Нега-позиционная система счисления
| Системы счисления в культуре | |
|---|---|
| Индо-арабская | |
| Арабская Тамильская Бирманская |
Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская |
| Восточноазиатские | |
| Китайская Японская Сучжоу Корейская |
Вьетнамская Счётные палочки |
| Алфавитные | |
| Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая |
Греческая Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья |
| Другие | |
| Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская |
Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ |
| Позиционные | |
| 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60 | |
| Нега-позиционная | |
| Симметричная | |
| Смешанные системы | |
| Фибоначчиева | |
| Непозиционные | |
| Единичная (унарная) | |
Не́га-позицио́нная систе́ма счисле́ния — это позиционная система счисления с отрицательным основанием. Особенностью таких систем является отсутствие знака перед отрицательными числами и, следовательно, отсутствие правил знаков. Всякое число любой из нега-позиционных систем, отличное от <math>0</math>, с нечётным числом цифр — положительно, а с чётным числом цифр — отрицательно. Часто число в нега-позиционной системе требует для записи на одну цифру больше, чем то же число в системе с положительным основанием. Обычно название нега-позиционной системы состоит из приставки нега- и названия соответствующей системы счисления с положительным основанием; например, нега-десятичная (b = −10), нега-троичная (b = −3), нега-двоичная (b = −2) и другие.
Содержание
Примеры
Нега-позиционная запись Позиционная запись Представление числа 174(-10) 34(10) 1·(-10)2 + 7·(-10)1 + 4·(-10)0 = 100 − 70 + 4 = 34 46(-10) −34(10) 4·(-10)1 + 6·(-10)0 = −40 + 6 = −34 11001(-2) 1001(2) 1·(-2)4 + 1·(-2)3 + 0·(-2)2 + 0·(-2)1 + 1·(-2)0 = 16 − 8 + 1 = 9
История
Нега-позиционные системы счисления были впервые предложены Витторио Грюнвальдом в его работе «Giornale di Matematiche di Battaglini» 23 (стр 203—221), опубликованной в 1885 году. Грюнвальд описал алгоритмы сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, признаков делимости и преобразования систем счисления.
Использование
Число x в нега-позиционной системе счисления с основанием <math>b = -r</math> представляется в виде линейной комбинации степеней числа <math>-r</math>:
- <math>x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k (-r)^k</math>, где <math>a_k</math> — это целые числа, называемые цифрами и удовлетворяющие неравенству <math>0 \leq a_k < r</math>, <math>k</math> — порядковый номер разряда начиная с нулевого, n — число разрядов.
Каждая степень <math>(-r)^k</math> в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя <math>k</math>. Обычно для ненулевого числа <math>x</math> требуют, чтобы старшая цифра <math>a_{n-1}</math> в b-ричном представлении <math>x</math> была также ненулевой.
Нега-позиционные системы сравнимы с знако-разрядными системами счисления, такими как симметричная троичная система, где основание системы положительно, однако цифры могут принимать отрицательные значения из некого промежутка.
Некоторые числа обладают одним и тем же представлением в системах счисления с основанием <math>b</math> и <math>-b</math> (позиционных и соответствующим им нега-позиционных). К примеру, числа от 100 до 109 одинаково записываются в десятичной и нега-десятичных системах счисления. Аналогично:
- <math>17 = 2^4+2^0 = (-2)^4+(-2)^0</math>
То есть число 17 имеет одинаковое представление в двоичной и нега-двоичной системах счисления — <math>10001</math>.
