Парадокс интересных чисел

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Неинтересное число»)
Перейти к: навигация, поиск

Парадокс интересных чисел — полуюмористический парадокс, который возникает из-за попыток классифицировать натуральные числа как «интересные» и «скучные». Согласно этому парадоксу, все натуральные числа являются интересными. Доказательство этого утверждения осуществляется методом «от противного»: если существует непустое множество неинтересных натуральных чисел, то в этом множестве существует наименьшее число, но наименьшее неинтересное число уже само по себе интересно — что и создаёт противоречие[1][2][3].





Доказательство

Более строго сформулированное «доказательство» парадокса может выглядеть следующим образом[3].

Теорема. Неинтересных натуральных чисел нет.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна, то есть существует непустое множество натуральных чисел, которые неинтересны. В связи с тем, что множество натуральных чисел является вполне упорядоченным, должно быть некоторое самое маленькое число в ряде неинтересных чисел. Обладая такой уникальной особенностью, это число более не может быть названо неинтересным, следовательно, не может находиться в ряду неинтересных чисел.

Парадоксальный характер

Попытки разделить все числа на «интересные» и «неинтересные» ведут к парадоксу или антиномии определения. Любая попытка разделения натуральных чисел на два множества: «интересных» и «скучных» ведёт к провалу. Поскольку определение чего-либо как интересного является субъективным, здесь оно может быть рассмотрено как полушутливое применение самореференции, используемое с целью получения парадокса. Парадокс снимается, если понятие «интересно» определить объективно, например:

и т. д.

Поскольку существует много значимых работ в области математики, которые используют самореференцию (например теорема Гёделя о неполноте), описываемый парадокс затрагивает серьёзные проблемы во многих областях исследований.

Эта версия парадокса распространяется только на вполне упорядоченные множества с естественным порядком, такие как натуральные числа; аргумент неприменим в отношении действительных чисел.

Одно из предложенных решений парадокса утверждает, что первое неинтересное число сделано интересным уже одним этим обстоятельством. К примеру, если бы 39 и 41 были двумя неинтересными числами, число 39 можно было бы считать интересным, тогда как 41 осталось бы неинтересным, ведь оно не первое неинтересное число. Однако это решение является неверным, ведь парадокс доказывается от противного: предположив, что какое-то число неинтересно, мы приходим к тому, что это же число именно этим и интересно, следовательно, неинтересное число не может существовать. Целью решений является, в частности, не выявление интересных или неинтересных чисел, но поднятие вопроса о том, могут ли числа обладать такими свойствами в принципе.

Слабое место доказательства — отсутствие ясности в том, что считать «интересностью» числа. Однако, если положить, что «предикат интересности» связан с определённым конечным списком «интересных свойств натуральных чисел», и этот список содержит в себе свойство «наименьшее число, не имеющее ни одного свойства из данного списка», то возникает парадокс. Похожим образом самореференция используется в близкородственном парадоксе Берри. Так как парадокс лежит в определении понятия «интересно», он применяется только к людям с определённым взглядом на числа; если для кого-то все числа представляются скукой смертной и он не находит интересным факт, что ноль является первым неинтересным числом (в мировоззрении данного конкретного человека), тогда парадокс не возникает.

Напишите отзыв о статье "Парадокс интересных чисел"

Примечания

  1. Математические головоломки и развлечения, 1999, с. 116-118.
  2. Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions, 1988, p. 148.
  3. 1 2 The Grapes of Math, 2014, p. 238.
  4. 1 2 The Grapes of Math, 2014, p. 319.
  5. Nathaniel Johnston. [www.nathanieljohnston.com/2009/06/11630-is-the-first-uninteresting-number/ 11630 is the First Uninteresting Number] (12 июня 2009).
  6. Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delahaye, Hector Zenil. [arxiv.org/abs/1101.4470 Sloane's Gap: Do Mathematical and Social Factors Explain the Distribution of Numbers in the OEIS?]. arXiv (2 июня 2011).
  7. 1 2 Charles R Greathouse IV. [math.crg4.com/uninteresting.html Uninteresting numbers]. CRG4.com.

