Накрытие

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Накрытие — это непрерывное сюръективное отображение <math>p:X\to Y</math> линейно связного пространства <math>X</math> на линейно связное пространство <math>Y</math>, такое, что у любой точки <math>y \in Y </math> найдется окрестность <math>U\subset Y</math>, полный прообраз которой <math>p^{-1}(U)</math> представляет собой объединение непересекающихся областей <math>V_k\subset X</math>:

<math>p^{-1}(U) = V_1\cup V_2\cup\dots</math>,

причём на каждой области <math>V_k</math> отображение <math>p:\,V_k\to U</math> является гомеоморфизмом между <math>V_k</math> и <math>U</math>.





Формальное определение

Отображение <math>p:X\to Y</math> линейно связного пространства <math>X</math> на линейно связное пространство <math>Y</math> называется накрытием, если у любой точки <math>y\in Y</math> имеется окрестность <math>U\subset Y</math>, для которой существует гомеоморфизм <math>h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma</math>, где <math>\Gamma</math> — дискретное пространство, такое что если <math>\pi:U\times \Gamma\to U</math> обозначает естественную проекцию, то

<math>p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h</math>.

Связанные определения

  • Пространство Y называется базой накрытия, а Xпространством накрытия (или накрывающим пространством).
  • Прообраз <math>p^{-1}(y)</math> точки <math>y \in Y</math> называют слоем над точкой <math>y</math>.
  • Число областей Vk в полном прообразе <math>p^{-1}(U)</math> называется числом листов.
    • Если это число конечно и равно n, то накрытие называется n-листным.
  • Накрытие называется универсальным если накрывающее пространство односвязно.

Примеры

  • Пусть <math>S^1</math> обозначает единичную окружность комплексной плоскости <math>S^1=\{z\in {\mathbb C||z|=1}\}</math>.
    • <math>p: {\mathbb R}\to S^1</math>,   <math>p:x\mapsto e^{2\pi i x}</math>.
    • <math>p:S^1\to S^1</math>,   <math>p:z\mapsto z^k</math>, где <math>k\neq 0</math>, <math>k \in {\mathbb Z}</math>.

Свойства

Связь с фундаментальной группой

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности <math>X</math> и <math>Y</math> и также локальной односвязности <math>Y</math>. При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами <math>\pi_1(X,x_0)</math> и <math>\pi_1(Y, y_0)</math>: если <math>p(x_0)=y_0</math>, то индуцированный гомоморфизм <math>p:\pi_1(X,x_0)\to \pi_1(Y, y_0)</math>, отображает <math>\pi_1(X,x_0)</math> изоморфно на подгруппу в <math>\pi_1(Y, y_0)</math> и, меняя точку <math>x_0</math> в <math>p^{-1}(y_0)</math>, можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы <math>H</math> (т. е. <math>H</math> — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы <math>G=\pi_1 (Y, y_0)/H</math> на <math>X</math>, причём <math>p</math> оказывается факторотображением на пространство орбит <math>Y</math>. Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле <math>q:[0,1] \to Y</math>, <math>q(0)=q(1)=y_0</math>, сопоставить единственный путь <math>\tilde q: [0,1]\to X</math>, для которого <math>\tilde q(0) = x_0</math> и <math>p\tilde q=q</math>, то точка <math>\tilde q(1)</math> будет зависеть только от класса этой петли в <math>G</math> и от точки <math>x_0</math>. Таким образом, элементу из <math>G</math> отвечает перестановка точек в <math>p^{-1}(y_0)</math>. Эта перестановка не имеет неподвижных точек, и непрерывно зависит от точки <math>y_0</math>. Это определяет гомеоморфизм <math>X</math> комутирующий с <math>p</math>.

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в <math>p^{-1}(y_0)</math>, то есть имеется действие <math>\pi_1(Y, y_0)</math> на <math>p^{-1}(y_0)</math>, называемый монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого <math>G=\pi_1(Y, y_0)</math> или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе <math>H\subset \pi_1(Y, y_0)</math> однозначно строится накрытие <math>p:X\to Y</math>, для которого образ <math>\pi_1(X, x_0)</math> есть <math>H</math>.

Для любого отображения <math>f</math> линейно связного пространства <math>(Z, z_0)</math> в <math>(Y, y_0)</math> поднятие его до отображения <math>\tilde f: (Z, z_0)\to (X,x_0)</math> существует тогда и только тогда, когда образ <math>f(\pi_1(Z, z_0))</math> лежит в <math>H</math>. Между накрытиями <math>Y</math> имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в <math>\pi_1(Y, y_0)</math>. В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

Напишите отзыв о статье "Накрытие"

Литература

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука,1986
  • Болтянский В. Г., Ефремович В. А., [www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.htm Наглядная топология] выпуск 21 серии «Библиотечка квант» М., Наука, 1982.