Представления чисел от −12 до 12 в различных системах счисления:
| Десятичное | Нега-десятичное | Двоичное | Нега-двоичное | Троичное | Нега-троичное |
|---|---|---|---|---|---|
| -12 | 28 | -1100 | 110100 | -110 | 1210 |
| -11 | 29 | -1011 | 110101 | -102 | 1211 |
| -10 | 10 | -1010 | 1010 | -101 | 1212 |
| -9 | 11 | -1001 | 1011 | -100 | 1200 |
| -8 | 12 | -1000 | 1000 | -22 | 1201 |
| -7 | 13 | -111 | 1001 | -21 | 1202 |
| -6 | 14 | -110 | 1110 | -20 | 20 |
| -5 | 15 | -101 | 1111 | -12 | 21 |
| -4 | 16 | -100 | 1100 | -11 | 22 |
| -3 | 17 | -11 | 1101 | -10 | 10 |
| -2 | 18 | -10 | 10 | -2 | 11 |
| -1 | 19 | -1 | 11 | -1 | 12 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 10 | 110 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 11 | 111 | 10 | 120 |
| 4 | 4 | 100 | 100 | 11 | 121 |
| 5 | 5 | 101 | 101 | 12 | 122 |
| 6 | 6 | 110 | 11010 | 20 | 110 |
| 7 | 7 | 111 | 11011 | 21 | 111 |
| 8 | 8 | 1000 | 11000 | 22 | 112 |
| 9 | 9 | 1001 | 11001 | 100 | 100 |
| 10 | 190 | 1010 | 11110 | 101 | 101 |
| 11 | 191 | 1011 | 11111 | 102 | 102 |
| 12 | 192 | 1100 | 11100 | 110 | 220 |
Перевод в нега-позиционные системы
Нега-позиционное представление числа может быть получено последовательными делениями с остатком исходного числа на <math>b = -r</math> (то есть на основание нега-позиционной системы) и записью подряд остатков начиная с последнего. Заметим, что если <math>a / b = c</math>, с остатком <math>d</math>, то <math>bc + d = a</math>. Пример перевода в нега-троичную систему:
- <math>\begin{align}
146 & ~/~ -3 = & -48, & ~~~d = 2 \\ -48 & ~/~ -3 = & 16, & ~~~d = 0 \\ 16 & ~/~ -3 = & -5, & ~~~d = 1 \\ -5 & ~/~ -3 = & 2, & ~~~d = 1 \\ 2 & ~/~ -3 = & 0, & ~~~d = 2 \\
\end{align}</math> Следовательно, нега-троичным представлением числа 146(10) является 21102(-3).
static string negaternary(int value)
{
string result = string.Empty;
while (value != 0)
{
int remainder = value % -3;
value = value / -3;
if (remainder < 0)
{
remainder += 3;
value += 1;
}
result = remainder.ToString() + result;
}
return result;
}Дроби
 |
Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. |
Арифметические операции
Сложение
Сложение столбиком надо делать как в обычной системе, например если вы хотите сложить в нега-десятичной системе счисления, то это надо делать как в десятичной системе счисления. Но с одним исключением: если при сложении в каком-либо разряде получается число не менее 10, то надо в этот разряд записать число единиц из полученного числа а из соседнего слева разряда вычесть единицу. Если слева нет разряда, то приписать слева 19 (для нега-десятичной, для нега-троичной 12, для нега-двоичной 11). Например (нега-десятичная система):
· · 18115 + 5487 3582
5+7=12, 2 в разряд единиц, из соседнего слева вычитаем единицу. 8+5=13, 3 в разряд минус тысяч, из соседнего слева вычитаем единицу.
· 72 + 49 1901
2+9=11, 1 в разряд единиц, из соседнего слева вычитаем единицу. 6+4=10, 0 в разряд минус десятков, соседнего слева — нет, приписываем слева 19.
Вычитание
Вычитание столбиком надо делать как в обычной системе, например если вы хотите вычесть в нега-десятичной системе счисления, то это надо делать как в десятичной системе счисления. Но с одним исключением: если при вычитании в каком-либо разряде надо занять десяток, то вы это и делаете, но из соседнего слева разряда вы не вычитаете единицу, а наоборот прибавляете её туда. Если слева нет разряда, то приписать слева 1. Например (нега-десятичная система):
1 52 - 39 33
2-9 нельзя, занимаем единицу. 12-9=3, 3 в разряд единиц, в соседний слева разряд прибавляем единицу. 6-3=3.
2 - 9 13
2-9 нельзя, занимаем единицу. 12-9=3, 3 в разряд единиц, соседнего слева разряда нет, приписываем слева 1.