Литература


Отрывок, характеризующий Парадокс интересных чисел


Приехав в Петербург, Пьер никого не известил о своем приезде, никуда не выезжал, и стал целые дни проводить за чтением Фомы Кемпийского, книги, которая неизвестно кем была доставлена ему. Одно и всё одно понимал Пьер, читая эту книгу; он понимал неизведанное еще им наслаждение верить в возможность достижения совершенства и в возможность братской и деятельной любви между людьми, открытую ему Осипом Алексеевичем. Через неделю после его приезда молодой польский граф Вилларский, которого Пьер поверхностно знал по петербургскому свету, вошел вечером в его комнату с тем официальным и торжественным видом, с которым входил к нему секундант Долохова и, затворив за собой дверь и убедившись, что в комнате никого кроме Пьера не было, обратился к нему:
– Я приехал к вам с поручением и предложением, граф, – сказал он ему, не садясь. – Особа, очень высоко поставленная в нашем братстве, ходатайствовала о том, чтобы вы были приняты в братство ранее срока, и предложила мне быть вашим поручителем. Я за священный долг почитаю исполнение воли этого лица. Желаете ли вы вступить за моим поручительством в братство свободных каменьщиков?
Холодный и строгий тон человека, которого Пьер видел почти всегда на балах с любезною улыбкою, в обществе самых блестящих женщин, поразил Пьера.
– Да, я желаю, – сказал Пьер.
Вилларский наклонил голову. – Еще один вопрос, граф, сказал он, на который я вас не как будущего масона, но как честного человека (galant homme) прошу со всею искренностью отвечать мне: отреклись ли вы от своих прежних убеждений, верите ли вы в Бога?
Пьер задумался. – Да… да, я верю в Бога, – сказал он.
– В таком случае… – начал Вилларский, но Пьер перебил его. – Да, я верю в Бога, – сказал он еще раз.
– В таком случае мы можем ехать, – сказал Вилларский. – Карета моя к вашим услугам.
Всю дорогу Вилларский молчал. На вопросы Пьера, что ему нужно делать и как отвечать, Вилларский сказал только, что братья, более его достойные, испытают его, и что Пьеру больше ничего не нужно, как говорить правду.
Въехав в ворота большого дома, где было помещение ложи, и пройдя по темной лестнице, они вошли в освещенную, небольшую прихожую, где без помощи прислуги, сняли шубы. Из передней они прошли в другую комнату. Какой то человек в странном одеянии показался у двери. Вилларский, выйдя к нему навстречу, что то тихо сказал ему по французски и подошел к небольшому шкафу, в котором Пьер заметил невиданные им одеяния. Взяв из шкафа платок, Вилларский наложил его на глаза Пьеру и завязал узлом сзади, больно захватив в узел его волоса. Потом он пригнул его к себе, поцеловал и, взяв за руку, повел куда то. Пьеру было больно от притянутых узлом волос, он морщился от боли и улыбался от стыда чего то. Огромная фигура его с опущенными руками, с сморщенной и улыбающейся физиономией, неверными робкими шагами подвигалась за Вилларским.
Проведя его шагов десять, Вилларский остановился.
– Что бы ни случилось с вами, – сказал он, – вы должны с мужеством переносить всё, ежели вы твердо решились вступить в наше братство. (Пьер утвердительно отвечал наклонением головы.) Когда вы услышите стук в двери, вы развяжете себе глаза, – прибавил Вилларский; – желаю вам мужества и успеха. И, пожав руку Пьеру, Вилларский вышел.
Оставшись один, Пьер продолжал всё так же улыбаться. Раза два он пожимал плечами, подносил руку к платку, как бы желая снять его, и опять опускал ее. Пять минут, которые он пробыл с связанными глазами, показались ему часом. Руки его отекли, ноги подкашивались; ему казалось, что он устал. Он испытывал самые сложные и разнообразные чувства. Ему было и страшно того, что с ним случится, и еще более страшно того, как бы ему не выказать страха. Ему было любопытно узнать, что будет с ним, что откроется ему; но более всего ему было радостно, что наступила минута, когда он наконец вступит на тот путь обновления и деятельно добродетельной жизни, о котором он мечтал со времени своей встречи с Осипом Алексеевичем. В дверь послышались сильные удары. Пьер снял повязку и оглянулся вокруг себя. В комнате было черно – темно: только в одном месте горела лампада, в чем то белом. Пьер подошел ближе и увидал, что лампада стояла на черном столе, на котором лежала одна раскрытая книга. Книга была Евангелие; то белое, в чем горела лампада, был человечий череп с своими дырами и зубами. Прочтя первые слова Евангелия: «Вначале бе слово и слово бе к Богу», Пьер обошел стол и увидал большой, наполненный чем то и открытый ящик. Это был гроб с костями. Его нисколько не удивило то, что он увидал. Надеясь вступить в совершенно новую жизнь, совершенно отличную от прежней, он ожидал всего необыкновенного, еще более необыкновенного чем то, что он видел. Череп, гроб, Евангелие – ему казалось, что он ожидал всего этого, ожидал еще большего. Стараясь вызвать в себе чувство умиленья, он смотрел вокруг себя. – «Бог, смерть, любовь, братство людей», – говорил он себе, связывая с этими словами смутные, но радостные представления чего то. Дверь отворилась, и кто то вошел.
При слабом свете, к которому однако уже успел Пьер приглядеться, вошел невысокий человек. Видимо с света войдя в темноту, человек этот остановился; потом осторожными шагами он подвинулся к столу и положил на него небольшие, закрытые кожаными перчатками, руки.
Невысокий человек этот был одет в белый, кожаный фартук, прикрывавший его грудь и часть ног, на шее было надето что то вроде ожерелья, и из за ожерелья выступал высокий, белый жабо, окаймлявший его продолговатое лицо, освещенное снизу.
– Для чего вы пришли сюда? – спросил вошедший, по шороху, сделанному Пьером, обращаясь в его сторону. – Для чего вы, неверующий в истины света и не видящий света, для чего вы пришли сюда, чего хотите вы от нас? Премудрости, добродетели, просвещения?