Лента Мёбиуса

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Мёбиуса лист»)
Перейти к: навигация, поиск

Ле́нта Мёбиуса (лист Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство <math>\R^3</math>.

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно длинную бумажную полоску и склеить противоположные концы полоски, предварительно перевернув один из них. В трёхмерном евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы)К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 3024 дня].

Эйлерова характеристика листа Мёбиуса равна нулю.





Свойства

  • Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «афганской лентой»[кто?]. Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга. Если разрезать ещё раз, получится два кольца, сцепленных между собой.
  • Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами.[1].
  • Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Уравнения

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества <math>\R^3</math> является параметризация:

<math> x \left( u, v \right) = \left( 1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \cos u, </math>
<math> y \left( u, v \right) = \left( 1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \sin u, </math>
<math> z \left( u, v \right) = \frac {v} {2} \sin\frac {u} {2}, </math>

где <math> 0\leqslant u <2\pi </math> и <math>-1\leqslant v\leqslant 1 </math>. Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чья центральная окружность имеет радиус 1, лежит в плоскости <math>xy</math> с центром в <math>\left( 0,\;0,\;0 \right)</math>. Параметр <math>u</math> пробегает вдоль ленты, в то время как <math>v</math> задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах <math>\left( r,\;\theta,\;z \right)</math> неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением

<math>\log r \sin \frac{\theta}{2} = z \cos \frac{\theta}{2}, </math>

где функция логарифма имеет произвольное основание.

Свойства

  • Граница листа Мёбиуса состоит из одной замкнутой кривой, гомеоморфной окружности.
  • Топологически лист Мёбиуса может быть определен как факторпространство квадрата <math>\left[ 0,\;1 \right] \times \left[ 0,\;1 \right]</math> по отношению эквивалентности <math>\left( x,\;0 \right) \sim \left( 1-x,\;1 \right)</math> для <math>0\leqslant x\leqslant 1</math>.
  • Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью со слоем отрезок.
  • Ленту Мёбиуса возможно поместить в <math>\R^3</math> с границей, являющейся идеальной окружностью. Один из способов — применить стереографическую проекцию к бутылке Клейна, вложенной в трёхмерную сферу. Идея состоит в следующем: пусть <math>C</math> будет единичным кругом в плоскости <math>xy</math> в <math>\R^3</math>. Соединив антиподные точки на <math>C</math> (то есть точки под углами <math>\theta</math> и <math>\theta + \pi</math>) дугой круга, получим, что для <math>\theta</math> между <math>0</math> и <math> \pi/2 </math> дуги лежат выше плоскости <math>xy</math>, а для других <math>\theta</math> — ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости <math>xy</math>).К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 3024 дня]
    • Тем не менее любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту Мёбиуса.
  • Примером вложения листа Мебиуса в <math>\C^2</math> является поверхность, заданная уравнением
<math>z_1 = \sin\eta\,e^{i\varphi}</math>
<math>z_2 = \cos\eta\,e^{i\varphi/2},</math>
Здесь параметр <math>\eta</math> изменяется от 0 до <math>\pi</math>. Границей этой поверхности является окружность <math>z_1 = 0, |z_2| = 1</math>. При стереографической проекции получается вложение в <math>\R^3</math> с границей, в точности являющейся окружностью.

Открытые вопросы

  1. Каково минимальное <math>k</math> такое, что из прямоугольника с меньшей стороной 1 и большей стороной k можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мёбиуса (бумагу мять не разрешается)? Доказанная оценка снизу — <math>\frac{\pi}{2}</math>, сверху — <math>\sqrt 3 </math>[2].
  2. Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путём складывания плоского листа бумаги? Вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?[3]
    • Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Решение этой задачи, впервые поставленной Садовским (M. Sadowsky) в 1930 году, было опубликовано в 2007 году[4]. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений[en].

Искусство и технология

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист Мёбиуса II»[5], показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг серии «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».

Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке».

В книге Е. Наумова «Полураспад» (1989 год) интеллигент-алкоголик путешествует по стране, становясь на ленту Мёбиуса.

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo»[6]. Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.

В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Гоночный трек в одном из эпизодов (7 сезон 14 серия, 11 минута) мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова[7] в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976)[8].

Лента Мёбиуса и знак бесконечности

Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ <math> \infty </math> стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса[9] (см. Символ бесконечности).

Вариации и обобщения

  • Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
  • Другое похожее множество — проективная плоскость. Если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.

