Плотность вероятности

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Непрерывная случайная величина»)
Перейти к: навигация, поиск

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>. В случае, когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.





Плотность вероятности

Пусть <math>\mathbb{P}</math> является вероятностной мерой на <math>\mathbb{R}^n</math>, то есть определено вероятностное пространство <math>\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)</math>, где <math>\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)</math> обозначает борелевскую σ-алгебру на <math>\mathbb{R}^n</math>. Пусть <math>m</math> обозначает меру Лебега на <math>\mathbb{R}^n</math>.

Определение 1. Вероятность <math>\mathbb{P}</math> называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (<math>\mathbb{P} \ll m</math>), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

<math>\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\; ( m(B) = 0 ) \Rightarrow ( \mathbb{P}(B) = 0 ) .</math>

Если вероятность <math>\mathbb{P}</math> абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция <math>f\colon\mathbb{R}^n \to [0,\infty)</math> такая, что

<math>\mathbb{P}(B) = \int\limits_{B} f(x)\, dx</math>,

где использовано общепринятое сокращение <math>m(dx) \equiv dx</math>, и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. В более общем виде, пусть <math>(X, \mathcal F)</math> — произвольное измеримое пространство, а <math>\mu</math> и <math>\nu</math> — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная <math>f</math>, позволяющая выразить меру <math>\nu</math> через меру <math>\mu</math> в виде

<math>\nu(A) = \int_A f d\mu,</math>

то такую функцию называют плотностью меры <math>\nu</math> по мере <math>\mu</math>, или производной Радона-Никодима меры <math>\nu</math> относительно меры <math>\mu</math>, и обозначают

<math>f=\frac{d\nu}{d\mu}</math>.

Свойства плотности вероятности

  • Плотность вероятности определена почти всюду. Если <math>f</math> является плотностью вероятности <math>\mathbb{P}</math> и <math>f(x) = g(x)</math> почти всюду относительно меры Лебега, то и функция <math>g</math> также является плотностью вероятности <math>\mathbb{P}</math>.
  • Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
<math>\mathbb{P}\left(\mathbb{R}^n\right) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1</math>.

Обратно, если <math>f(x)</math> — неотрицательная п.в. функция, такая что <math>\int\limits_{\mathbb{R}^n}f(x)\, dx = 1</math>, то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера <math>\mathbb{P}</math> на <math>\mathbb{R}^n</math> такая, что <math>f(x)</math> является её плотностью.

  • Замена меры в интеграле Лебега:
<math>\int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)\, \mathbb{P}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\, f(x)\, dx</math>,

где <math>\varphi:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры <math>\mathbb{P}</math>.

Плотность случайной величины

Пусть определено произвольное вероятностное пространство <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, и <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}^n</math> случайная величина (или случайный вектор). <math>X</math> индуцирует вероятностную меру <math>\mathbb{P}^X</math> на <math>\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\right)</math>, называемую распределением случайной величины <math>X</math>.

Определение 3. Если распределение <math>\mathbb{P}^X</math> абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность <math>f_X = \frac{d\mathbb{P}^X}{dx}</math> называется плотностью случайной величины <math>X</math>. Сама случайная величина <math>X</math> называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

<math>\mathbb{P}(X \in B) = \int\limits_{B} f_X(x)\, dx</math>.

Замечания

  • Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
  • Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины <math>X</math> непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
<math>F_X(x_1,\ldots, x_n) = \mathbb{P}\left(X \in \prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right) = \int\limits_{-\infty}^{x_n} \!\! \ldots \!\! \int\limits_{-\infty}^{x_1} f_X(x'_1,\ldots, x'_n)\, dx'_1\ldots dx'_n</math>.

В одномерном случае:

<math>F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(x')\, dx'</math>.

Если <math>f_X \in C(\mathbb{R}^n)</math>, то <math>F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)</math>, и

<math>\frac{\partial^n}{\partial x_1 \ldots \partial x_n} F_X(x_1,\ldots, x_n) = f_X(x_1,\ldots, x_n)</math>.

В одномерном случае:

<math>\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x)</math>.
<math>\mathbb{E}[g(X)] = \int\limits_{\mathbb{R}^n} g(x) \, \mathbb{P}^X(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} g(x)\, f_X(x)\, dx</math>,

где <math>g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> — борелевская функция, так что <math>\mathbb{E}[g(X)]</math> определено и конечно.

Плотность преобразования случайной величины

Пусть <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}^n</math> — абсолютно непрерывная случайная величина, и <math>g\colon\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> — инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что <math>J_g(x) \not=0,\; \forall x\in \mathbb{R}^n</math>, где <math>J_g(x)</math> — якобиан функции <math>g</math> в точке <math>x</math>. Тогда случайная величина <math>Y = g(X)</math> также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:

<math>f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \vert J_{g^{-1}}(y) \vert</math>.

В одномерном случае:

<math>f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \left\vert \frac{dg^{-1}}{dy}(y)\right\vert</math>.

Примеры абсолютно непрерывных распределений


См. также

Напишите отзыв о статье "Плотность вероятности"

Отрывок, характеризующий Плотность вероятности

– К какой барыне? Да ты кто? – запыхавшимся шопотом спрашивал Анатоль.
– Пожалуйте, приказано привесть.
– Курагин! назад, – кричал Долохов. – Измена! Назад!
Долохов у калитки, у которой он остановился, боролся с дворником, пытавшимся запереть за вошедшим Анатолем калитку. Долохов последним усилием оттолкнул дворника и схватив за руку выбежавшего Анатоля, выдернул его за калитку и побежал с ним назад к тройке.


