М-оценки

Оценки максимального правдоподобия (ОМП) определяются одним из следующих условий:

<math>\sum_i \ln P_i \to \max_{\theta \in \Theta},\qquad \sum_i \frac{\partial \ln P_i}{\partial \theta} = 0, \qquad \sum_i \frac{P_i'}{P_i} = 0</math>

где в случае негруппированной выборки <math>P_i=f(x_i,\theta)</math>, а в случае группированной — <math>P_i=\left( \int\limits_{x_{i-1}}^{x_i} f(x,\theta) \, \mathrm{d} x \right)^{n_i}</math>

М-оценки — есть некое обобщение ОМП. Они определяются аналогично одним из соотношений:

<math>\sum_{i=1}^N \rho(x_i,\theta) \to \max_{\theta \in \Theta}, \qquad \sum_{i=1}^N \phi(x_i,\theta) =0</math>

Если наложить условие регулярности в подстановке <math> F_{t,x}=(1-t)F+t\Delta_x</math> и продифференцировать его по <math>t</math> в 0:

<math>0 = \frac{\partial}{\partial{t}} \int \phi(x,T(F_{t,x})) \, \mathrm{d} F_{t,x}</math>

<math>0 = \int \frac{\partial \phi(x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta} IF \, \mathrm{d} F_{t,x} + \int \phi(x,T(F_{t,x})) \, \mathrm{d} \frac{\partial ((1-t)F + t \Delta_x)}{\partial t}</math>

<math>0 = IF \int \frac{\partial \phi(x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta} \, \mathrm{d} F_{t,x} + \phi(x,T(F_{t,x}))</math>

то не представляет большого труда получить выражение функции влияния для M-оценок: <math>IF=\frac{-\phi(x)} {\int \phi'_{\theta} (x) \, \mathrm{d} F}</math>

Указанное выражение позволяет сделать вывод о том, что M-оценки эквивалентны с точностью до ненулевого множителя-константы.

Несложно проверить, что для ОМП стандартного нормального закона распределения <math>\mathcal{N}(0,1)</math> функции влияния <math>IF</math> параметра сдвига и параметра масштаба выглядят соответственно:

<math> IF = x, \quad IF = \frac{1}{2} \; x^2 - \frac{1}{2}</math>

Эти функции неограничены, а это значит, что ОМП не является робастной в терминах B-робастности.

Для того, чтобы это исправить, M-оценки искусственно ограничивают, а значит и ограничивают её <math>IF</math> (см. выражение <math>IF</math> для M-оценок), устанавливая верхний барьер на влияние резко выделяющихся (далеко отстоящих от предполагаемых значений параметров) наблюдений. Делается это введением так называемых усечённых M-оценок, определяемых выражением:

<math>\phi_b (z)=\left\{ \begin{array}{lr} \phi(b), & b < z \\ \phi(z), & -b < z \leqslant b \\ \phi(-b), & z \leqslant -b \end{array} \right.</math>

где <math>z=\frac{x-\theta}{S}</math>, <math>\theta</math> и <math>S</math> — оценки параметров сдвига и масштаба соответственно.

Среди усечённых M-оценок оптимальными с точки зрения B-робастности являются усечённые ОМП.

См. также

Робастность в статистике

Источники

• Robert G. Staudte: Robust estimation and testing. Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
• Rand R. Wilcox: Introduction to robust estimation and hypothesis testing. Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3

Отрывок, характеризующий М-оценки

– Так когда получить? – спросил Долохов.
– Завтра, – сказал Ростов, и вышел из комнаты.


Сказать «завтра» и выдержать тон приличия было не трудно; но приехать одному домой, увидать сестер, брата, мать, отца, признаваться и просить денег, на которые не имеешь права после данного честного слова, было ужасно.
Дома еще не спали. Молодежь дома Ростовых, воротившись из театра, поужинав, сидела у клавикорд. Как только Николай вошел в залу, его охватила та любовная, поэтическая атмосфера, которая царствовала в эту зиму в их доме и которая теперь, после предложения Долохова и бала Иогеля, казалось, еще более сгустилась, как воздух перед грозой, над Соней и Наташей. Соня и Наташа в голубых платьях, в которых они были в театре, хорошенькие и знающие это, счастливые, улыбаясь, стояли у клавикорд. Вера с Шиншиным играла в шахматы в гостиной. Старая графиня, ожидая сына и мужа, раскладывала пасьянс с старушкой дворянкой, жившей у них в доме. Денисов с блестящими глазами и взъерошенными волосами сидел, откинув ножку назад, у клавикорд, и хлопая по ним своими коротенькими пальцами, брал аккорды, и закатывая глаза, своим маленьким, хриплым, но верным голосом, пел сочиненное им стихотворение «Волшебница», к которому он пытался найти музыку.
Волшебница, скажи, какая сила
Влечет меня к покинутым струнам;
Какой огонь ты в сердце заронила,
Какой восторг разлился по перстам!
Пел он страстным голосом, блестя на испуганную и счастливую Наташу своими агатовыми, черными глазами.
– Прекрасно! отлично! – кричала Наташа. – Еще другой куплет, – говорила она, не замечая Николая.
«У них всё то же» – подумал Николай, заглядывая в гостиную, где он увидал Веру и мать с старушкой.
– А! вот и Николенька! – Наташа подбежала к нему.
– Папенька дома? – спросил он.
– Как я рада, что ты приехал! – не отвечая, сказала Наташа, – нам так весело. Василий Дмитрич остался для меня еще день, ты знаешь?
– Нет, еще не приезжал папа, – сказала Соня.
– Коко, ты приехал, поди ко мне, дружок! – сказал голос графини из гостиной. Николай подошел к матери, поцеловал ее руку и, молча подсев к ее столу, стал смотреть на ее руки, раскладывавшие карты. Из залы всё слышались смех и веселые голоса, уговаривавшие Наташу.
– Ну, хорошо, хорошо, – закричал Денисов, – теперь нечего отговариваться, за вами barcarolla, умоляю вас.