Умножение
Таблицы умножения
| × | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 2 | 121 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| х | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 6 | 8 | 190 | 192 | 194 | 196 | 198 |
| 3 | 6 | 9 | 192 | 195 | 198 | 181 | 184 | 187 |
| 4 | 8 | 192 | 196 | 180 | 184 | 188 | 172 | 176 |
| 5 | 190 | 195 | 180 | 185 | 170 | 175 | 160 | 165 |
| 6 | 192 | 198 | 184 | 170 | 176 | 162 | 168 | 154 |
| 7 | 194 | 181 | 188 | 175 | 162 | 169 | 156 | 143 |
| 8 | 196 | 184 | 172 | 160 | 168 | 156 | 144 | 132 |
| 9 | 198 | 187 | 176 | 165 | 154 | 143 | 132 | 121 |
См. также
Напишите отзыв о статье "Нега-позиционная система счисления"
Отрывок, характеризующий Нега-позиционная система счисления
Он кивнул головою, отвечая на низкий и почтительный поклон Балашева, и, подойдя к нему, тотчас же стал говорить как человек, дорожащий всякой минутой своего времени и не снисходящий до того, чтобы приготавливать свои речи, а уверенный в том, что он всегда скажет хорошо и что нужно сказать.– Здравствуйте, генерал! – сказал он. – Я получил письмо императора Александра, которое вы доставили, и очень рад вас видеть. – Он взглянул в лицо Балашева своими большими глазами и тотчас же стал смотреть вперед мимо него.
Очевидно было, что его не интересовала нисколько личность Балашева. Видно было, что только то, что происходило в его душе, имело интерес для него. Все, что было вне его, не имело для него значения, потому что все в мире, как ему казалось, зависело только от его воли.
– Я не желаю и не желал войны, – сказал он, – но меня вынудили к ней. Я и теперь (он сказал это слово с ударением) готов принять все объяснения, которые вы можете дать мне. – И он ясно и коротко стал излагать причины своего неудовольствия против русского правительства.
Судя по умеренно спокойному и дружелюбному тону, с которым говорил французский император, Балашев был твердо убежден, что он желает мира и намерен вступить в переговоры.
– Sire! L'Empereur, mon maitre, [Ваше величество! Император, государь мой,] – начал Балашев давно приготовленную речь, когда Наполеон, окончив свою речь, вопросительно взглянул на русского посла; но взгляд устремленных на него глаз императора смутил его. «Вы смущены – оправьтесь», – как будто сказал Наполеон, с чуть заметной улыбкой оглядывая мундир и шпагу Балашева. Балашев оправился и начал говорить. Он сказал, что император Александр не считает достаточной причиной для войны требование паспортов Куракиным, что Куракин поступил так по своему произволу и без согласия на то государя, что император Александр не желает войны и что с Англией нет никаких сношений.
– Еще нет, – вставил Наполеон и, как будто боясь отдаться своему чувству, нахмурился и слегка кивнул головой, давая этим чувствовать Балашеву, что он может продолжать.
Высказав все, что ему было приказано, Балашев сказал, что император Александр желает мира, но не приступит к переговорам иначе, как с тем условием, чтобы… Тут Балашев замялся: он вспомнил те слова, которые император Александр не написал в письме, но которые непременно приказал вставить в рескрипт Салтыкову и которые приказал Балашеву передать Наполеону. Балашев помнил про эти слова: «пока ни один вооруженный неприятель не останется на земле русской», но какое то сложное чувство удержало его. Он не мог сказать этих слов, хотя и хотел это сделать. Он замялся и сказал: с условием, чтобы французские войска отступили за Неман.
Наполеон заметил смущение Балашева при высказывании последних слов; лицо его дрогнуло, левая икра ноги начала мерно дрожать. Не сходя с места, он голосом, более высоким и поспешным, чем прежде, начал говорить. Во время последующей речи Балашев, не раз опуская глаза, невольно наблюдал дрожанье икры в левой ноге Наполеона, которое тем более усиливалось, чем более он возвышал голос.
