Независимость (теория вероятностей)

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют независимыми, если изменение значения одной из них не влияет на значение другой.





Независимые события

Будем считать, что дано фиксированное вероятностное пространство <math>(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})</math>.

Определение 1. Два события <math>A, B\in\mathcal{F}</math> независимы, если

Вероятность появления события <math>A</math> не меняет вероятности события <math>B</math>.

Замечание 1. В том случае, если вероятность одного события, скажем <math>B</math>, ненулевая, то есть <math>\mathbb{P}(B)>0</math>, определение независимости эквивалентно:

<math>\mathbb{P}(A\mid B)=\mathbb{P}(A),</math>

то есть условная вероятность события <math>A</math> при условии <math>B</math> равна безусловной вероятности события <math>A</math>.

Определение 2. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий <math>\{A_{i}\}_{i\in I}\subset\mathcal{F}</math>, где <math>I</math> — произвольное индексное множество. Тогда эти события попарно независимы, если любые два события из этого семейства независимы, то есть

<math>\mathbb{P}(A_i\cap A_j)=\mathbb{P}(A_i)\cdot\mathbb{P}(A_j),\;\forall i\ne j.</math>

Определение 3. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий <math>\{A_{i}\}_{i\in I}\subset\mathcal{F}</math>. Тогда эти события совместно независимы, если для любого конечного набора этих событий <math>\{A_{i_k}\}_{k=1}^N</math> верно:

<math>\mathbb{P}(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_N})=\mathbb{P}( A_{i_1})\cdot\ldots\cdot\mathbb{P}(A_{i_N}).</math>

Замечание 2. Совместная независимость, очевидно, влечет попарную независимость. Обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 1. Пусть брошены три уравновешенные монеты. Определим события следующим образом:

  • <math>A_1</math>: монеты 1 и 2 упали одной и той же стороной;
  • <math>A_2</math>: монеты 2 и 3 упали одной и той же стороной;
  • <math>A_3</math>: монеты 1 и 3 упали одной и той же стороной;

Легко проверить, что любые два события из этого набора независимы. Все же три в совокупности зависимы, ибо зная, например, что события <math>A_1</math> и <math>A_2</math> произошли, мы знаем точно, что <math>A_3</math> также произошло. Более формально: <math>\mathbb{P}(A_i \cap A_j) = \frac14 = \frac12 \cdot \frac12 = \mathbb{P}(A_i) \cdot \mathbb{P}(A_j) \quad \forall i \ne j</math>. С другой стороны, <math>\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac14 \ne \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 = \mathbb{P}(A_1) \cdot \mathbb{P}(A_2) \cdot \mathbb{P}(A_3)</math>.

Независимые сигма-алгебры

Определение 4. Пусть <math>\mathcal{A}_1,\;\mathcal{A}_2\subset\mathcal{F}</math> две сигма-алгебры на одном и том же вероятностном пространстве. Они называются независимыми, если любые их представители независимы между собой, то есть:

<math>\mathbb{P}(A_1\cap A_2)=\mathbb{P}(A_1)\cdot\mathbb{P}(A_2),\;\forall A_1\in\mathcal{A}_1,\;A_2\in\mathcal{A}_2</math>.

Если вместо двух имеется целое семейство (возможно бесконечное) сигма-алгебр, то для него определяется попарная и совместная независимость очевидным образом.

Независимые случайные величины

Определения

Определение 5. Пусть дано семейство случайных величин <math>(X_i)_{i\in I}</math>, так что <math>X_i\colon\Omega\to\R,\;\forall i\in I</math>. Тогда эти случайные величины попарно независимы, если попарно независимы порождённые ими сигма-алгебры <math>\{\sigma(X_i)\}_{i\in I}</math>. Случайные величины независимы в совокупности, если таковы порождённые ими сигма-алгебры.

Определение, данное выше, эквивалентно любому другому из нижеперечисленных. Две случайные величины <math>X,\;Y</math> независимы тогда и только тогда, когда:

  • Для любых <math>A,\;B\in\mathcal{B}(\R)</math>:
<math>\mathbb{P}(X\in A,\;Y\in B)=\mathbb{P}(X\in A)\cdot\mathbb{P}(Y \in B).</math>
  • Для любых борелевских функций <math>f,\;g\colon\R\to\R</math> случайные величины <math>f(X),\;g(Y)</math> независимы.
  • Для любых ограниченных борелевских функций <math>f,\;g\colon\R\to\R</math>:
<math>\mathbb{E}\left[f(X)g(Y)\right]=\mathbb{E}\left[f(X)\right]\cdot\mathbb{E}\left[g(Y)\right].</math>

Свойства независимых случайных величин

  • Пусть <math>\mathbb{P}^{X,\;Y}</math> — распределение случайного вектора <math>(X,\;Y)</math>, <math>\mathbb{P}^X</math> — распределение <math>X</math> и <math>\mathbb{P}^Y</math> — распределение <math>Y</math>. Тогда <math>X,\;Y</math> независимы тогда и только тогда, когда
<math>\mathbb{P}^{X,\;Y}=\mathbb{P}^X\otimes\mathbb{P}^Y,</math>

где <math>\otimes</math> обозначает (прямое) произведение мер.

<math>F_{X,\;Y}(x,\;y)=F_X(x)\cdot F_Y(y).</math>
  • Пусть случайные величины <math>X,\;Y</math> дискретны. Тогда они независимы тогда и только тогда, когда
<math>\mathbb{P}(X=i,\;Y=j)=\mathbb{P}(X=i)\cdot\mathbb{P}(Y=j).</math>
  • Пусть случайные величины <math>X,\;Y</math> совместно абсолютно непрерывны, то есть их совместное распределение имеет плотность <math>f_{X,\;Y}(x,\;y)</math>. Тогда они независимы тогда и только тогда, когда
<math>f_{X,\;Y}(x,\;y)=f_X(x)\cdot f_Y(y),\;\forall(x,\;y)\in\R^2</math>,

где <math>f_X(x),\;f_Y(y)</math> — плотности случайных величин <math>X</math> и <math>Y</math> соответственно.

