперед их и подошел к тому самому капитану, который, по уверению капрала, готов был все сделать для Пьера. Капитан тоже был в походной форме, и из холодного лица его смотрело тоже «оно», которое Пьер узнал в словах капрала и в треске барабанов.
– Filez, filez, [Проходите, проходите.] – приговаривал капитан, строго хмурясь и глядя на толпившихся мимо него пленных. Пьер знал, что его попытка будет напрасна, но подошел к нему.
– Eh bien, qu'est ce qu'il y a? [Ну, что еще?] – холодно оглянувшись, как бы не узнав, сказал офицер. Пьер сказал про больного.
– Il pourra marcher, que diable! – сказал капитан. – Filez, filez, [Он пойдет, черт возьми! Проходите, проходите] – продолжал он приговаривать, не глядя на Пьера.
– Mais non, il est a l'agonie… [Да нет же, он умирает…] – начал было Пьер.
– Voulez vous bien?! [Пойди ты к…] – злобно нахмурившись, крикнул капитан.
Драм да да дам, дам, дам, трещали барабаны. И Пьер понял, что таинственная сила уже вполне овладела этими людьми и что теперь говорить еще что нибудь было бесполезно.
Пленных офицеров отделили от солдат и велели им идти впереди. Офицеров, в числе которых был Пьер, было человек тридцать, солдатов человек триста.
Пленные офицеры, выпущенные из других балаганов, были все чужие, были гораздо лучше одеты, чем Пьер, и смотрели на него, в его обуви, с недоверчивостью и отчужденностью. Недалеко от Пьера шел, видимо, пользующийся общим уважением своих товарищей пленных, толстый майор в казанском халате, подпоясанный полотенцем, с пухлым, желтым, сердитым лицом. Он одну руку с кисетом держал за пазухой, другою опирался на чубук. Майор, пыхтя и отдуваясь, ворчал и сердился на всех за то, что ему казалось, что его толкают и что все торопятся, когда торопиться некуда, все чему то удивляются, когда ни в чем ничего нет удивительного. Другой, маленький худой офицер, со всеми заговаривал, делая предположения о том, куда их ведут теперь и как далеко они успеют пройти нынешний день. Чиновник, в валеных сапогах и комиссариатской форме, забегал с разных сторон и высматривал сгоревшую Москву, громко сообщая свои наблюдения о том, что сгорело и какая была та или эта видневшаяся часть Москвы. Третий офицер, польского происхождения по акценту, спорил с комиссариатским чиновником, доказывая ему, что он ошибался в определении кварталов Москвы.
– О чем спорите? – сердито говорил майор. – Николы ли, Власа ли, все одно; видите, все сгорело, ну и конец… Что толкаетесь то, разве дороги мало, – обратился он сердито к шедшему сзади и вовсе не толкавшему его.
– Ай, ай, ай, что наделали! – слышались, однако, то с той, то с другой стороны голоса пленных, оглядывающих пожарища. – И Замоскворечье то, и Зубово, и в Кремле то, смотрите, половины нет… Да я вам говорил, что все Замоскворечье, вон так и есть.
– Ну, знаете, что сгорело, ну о чем же толковать! – говорил майор.
Проходя через Хамовники (один из немногих несгоревших кварталов Москвы) мимо церкви, вся толпа пленных вдруг пожалась к одной стороне, и послышались восклицания ужаса и омерзения.
– Ишь мерзавцы! То то нехристи! Да мертвый, мертвый и есть… Вымазали чем то.
Пьер тоже подвинулся к церкви, у которой было то, что вызывало восклицания, и смутно увидал что то, прислоненное к ограде церкви. Из слов товарищей, видевших лучше его, он узнал, что это что то был труп человека, поставленный стоймя у ограды и вымазанный в лице сажей…
– Marchez, sacre nom… Filez… trente mille diables… [Иди! иди! Черти! Дьяволы!] – послышались ругательства конвойных, и французские солдаты с новым озлоблением разогнали тесаками толпу пленных, смотревшую на мертвого человека.
По переулкам Хамовников пленные шли одни с своим конвоем и повозками и фурами, принадлежавшими конвойным и ехавшими сзади; но, выйдя к провиантским магазинам, они попали в середину огромного, тесно двигавшегося артиллерийского обоза, перемешанного с частными повозками.
У самого моста все остановились, дожидаясь того, чтобы продвинулись ехавшие впереди. С моста пленным открылись сзади и впереди бесконечные ряды других двигавшихся обозов. Направо, там, где загибалась Калужская дорога мимо Нескучного, пропадая вдали, тянулись бесконечные ряды войск и обозов. Это были вышедшие прежде всех войска корпуса Богарне; назади, по набережной и через Каменный мост, тянулись войска и обозы Нея.