См. также

Отрывок, характеризующий Накрытие

«Воровство и грабеж продолжаются. Существует шайка воров в нашем участке, которую надо будет остановить сильными мерами. 11 октября».]
«Император чрезвычайно недоволен, что, несмотря на строгие повеления остановить грабеж, только и видны отряды гвардейских мародеров, возвращающиеся в Кремль. В старой гвардии беспорядки и грабеж сильнее, нежели когда либо, возобновились вчера, в последнюю ночь и сегодня. С соболезнованием видит император, что отборные солдаты, назначенные охранять его особу, долженствующие подавать пример подчиненности, до такой степени простирают ослушание, что разбивают погреба и магазины, заготовленные для армии. Другие унизились до того, что не слушали часовых и караульных офицеров, ругали их и били».
«Le grand marechal du palais se plaint vivement, – писал губернатор, – que malgre les defenses reiterees, les soldats continuent a faire leurs besoins dans toutes les cours et meme jusque sous les fenetres de l'Empereur».
[«Обер церемониймейстер дворца сильно жалуется на то, что, несмотря на все запрещения, солдаты продолжают ходить на час во всех дворах и даже под окнами императора».]
Войско это, как распущенное стадо, топча под ногами тот корм, который мог бы спасти его от голодной смерти, распадалось и гибло с каждым днем лишнего пребывания в Москве.
Но оно не двигалось.
Оно побежало только тогда, когда его вдруг охватил панический страх, произведенный перехватами обозов по Смоленской дороге и Тарутинским сражением. Это же самое известие о Тарутинском сражении, неожиданно на смотру полученное Наполеоном, вызвало в нем желание наказать русских, как говорит Тьер, и он отдал приказание о выступлении, которого требовало все войско.
Убегая из Москвы, люди этого войска захватили с собой все, что было награблено. Наполеон тоже увозил с собой свой собственный tresor [сокровище]. Увидав обоз, загромождавший армию. Наполеон ужаснулся (как говорит Тьер). Но он, с своей опытностью войны, не велел сжечь всо лишние повозки, как он это сделал с повозками маршала, подходя к Москве, но он посмотрел на эти коляски и кареты, в которых ехали солдаты, и сказал, что это очень хорошо, что экипажи эти употребятся для провианта, больных и раненых.
Положение всего войска было подобно положению раненого животного, чувствующего свою погибель и не знающего, что оно делает. Изучать искусные маневры Наполеона и его войска и его цели со времени вступления в Москву и до уничтожения этого войска – все равно, что изучать значение предсмертных прыжков и судорог смертельно раненного животного. Очень часто раненое животное, заслышав шорох, бросается на выстрел на охотника, бежит вперед, назад и само ускоряет свой конец. То же самое делал Наполеон под давлением всего его войска. Шорох Тарутинского сражения спугнул зверя, и он бросился вперед на выстрел, добежал до охотника, вернулся назад, опять вперед, опять назад и, наконец, как всякий зверь, побежал назад, по самому невыгодному, опасному пути, но по знакомому, старому следу.
Наполеон, представляющийся нам руководителем всего этого движения (как диким представлялась фигура, вырезанная на носу корабля, силою, руководящею корабль), Наполеон во все это время своей деятельности был подобен ребенку, который, держась за тесемочки, привязанные внутри кареты, воображает, что он правит.


6 го октября, рано утром, Пьер вышел из балагана и, вернувшись назад, остановился у двери, играя с длинной, на коротких кривых ножках, лиловой собачонкой, вертевшейся около него. Собачонка эта жила у них в балагане, ночуя с Каратаевым, но иногда ходила куда то в город и опять возвращалась. Она, вероятно, никогда никому не принадлежала, и теперь она была ничья и не имела никакого названия. Французы звали ее Азор, солдат сказочник звал ее Фемгалкой, Каратаев и другие звали ее Серый, иногда Вислый. Непринадлежание ее никому и отсутствие имени и даже породы, даже определенного цвета, казалось, нисколько не затрудняло лиловую собачонку. Пушной хвост панашем твердо и кругло стоял кверху, кривые ноги служили ей так хорошо, что часто она, как бы пренебрегая употреблением всех четырех ног, поднимала грациозно одну заднюю и очень ловко и скоро бежала на трех лапах. Все для нее было предметом удовольствия. То, взвизгивая от радости, она валялась на спине, то грелась на солнце с задумчивым и значительным видом, то резвилась, играя с щепкой или соломинкой.
Одеяние Пьера теперь состояло из грязной продранной рубашки, единственном остатке его прежнего платья, солдатских порток, завязанных для тепла веревочками на щиколках по совету Каратаева, из кафтана и мужицкой шапки. Пьер очень изменился физически в это время. Он не казался уже толст, хотя и имел все тот же вид крупности и силы, наследственной в их породе. Борода и усы обросли нижнюю часть лица; отросшие, спутанные волосы на голове, наполненные вшами, курчавились теперь шапкою. Выражение глаз было твердое, спокойное и оживленно готовое, такое, какого никогда не имел прежде взгляд Пьера. Прежняя его распущенность, выражавшаяся и во взгляде, заменилась теперь энергической, готовой на деятельность и отпор – подобранностью. Ноги его были босые.