См. также

Напишите отзыв о статье "Лента Мёбиуса"

Примечания

  1. Кордемский Б. А. [kvant.mccme.ru/1974/03/topologicheskie_opyty_svoimi_r.htm Топологические опыты своими руками] // «Квант», № 3, 1974
  2. Фукс Д. [kvant.mccme.ru/1979/01/lenta_myobiusa.htm Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему] // «Квант», № 1, 1979.
  3. Randrup T., Rogen P. (1996). «Sides of the Möbius strip». Archiv der Mathematik 66: 511—521.
  4. Starostin. E. L., van der Heijden G. H. M. (2007). «[www.nature.com/nmat/journal/v6/n8/abs/nmat1929.html The shape of a Möbius strip]». Nature Materials. DOI:10.1038/nmat1929.
  5. [www.mcescher.com/gallery/most-popular/mobius-strip-ii/ M.C. Escher — Möbius Strip II]
  6. (СПб.: Амфора, 2003)
  7. [archi.ru/russia/25331/master-vychisleniya Мастер вычисления]
  8. [www.the-village.ru/village/city/modern-architecture/176317-dom-s-uhom-tsemi-ran Архитектор Мария Серова — о «доме с ухом» Леонида Павлова — The Village — The Village]
  9. [www.kommersant.ru/doc.aspx?DocsID=1138604 Лента Мёбиуса // Журнал «Weekend» № 10 (106) от 20.03.2009]

Литература

  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.
  • Гарднер М. Математические чудеса и тайны.— М.: Наука, 1978.

Ссылки

Отрывок, характеризующий Лента Мёбиуса

– Да, вот он, мой герой, – сказал Кутузов к полному красивому черноволосому генералу, который в это время входил на курган. Это был Раевский, проведший весь день на главном пункте Бородинского поля.
Раевский доносил, что войска твердо стоят на своих местах и что французы не смеют атаковать более. Выслушав его, Кутузов по французски сказал:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Вы, стало быть, не думаете, как другие, что мы должны отступить?]
– Au contraire, votre altesse, dans les affaires indecises c'est loujours le plus opiniatre qui reste victorieux, – отвечал Раевский, – et mon opinion… [Напротив, ваша светлость, в нерешительных делах остается победителем тот, кто упрямее, и мое мнение…]
– Кайсаров! – крикнул Кутузов своего адъютанта. – Садись пиши приказ на завтрашний день. А ты, – обратился он к другому, – поезжай по линии и объяви, что завтра мы атакуем.
Пока шел разговор с Раевским и диктовался приказ, Вольцоген вернулся от Барклая и доложил, что генерал Барклай де Толли желал бы иметь письменное подтверждение того приказа, который отдавал фельдмаршал.
Кутузов, не глядя на Вольцогена, приказал написать этот приказ, который, весьма основательно, для избежания личной ответственности, желал иметь бывший главнокомандующий.
И по неопределимой, таинственной связи, поддерживающей во всей армии одно и то же настроение, называемое духом армии и составляющее главный нерв войны, слова Кутузова, его приказ к сражению на завтрашний день, передались одновременно во все концы войска.
Далеко не самые слова, не самый приказ передавались в последней цепи этой связи. Даже ничего не было похожего в тех рассказах, которые передавали друг другу на разных концах армии, на то, что сказал Кутузов; но смысл его слов сообщился повсюду, потому что то, что сказал Кутузов, вытекало не из хитрых соображений, а из чувства, которое лежало в душе главнокомандующего, так же как и в душе каждого русского человека.
И узнав то, что назавтра мы атакуем неприятеля, из высших сфер армии услыхав подтверждение того, чему они хотели верить, измученные, колеблющиеся люди утешались и ободрялись.