– Я желаю мира не менее императора Александра, – начал он. – Не я ли осьмнадцать месяцев делаю все, чтобы получить его? Я осьмнадцать месяцев жду объяснений. Но для того, чтобы начать переговоры, чего же требуют от меня? – сказал он, нахмурившись и делая энергически вопросительный жест своей маленькой белой и пухлой рукой.
– Отступления войск за Неман, государь, – сказал Балашев.
– За Неман? – повторил Наполеон. – Так теперь вы хотите, чтобы отступили за Неман – только за Неман? – повторил Наполеон, прямо взглянув на Балашева.
Балашев почтительно наклонил голову.
Вместо требования четыре месяца тому назад отступить из Номерании, теперь требовали отступить только за Неман. Наполеон быстро повернулся и стал ходить по комнате.
– Вы говорите, что от меня требуют отступления за Неман для начатия переговоров; но от меня требовали точно так же два месяца тому назад отступления за Одер и Вислу, и, несмотря на то, вы согласны вести переговоры.
Он молча прошел от одного угла комнаты до другого и опять остановился против Балашева. Лицо его как будто окаменело в своем строгом выражении, и левая нога дрожала еще быстрее, чем прежде. Это дрожанье левой икры Наполеон знал за собой. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Дрожание моей левой икры есть великий признак,] – говорил он впоследствии.
– Такие предложения, как то, чтобы очистить Одер и Вислу, можно делать принцу Баденскому, а не мне, – совершенно неожиданно для себя почти вскрикнул Наполеон. – Ежели бы вы мне дали Петербуг и Москву, я бы не принял этих условий. Вы говорите, я начал войну? А кто прежде приехал к армии? – император Александр, а не я. И вы предлагаете мне переговоры тогда, как я издержал миллионы, тогда как вы в союзе с Англией и когда ваше положение дурно – вы предлагаете мне переговоры! А какая цель вашего союза с Англией? Что она дала вам? – говорил он поспешно, очевидно, уже направляя свою речь не для того, чтобы высказать выгоды заключения мира и обсудить его возможность, а только для того, чтобы доказать и свою правоту, и свою силу, и чтобы доказать неправоту и ошибки Александра.
Вступление его речи было сделано, очевидно, с целью выказать выгоду своего положения и показать, что, несмотря на то, он принимает открытие переговоров. Но он уже начал говорить, и чем больше он говорил, тем менее он был в состоянии управлять своей речью.
Вся цель его речи теперь уже, очевидно, была в том, чтобы только возвысить себя и оскорбить Александра, то есть именно сделать то самое, чего он менее всего хотел при начале свидания.
– Говорят, вы заключили мир с турками?
Балашев утвердительно наклонил голову.
– Мир заключен… – начал он. Но Наполеон не дал ему говорить. Ему, видно, нужно было говорить самому, одному, и он продолжал говорить с тем красноречием и невоздержанием раздраженности, к которому так склонны балованные люди.
– Да, я знаю, вы заключили мир с турками, не получив Молдавии и Валахии. А я бы дал вашему государю эти провинции так же, как я дал ему Финляндию. Да, – продолжал он, – я обещал и дал бы императору Александру Молдавию и Валахию, а теперь он не будет иметь этих прекрасных провинций. Он бы мог, однако, присоединить их к своей империи, и в одно царствование он бы расширил Россию от Ботнического залива до устьев Дуная. Катерина Великая не могла бы сделать более, – говорил Наполеон, все более и более разгораясь, ходя по комнате и повторяя Балашеву почти те же слова, которые ои говорил самому Александру в Тильзите. – Tout cela il l'aurait du a mon amitie… Ah! quel beau regne, quel beau regne! – повторил он несколько раз, остановился, достал золотую табакерку из кармана и жадно потянул из нее носом.
– Quel beau regne aurait pu etre celui de l'Empereur Alexandre! [Всем этим он был бы обязан моей дружбе… О, какое прекрасное царствование, какое прекрасное царствование! О, какое прекрасное царствование могло бы быть царствование императора Александра!]