Марья Дмитриевна, застав заплаканную Соню в коридоре, заставила ее во всем признаться. Перехватив записку Наташи и прочтя ее, Марья Дмитриевна с запиской в руке взошла к Наташе.
– Мерзавка, бесстыдница, – сказала она ей. – Слышать ничего не хочу! – Оттолкнув удивленными, но сухими глазами глядящую на нее Наташу, она заперла ее на ключ и приказав дворнику пропустить в ворота тех людей, которые придут нынче вечером, но не выпускать их, а лакею приказав привести этих людей к себе, села в гостиной, ожидая похитителей.
Когда Гаврило пришел доложить Марье Дмитриевне, что приходившие люди убежали, она нахмурившись встала и заложив назад руки, долго ходила по комнатам, обдумывая то, что ей делать. В 12 часу ночи она, ощупав ключ в кармане, пошла к комнате Наташи. Соня, рыдая, сидела в коридоре.
– Марья Дмитриевна, пустите меня к ней ради Бога! – сказала она. Марья Дмитриевна, не отвечая ей, отперла дверь и вошла. «Гадко, скверно… В моем доме… Мерзавка, девчонка… Только отца жалко!» думала Марья Дмитриевна, стараясь утолить свой гнев. «Как ни трудно, уж велю всем молчать и скрою от графа». Марья Дмитриевна решительными шагами вошла в комнату. Наташа лежала на диване, закрыв голову руками, и не шевелилась. Она лежала в том самом положении, в котором оставила ее Марья Дмитриевна.
– Хороша, очень хороша! – сказала Марья Дмитриевна. – В моем доме любовникам свидания назначать! Притворяться то нечего. Ты слушай, когда я с тобой говорю. – Марья Дмитриевна тронула ее за руку. – Ты слушай, когда я говорю. Ты себя осрамила, как девка самая последняя. Я бы с тобой то сделала, да мне отца твоего жалко. Я скрою. – Наташа не переменила положения, но только всё тело ее стало вскидываться от беззвучных, судорожных рыданий, которые душили ее. Марья Дмитриевна оглянулась на Соню и присела на диване подле Наташи.
– Счастье его, что он от меня ушел; да я найду его, – сказала она своим грубым голосом; – слышишь ты что ли, что я говорю? – Она поддела своей большой рукой под лицо Наташи и повернула ее к себе. И Марья Дмитриевна, и Соня удивились, увидав лицо Наташи. Глаза ее были блестящи и сухи, губы поджаты, щеки опустились.
– Оставь… те… что мне… я… умру… – проговорила она, злым усилием вырвалась от Марьи Дмитриевны и легла в свое прежнее положение.
– Наталья!… – сказала Марья Дмитриевна. – Я тебе добра желаю. Ты лежи, ну лежи так, я тебя не трону, и слушай… Я не стану говорить, как ты виновата. Ты сама знаешь. Ну да теперь отец твой завтра приедет, что я скажу ему? А?
Опять тело Наташи заколебалось от рыданий.
– Ну узнает он, ну брат твой, жених!
– У меня нет жениха, я отказала, – прокричала Наташа.
– Всё равно, – продолжала Марья Дмитриевна. – Ну они узнают, что ж они так оставят? Ведь он, отец твой, я его знаю, ведь он, если его на дуэль вызовет, хорошо это будет? А?
– Ах, оставьте меня, зачем вы всему помешали! Зачем? зачем? кто вас просил? – кричала Наташа, приподнявшись на диване и злобно глядя на Марью Дмитриевну.
– Да чего ж ты хотела? – вскрикнула опять горячась Марья Дмитриевна, – что ж тебя запирали что ль? Ну кто ж ему мешал в дом ездить? Зачем же тебя, как цыганку какую, увозить?… Ну увез бы он тебя, что ж ты думаешь, его бы не нашли? Твой отец, или брат, или жених. А он мерзавец, негодяй, вот что!
– Он лучше всех вас, – вскрикнула Наташа, приподнимаясь. – Если бы вы не мешали… Ах, Боже мой, что это, что это! Соня, за что? Уйдите!… – И она зарыдала с таким отчаянием, с каким оплакивают люди только такое горе, которого они чувствуют сами себя причиной. Марья Дмитриевна начала было опять говорить; но Наташа закричала: – Уйдите, уйдите, вы все меня ненавидите, презираете. – И опять бросилась на диван.
Марья Дмитриевна продолжала еще несколько времени усовещивать Наташу и внушать ей, что всё это надо скрыть от графа, что никто не узнает ничего, ежели только Наташа возьмет на себя всё забыть и не показывать ни перед кем вида, что что нибудь случилось. Наташа не отвечала. Она и не рыдала больше, но с ней сделались озноб и дрожь. Марья Дмитриевна подложила ей подушку, накрыла ее двумя одеялами и сама принесла ей липового цвета, но Наташа не откликнулась ей. – Ну пускай спит, – сказала Марья Дмитриевна, уходя из комнаты, думая, что она спит. Но Наташа не спала и остановившимися раскрытыми глазами из бледного лица прямо смотрела перед собою. Всю эту ночь Наташа не спала, и не плакала, и не говорила с Соней, несколько раз встававшей и подходившей к ней.
На другой день к завтраку, как и обещал граф Илья Андреич, он приехал из Подмосковной. Он был очень весел: дело с покупщиком ладилось и ничто уже не задерживало его теперь в Москве и в разлуке с графиней, по которой он соскучился. Марья Дмитриевна встретила его и объявила ему, что Наташа сделалась очень нездорова вчера, что посылали за доктором, но что теперь ей лучше. Наташа в это утро не выходила из своей комнаты. С поджатыми растрескавшимися губами, сухими остановившимися глазами, она сидела у окна и беспокойно вглядывалась в проезжающих по улице и торопливо оглядывалась на входивших в комнату. Она очевидно ждала известий об нем, ждала, что он сам приедет или напишет ей.