Полк князя Андрея был в резервах, которые до второго часа стояли позади Семеновского в бездействии, под сильным огнем артиллерии. Во втором часу полк, потерявший уже более двухсот человек, был двинут вперед на стоптанное овсяное поле, на тот промежуток между Семеновским и курганной батареей, на котором в этот день были побиты тысячи людей и на который во втором часу дня был направлен усиленно сосредоточенный огонь из нескольких сот неприятельских орудий.
Не сходя с этого места и не выпустив ни одного заряда, полк потерял здесь еще третью часть своих людей. Спереди и в особенности с правой стороны, в нерасходившемся дыму, бубухали пушки и из таинственной области дыма, застилавшей всю местность впереди, не переставая, с шипящим быстрым свистом, вылетали ядра и медлительно свистевшие гранаты. Иногда, как бы давая отдых, проходило четверть часа, во время которых все ядра и гранаты перелетали, но иногда в продолжение минуты несколько человек вырывало из полка, и беспрестанно оттаскивали убитых и уносили раненых.
С каждым новым ударом все меньше и меньше случайностей жизни оставалось для тех, которые еще не были убиты. Полк стоял в батальонных колоннах на расстоянии трехсот шагов, но, несмотря на то, все люди полка находились под влиянием одного и того же настроения. Все люди полка одинаково были молчаливы и мрачны. Редко слышался между рядами говор, но говор этот замолкал всякий раз, как слышался попавший удар и крик: «Носилки!» Большую часть времени люди полка по приказанию начальства сидели на земле. Кто, сняв кивер, старательно распускал и опять собирал сборки; кто сухой глиной, распорошив ее в ладонях, начищал штык; кто разминал ремень и перетягивал пряжку перевязи; кто старательно расправлял и перегибал по новому подвертки и переобувался. Некоторые строили домики из калмыжек пашни или плели плетеночки из соломы жнивья. Все казались вполне погружены в эти занятия. Когда ранило и убивало людей, когда тянулись носилки, когда наши возвращались назад, когда виднелись сквозь дым большие массы неприятелей, никто не обращал никакого внимания на эти обстоятельства. Когда же вперед проезжала артиллерия, кавалерия, виднелись движения нашей пехоты, одобрительные замечания слышались со всех сторон. Но самое большое внимание заслуживали события совершенно посторонние, не имевшие никакого отношения к сражению. Как будто внимание этих нравственно измученных людей отдыхало на этих обычных, житейских событиях. Батарея артиллерии прошла пред фронтом полка. В одном из артиллерийских ящиков пристяжная заступила постромку. «Эй, пристяжную то!.. Выправь! Упадет… Эх, не видят!.. – по всему полку одинаково кричали из рядов. В другой раз общее внимание обратила небольшая коричневая собачонка с твердо поднятым хвостом, которая, бог знает откуда взявшись, озабоченной рысцой выбежала перед ряды и вдруг от близко ударившего ядра взвизгнула и, поджав хвост, бросилась в сторону. По всему полку раздалось гоготанье и взвизги. Но развлечения такого рода продолжались минуты, а люди уже более восьми часов стояли без еды и без дела под непроходящим ужасом смерти, и бледные и нахмуренные лица все более бледнели и хмурились.
Князь Андрей, точно так же как и все люди полка, нахмуренный и бледный, ходил взад и вперед по лугу подле овсяного поля от одной межи до другой, заложив назад руки и опустив голову. Делать и приказывать ему нечего было. Все делалось само собою. Убитых оттаскивали за фронт, раненых относили, ряды смыкались. Ежели отбегали солдаты, то они тотчас же поспешно возвращались. Сначала князь Андрей, считая своею обязанностью возбуждать мужество солдат и показывать им пример, прохаживался по рядам; но потом он убедился, что ему нечему и нечем учить их. Все силы его души, точно так же как и каждого солдата, были бессознательно направлены на то, чтобы удержаться только от созерцания ужаса того положения, в котором они были. Он ходил по лугу, волоча ноги, шаршавя траву и наблюдая пыль, которая покрывала его сапоги; то он шагал большими шагами, стараясь попадать в следы, оставленные косцами по лугу, то он, считая свои шаги, делал расчеты, сколько раз он должен пройти от межи до межи, чтобы сделать версту, то ошмурыгывал цветки полыни, растущие на меже, и растирал эти цветки в ладонях и принюхивался к душисто горькому, крепкому запаху. Изо всей вчерашней работы мысли не оставалось ничего. Он ни о чем не думал. Он прислушивался усталым слухом все к тем же звукам, различая свистенье полетов от гула выстрелов, посматривал на приглядевшиеся лица людей 1 го батальона и ждал. «Вот она… эта опять к нам! – думал он, прислушиваясь к приближавшемуся свисту чего то из закрытой области дыма. – Одна, другая! Еще! Попало… Он остановился и поглядел на ряды. „Нет, перенесло. А вот это попало“. И он опять принимался ходить, стараясь делать большие шаги, чтобы в шестнадцать шагов дойти до межи.
