Наблюдатель (динамические системы)

Система

<math>\dot q(t)=Fq(t)+Gy(t)+Hu(t)</math> (1)

<math>z(t)=Kq(t)+Ly(t)+Mu(t)</math> (2)

является наблюдателем для системы

<math>\dot x(t)=Ax(t)+Bu(t)</math> (3),

<math>y(t)=Cx(t)</math> (4),

если для каждого начального состояния <math>x(t_0)</math> системы (3)-(4) существует начальное состояние <math>q_0</math> для системы (1)-(2), такое, что равенство <math>q(t_0)=q_0</math> приводит к <math>z(t)=x(t), t \ge t_0</math> при всех управлениях <math>u(t), t \ge t_0</math>.

Здесь <math>A, B, C, F, G, H, K, L, M</math> — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность <math>q(t)</math> равна размерности <math>x(t)</math> и выполнение условия <math>q(t_0)=x(t_0)</math> дает <math>q(t)=x(t), t \ge t_0</math> при всех управлениях <math>u(t), t \ge t_0</math>, то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. <math>n</math>-мерный вектор <math>x(t)</math>, называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени <math>t</math>. <math>r</math>-мерный вектор <math>u(t)</math> описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

<math>l</math>-мерный вектор <math>y(t)</math> представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно <math>l<n</math>. <math>y(t)</math> называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда <math>F(t)=A(t)-K(t)C(t)</math>, <math>G(t)=K(t)</math>, <math>H(t)=B(t)</math>, где <math>K(t)</math> является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

<math>\dot q(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t)]</math> (5).

Матрица <math>K(t)</math> называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде

<math>\dot q(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t)</math>,

откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы

<math>A(t)-K(t)C(t)</math>.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления <math>K</math>, устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы <math>A-KC</math>, называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

<math>e(t)=x(t)-q(t)</math>

удовлетворяет дифференциальному уравнению

<math>\dot e(t)=\left[A(t)-K(t)C(t)\right]e(t)</math>.

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

<math>e(t) \to 0</math> при <math>t \to 0</math>

для всех <math>e(t_0)</math> тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления <math>K</math>, однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной <math>y(t)</math>.

См. также

• Система отсчёта
• Динамическая система

Отрывок, характеризующий Наблюдатель (динамические системы)

– Изволили лечь и огонь потушили, ваше сиятельство.
– Не за чем, не за чем… – быстро проговорил князь и, всунув ноги в туфли и руки в халат, пошел к дивану, на котором он спал.
Несмотря на то, что между Анатолем и m lle Bourienne ничего не было сказано, они совершенно поняли друг друга в отношении первой части романа, до появления pauvre mere, поняли, что им нужно много сказать друг другу тайно, и потому с утра они искали случая увидаться наедине. В то время как княжна прошла в обычный час к отцу, m lle Bourienne сошлась с Анатолем в зимнем саду.
Княжна Марья подходила в этот день с особенным трепетом к двери кабинета. Ей казалось, что не только все знают, что нынче совершится решение ее судьбы, но что и знают то, что она об этом думает. Она читала это выражение в лице Тихона и в лице камердинера князя Василья, который с горячей водой встретился в коридоре и низко поклонился ей.
Старый князь в это утро был чрезвычайно ласков и старателен в своем обращении с дочерью. Это выражение старательности хорошо знала княжна Марья. Это было то выражение, которое бывало на его лице в те минуты, когда сухие руки его сжимались в кулак от досады за то, что княжна Марья не понимала арифметической задачи, и он, вставая, отходил от нее и тихим голосом повторял несколько раз одни и те же слова.
Он тотчас же приступил к делу и начал разговор, говоря «вы».
– Мне сделали пропозицию насчет вас, – сказал он, неестественно улыбаясь. – Вы, я думаю, догадались, – продолжал он, – что князь Василий приехал сюда и привез с собой своего воспитанника (почему то князь Николай Андреич называл Анатоля воспитанником) не для моих прекрасных глаз. Мне вчера сделали пропозицию насчет вас. А так как вы знаете мои правила, я отнесся к вам.
– Как мне вас понимать, mon pere? – проговорила княжна, бледнея и краснея.
– Как понимать! – сердито крикнул отец. – Князь Василий находит тебя по своему вкусу для невестки и делает тебе пропозицию за своего воспитанника. Вот как понимать. Как понимать?!… А я у тебя спрашиваю.
– Я не знаю, как вы, mon pere, – шопотом проговорила княжна.
– Я? я? что ж я то? меня то оставьте в стороне. Не я пойду замуж. Что вы? вот это желательно знать.
Княжна видела, что отец недоброжелательно смотрел на это дело, но ей в ту же минуту пришла мысль, что теперь или никогда решится судьба ее жизни. Она опустила глаза, чтобы не видеть взгляда, под влиянием которого она чувствовала, что не могла думать, а могла по привычке только повиноваться, и сказала:
– Я желаю только одного – исполнить вашу волю, – сказала она, – но ежели бы мое желание нужно было выразить…
Она не успела договорить. Князь перебил ее.
– И прекрасно, – закричал он. – Он тебя возьмет с приданным, да кстати захватит m lle Bourienne. Та будет женой, а ты…
Князь остановился. Он заметил впечатление, произведенное этими словами на дочь. Она опустила голову и собиралась плакать.
– Ну, ну, шучу, шучу, – сказал он. – Помни одно, княжна: я держусь тех правил, что девица имеет полное право выбирать. И даю тебе свободу. Помни одно: от твоего решения зависит счастье жизни твоей. Обо мне нечего говорить.