См. также


К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Напишите отзыв о статье "Независимость (теория вероятностей)"

Отрывок, характеризующий Независимость (теория вероятностей)

Был уже жаркий период весны. Лес уже весь оделся, была пыль и было так жарко, что проезжая мимо воды, хотелось купаться.
Князь Андрей, невеселый и озабоченный соображениями о том, что и что ему нужно о делах спросить у предводителя, подъезжал по аллее сада к отрадненскому дому Ростовых. Вправо из за деревьев он услыхал женский, веселый крик, и увидал бегущую на перерез его коляски толпу девушек. Впереди других ближе, подбегала к коляске черноволосая, очень тоненькая, странно тоненькая, черноглазая девушка в желтом ситцевом платье, повязанная белым носовым платком, из под которого выбивались пряди расчесавшихся волос. Девушка что то кричала, но узнав чужого, не взглянув на него, со смехом побежала назад.
Князю Андрею вдруг стало от чего то больно. День был так хорош, солнце так ярко, кругом всё так весело; а эта тоненькая и хорошенькая девушка не знала и не хотела знать про его существование и была довольна, и счастлива какой то своей отдельной, – верно глупой – но веселой и счастливой жизнию. «Чему она так рада? о чем она думает! Не об уставе военном, не об устройстве рязанских оброчных. О чем она думает? И чем она счастлива?» невольно с любопытством спрашивал себя князь Андрей.
Граф Илья Андреич в 1809 м году жил в Отрадном всё так же как и прежде, то есть принимая почти всю губернию, с охотами, театрами, обедами и музыкантами. Он, как всякому новому гостю, был рад князю Андрею, и почти насильно оставил его ночевать.
В продолжение скучного дня, во время которого князя Андрея занимали старшие хозяева и почетнейшие из гостей, которыми по случаю приближающихся именин был полон дом старого графа, Болконский несколько раз взглядывая на Наташу чему то смеявшуюся и веселившуюся между другой молодой половиной общества, всё спрашивал себя: «о чем она думает? Чему она так рада!».
Вечером оставшись один на новом месте, он долго не мог заснуть. Он читал, потом потушил свечу и опять зажег ее. В комнате с закрытыми изнутри ставнями было жарко. Он досадовал на этого глупого старика (так он называл Ростова), который задержал его, уверяя, что нужные бумаги в городе, не доставлены еще, досадовал на себя за то, что остался.
Князь Андрей встал и подошел к окну, чтобы отворить его. Как только он открыл ставни, лунный свет, как будто он настороже у окна давно ждал этого, ворвался в комнату. Он отворил окно. Ночь была свежая и неподвижно светлая. Перед самым окном был ряд подстриженных дерев, черных с одной и серебристо освещенных с другой стороны. Под деревами была какая то сочная, мокрая, кудрявая растительность с серебристыми кое где листьями и стеблями. Далее за черными деревами была какая то блестящая росой крыша, правее большое кудрявое дерево, с ярко белым стволом и сучьями, и выше его почти полная луна на светлом, почти беззвездном, весеннем небе. Князь Андрей облокотился на окно и глаза его остановились на этом небе.
Комната князя Андрея была в среднем этаже; в комнатах над ним тоже жили и не спали. Он услыхал сверху женский говор.
– Только еще один раз, – сказал сверху женский голос, который сейчас узнал князь Андрей.
– Да когда же ты спать будешь? – отвечал другой голос.
– Я не буду, я не могу спать, что ж мне делать! Ну, последний раз…
Два женские голоса запели какую то музыкальную фразу, составлявшую конец чего то.
– Ах какая прелесть! Ну теперь спать, и конец.
– Ты спи, а я не могу, – отвечал первый голос, приблизившийся к окну. Она видимо совсем высунулась в окно, потому что слышно было шуршанье ее платья и даже дыханье. Всё затихло и окаменело, как и луна и ее свет и тени. Князь Андрей тоже боялся пошевелиться, чтобы не выдать своего невольного присутствия.
– Соня! Соня! – послышался опять первый голос. – Ну как можно спать! Да ты посмотри, что за прелесть! Ах, какая прелесть! Да проснись же, Соня, – сказала она почти со слезами в голосе. – Ведь этакой прелестной ночи никогда, никогда не бывало.
Соня неохотно что то отвечала.
– Нет, ты посмотри, что за луна!… Ах, какая прелесть! Ты поди сюда. Душенька, голубушка, поди сюда. Ну, видишь? Так бы вот села на корточки, вот так, подхватила бы себя под коленки, – туже, как можно туже – натужиться надо. Вот так!
– Полно, ты упадешь.
Послышалась борьба и недовольный голос Сони: «Ведь второй час».
– Ах, ты только всё портишь мне. Ну, иди, иди.
Опять всё замолкло, но князь Андрей знал, что она всё еще сидит тут, он слышал иногда тихое шевеленье, иногда вздохи.
– Ах… Боже мой! Боже мой! что ж это такое! – вдруг вскрикнула она. – Спать так спать! – и захлопнула окно.
«И дела нет до моего существования!» подумал князь Андрей в то время, как он прислушивался к ее говору, почему то ожидая и боясь, что она скажет что нибудь про него. – «И опять она! И как нарочно!» думал он. В душе его вдруг поднялась такая неожиданная путаница молодых мыслей и надежд, противоречащих всей его жизни, что он, чувствуя себя не в силах уяснить себе свое состояние, тотчас же заснул.