Свист и удар! В пяти шагах от него взрыло сухую землю и скрылось ядро. Невольный холод пробежал по его спине. Он опять поглядел на ряды. Вероятно, вырвало многих; большая толпа собралась у 2 го батальона.
– Господин адъютант, – прокричал он, – прикажите, чтобы не толпились. – Адъютант, исполнив приказание, подходил к князю Андрею. С другой стороны подъехал верхом командир батальона.
– Берегись! – послышался испуганный крик солдата, и, как свистящая на быстром полете, приседающая на землю птичка, в двух шагах от князя Андрея, подле лошади батальонного командира, негромко шлепнулась граната. Лошадь первая, не спрашивая того, хорошо или дурно было высказывать страх, фыркнула, взвилась, чуть не сронив майора, и отскакала в сторону. Ужас лошади сообщился людям.
– Ложись! – крикнул голос адъютанта, прилегшего к земле. Князь Андрей стоял в нерешительности. Граната, как волчок, дымясь, вертелась между ним и лежащим адъютантом, на краю пашни и луга, подле куста полыни.
«Неужели это смерть? – думал князь Андрей, совершенно новым, завистливым взглядом глядя на траву, на полынь и на струйку дыма, вьющуюся от вертящегося черного мячика. – Я не могу, я не хочу умереть, я люблю жизнь, люблю эту траву, землю, воздух… – Он думал это и вместе с тем помнил о том, что на него смотрят.
– Стыдно, господин офицер! – сказал он адъютанту. – Какой… – он не договорил. В одно и то же время послышался взрыв, свист осколков как бы разбитой рамы, душный запах пороха – и князь Андрей рванулся в сторону и, подняв кверху руку, упал на грудь.
Несколько офицеров подбежало к нему. С правой стороны живота расходилось по траве большое пятно крови.
Вызванные ополченцы с носилками остановились позади офицеров. Князь Андрей лежал на груди, опустившись лицом до травы, и, тяжело, всхрапывая, дышал.
– Ну что стали, подходи!
Мужики подошли и взяли его за плечи и ноги, но он жалобно застонал, и мужики, переглянувшись, опять отпустили его.
– Берись, клади, всё одно! – крикнул чей то голос. Его другой раз взяли за плечи и положили на носилки.
– Ах боже мой! Боже мой! Что ж это?.. Живот! Это конец! Ах боже мой! – слышались голоса между офицерами. – На волосок мимо уха прожужжала, – говорил адъютант. Мужики, приладивши носилки на плечах, поспешно тронулись по протоптанной ими дорожке к перевязочному пункту.
– В ногу идите… Э!.. мужичье! – крикнул офицер, за плечи останавливая неровно шедших и трясущих носилки мужиков.
– Подлаживай, что ль, Хведор, а Хведор, – говорил передний мужик.
– Вот так, важно, – радостно сказал задний, попав в ногу.
– Ваше сиятельство? А? Князь? – дрожащим голосом сказал подбежавший Тимохин, заглядывая в носилки.
Князь Андрей открыл глаза и посмотрел из за носилок, в которые глубоко ушла его голова, на того, кто говорил, и опять опустил веки.
Ополченцы принесли князя Андрея к лесу, где стояли фуры и где был перевязочный пункт. Перевязочный пункт состоял из трех раскинутых, с завороченными полами, палаток на краю березника. В березнике стояла фуры и лошади. Лошади в хребтугах ели овес, и воробьи слетали к ним и подбирали просыпанные зерна. Воронья, чуя кровь, нетерпеливо каркая, перелетали на березах. Вокруг палаток, больше чем на две десятины места, лежали, сидели, стояли окровавленные люди в различных одеждах. Вокруг раненых, с унылыми и внимательными лицами, стояли толпы солдат носильщиков, которых тщетно отгоняли от этого места распоряжавшиеся порядком офицеры. Не слушая офицеров, солдаты стояли, опираясь на носилки, и пристально, как будто пытаясь понять трудное значение зрелища, смотрели на то, что делалось перед ними. Из палаток слышались то громкие, злые вопли, то жалобные стенания. Изредка выбегали оттуда фельдшера за водой и указывали на тех, который надо было вносить. Раненые, ожидая у палатки своей очереди, хрипели, стонали, плакали, кричали, ругались, просили водки. Некоторые бредили. Князя Андрея, как полкового командира, шагая через неперевязанных раненых, пронесли ближе к одной из палаток и остановились, ожидая приказания. Князь Андрей открыл глаза и долго не мог понять того, что делалось вокруг него. Луг, полынь, пашня, черный крутящийся мячик и его страстный порыв любви к жизни вспомнились ему. В двух шагах от него, громко говоря и обращая на себя общее внимание, стоял, опершись на сук и с обвязанной головой, высокий, красивый, черноволосый унтер офицер. Он был ранен в голову и ногу пулями. Вокруг него, жадно слушая его речь, собралась толпа раненых и носильщиков.