Нейтральный элемент

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.





Определение

Пусть <math>(M,\cdot)</math> — множество <math>M</math> с определённой на нём бинарной операцией «<math>\cdot</math>». Элемент <math>e \in M</math> называется нейтральным относительно <math>\cdot</math> (умножения), если

<math>x \cdot e = e \cdot x = x, \quad \forall x \in M.</math>

Иногда различают нейтральный слева элемент <math>e_{\mathrm{l}}</math>, для которого

<math>e_{\mathrm{l}} \cdot x = x, \quad \forall x \in M,</math>

и нейтральный справа элемент <math>e_{\mathrm{r}}</math>, для которого

<math> x \cdot e_{\mathrm{r}} = x, \quad \forall x \in M.</math>

Нейтральные слева и справа

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент <math>e_{\mathrm l}</math>, и нейтральный справа элемент <math>e_{\mathrm r}</math>, то они обязаны совпадать (так как <math>e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l} \cdot e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l}</math>).

Примеры

Множество Бинарная операция Нейтральный элемент
Вещественные числа <math>+</math> (сложение) число 0
Вещественные числа <math>\cdot</math> (умножение) число 1
Вещественные числа <math>-</math> (вычитание) число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа <math>a^b</math> (возведение в степень) число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая <math>\div</math> (деление) число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство <math>+</math> (сложение векторов) <math>\vec 0</math> (нуль-вектор)
Матрицы размера <math>m \times n</math> <math>+</math> (матричное сложение) нулевая матрица
Матрицы размера <math>n \times n</math> <math>\times</math> (матричное произведение) единичная матрица
Функции вида <math>f:M\to M</math> <math>\circ</math> (композиция функций) тождественное отображение
Символьные строки конкатенация пустая строка
Расширенная числовая прямая <math>\min</math> (минимум) или <math>\inf</math> (инфимум) <math>+\infty</math>
Расширенная числовая прямая <math>\max</math> (максимум) или <math>\sup</math> (супремум) <math>-\infty</math>
Подмножества множества <math>M</math> <math>\cap</math> (пересечение множеств) <math>M</math>
Множества <math>\cup</math> (объединение множеств) <math>\varnothing</math> (пустое множество)
Исчисление высказываний <math>\wedge</math> (конъюнкция) <math>\top</math> (истина)
Исчисление высказываний <math>\lor</math> (дизъюнкция) <math>\bot</math> (ложь)

Терминология

В алгебре

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но и (иногда) групповую операцию в абелевых группах.

В теории решёток

В теории решёток, нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

См. также

Напишите отзыв о статье "Нейтральный элемент"

Отрывок, характеризующий Нейтральный элемент

– Вот в этом колене не то делает, – вдруг с энергическим жестом сказал дядюшка. – Тут рассыпать надо – чистое дело марш – рассыпать…
– А вы разве умеете? – спросила Наташа. – Дядюшка не отвечая улыбнулся.
– Посмотри ка, Анисьюшка, что струны то целы что ль, на гитаре то? Давно уж в руки не брал, – чистое дело марш! забросил.
Анисья Федоровна охотно пошла своей легкой поступью исполнить поручение своего господина и принесла гитару.
Дядюшка ни на кого не глядя сдунул пыль, костлявыми пальцами стукнул по крышке гитары, настроил и поправился на кресле. Он взял (несколько театральным жестом, отставив локоть левой руки) гитару повыше шейки и подмигнув Анисье Федоровне, начал не Барыню, а взял один звучный, чистый аккорд, и мерно, спокойно, но твердо начал весьма тихим темпом отделывать известную песню: По у ли и ице мостовой. В раз, в такт с тем степенным весельем (тем самым, которым дышало всё существо Анисьи Федоровны), запел в душе у Николая и Наташи мотив песни. Анисья Федоровна закраснелась и закрывшись платочком, смеясь вышла из комнаты. Дядюшка продолжал чисто, старательно и энергически твердо отделывать песню, изменившимся вдохновенным взглядом глядя на то место, с которого ушла Анисья Федоровна. Чуть чуть что то смеялось в его лице с одной стороны под седым усом, особенно смеялось тогда, когда дальше расходилась песня, ускорялся такт и в местах переборов отрывалось что то.
– Прелесть, прелесть, дядюшка; еще, еще, – закричала Наташа, как только он кончил. Она, вскочивши с места, обняла дядюшку и поцеловала его. – Николенька, Николенька! – говорила она, оглядываясь на брата и как бы спрашивая его: что же это такое?
Николаю тоже очень нравилась игра дядюшки. Дядюшка второй раз заиграл песню. Улыбающееся лицо Анисьи Федоровны явилось опять в дверях и из за ней еще другие лица… «За холодной ключевой, кричит: девица постой!» играл дядюшка, сделал опять ловкий перебор, оторвал и шевельнул плечами.
– Ну, ну, голубчик, дядюшка, – таким умоляющим голосом застонала Наташа, как будто жизнь ее зависела от этого. Дядюшка встал и как будто в нем было два человека, – один из них серьезно улыбнулся над весельчаком, а весельчак сделал наивную и аккуратную выходку перед пляской.
– Ну, племянница! – крикнул дядюшка взмахнув к Наташе рукой, оторвавшей аккорд.
Наташа сбросила с себя платок, который был накинут на ней, забежала вперед дядюшки и, подперши руки в боки, сделала движение плечами и стала.
Где, как, когда всосала в себя из того русского воздуха, которым она дышала – эта графинечка, воспитанная эмигранткой француженкой, этот дух, откуда взяла она эти приемы, которые pas de chale давно бы должны были вытеснить? Но дух и приемы эти были те самые, неподражаемые, не изучаемые, русские, которых и ждал от нее дядюшка. Как только она стала, улыбнулась торжественно, гордо и хитро весело, первый страх, который охватил было Николая и всех присутствующих, страх, что она не то сделает, прошел и они уже любовались ею.
Она сделала то самое и так точно, так вполне точно это сделала, что Анисья Федоровна, которая тотчас подала ей необходимый для ее дела платок, сквозь смех прослезилась, глядя на эту тоненькую, грациозную, такую чужую ей, в шелку и в бархате воспитанную графиню, которая умела понять всё то, что было и в Анисье, и в отце Анисьи, и в тетке, и в матери, и во всяком русском человеке.
– Ну, графинечка – чистое дело марш, – радостно смеясь, сказал дядюшка, окончив пляску. – Ай да племянница! Вот только бы муженька тебе молодца выбрать, – чистое дело марш!