Непрерывное равномерное распределение

Непрерывное равномерное распределение

Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	<math>\mathcal{U}(a, b)</math>, <math>Rav(a, b)</math>
Параметры	<math>a,b \in (-\infty,\infty)</math>, <math>a</math> — коэффициент сдвига, <math>b-a</math> — коэффициент масштаба
Носитель	<math>a \leqslant x \leqslant b</math>
Плотность вероятности	<math> \begin{matrix} \dfrac{1}{b - a} & a \leqslant x \leqslant b \\ \\ 0 & \ x<a\ ,\ x>b \end{matrix} </math>
Функция распределения	<math> \begin{matrix} 0 & x < a \\ \dfrac{x-a}{b-a} & ~~~~~ a \leqslant x < b \\ 1 & x \geqslant b \end{matrix} </math>
Математическое ожидание	<math>\frac{a+b}{2}</math>
Медиана	<math>\frac{a+b}{2}</math>
Мода	любое число из отрезка <math>[a,b]</math>
Дисперсия	<math>\frac{(b-a)^2}{12}</math>
Коэффициент асимметрии	<math>0</math>
Коэффициент эксцесса	<math>-\frac{6}{5}</math>
Дифференциальная энтропия	<math>\ln(b-a)</math>
Производящая функция моментов	<math>\frac{e^{tb}-e^{ta
Характеристическая функция	{{{char}}}

{t(b-a)}</math>|

 char       =<math>\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}</math>

}}

Непреры́вное равноме́рное распределе́ние — в теории вероятностей — распределение случайной вещественной величины, принимающей значения, принадлежащие интервалу [a, b], характеризующееся тем, что плотность вероятности на этом интервале постоянна.

Определение

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке <math>[a,b]</math>, где <math>a,b\in \R</math>, если её плотность <math>f_X(x)</math> имеет вид:

<math>

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} {1 \over b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b] \end{matrix} \right.. </math>

Пишут: <math>X \sim U[a,b]</math>. Иногда значения плотности в граничных точках <math>x=a</math> и <math>x=b</math> меняют на другие, например <math>0</math> или <math>\frac{1}{2(b-a)}</math>. Так как интеграл Лебега от плотности не зависит от поведения последней на множествах меры нуль, эти вариации не влияют на вычисления связанных с этим распределением вероятностей.

Функция распределения

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:

<math>

F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \leqslant x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x < a \\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x < b \\ 1, & x \geqslant b \end{matrix} \right.. </math>

Так как плотность равномерного распределения разрывна в граничных точках отрезка <math>[a,b]</math>, то функция распределения в этих точках не является дифференцируемой. В остальных точках справедливо стандартное равенство:

<math>\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \R \setminus \{a,b\}</math>.

Производящая функция моментов

Простым интегрированием получаем производящую функцию моментов:

<math>M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}</math>,

откуда находим все интересующие моменты непрерывного равномерного распределения:

<math>\mathbb{E}\left[X\right] = \frac{a+b}{2}</math>,

<math>\mathbb{E}\left[X^2\right] = \frac{a^2+ab+b^2}{3}</math>,

<math>\operatorname{D}\left[X\right] = \frac{(b-a)^2}{12}</math>.

Вообще,

<math>\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n{a^k b^{n-k}}=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(b-a)(n+1)}</math>.

Стандартное равномерное распределение

Если <math>a = 0</math> и <math>b=1</math>, то есть <math>X \sim U[0,1]</math>, то такое непрерывное равномерное распределение называют стандартным.

Имеет место элементарное утверждение:

Если случайная величина <math>X \sim U[0,1]</math> и <math>Y = a+(b-a)X</math>, то <math>Y \sim U[\min(a,b),\max(a,b)]</math>.

Таким образом, имея генератор случайной выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, легко построить генератор выборки любого непрерывного равномерного распределения.

Более того, имея такой генератор и зная функцию обратную к функции распределения случайной величины, можно построить генератор выборки любого непрерывного распределения (не обязательно равномерного) с помощью метода обратного преобразования. Поэтому стандартно равномерно распределённые случайные величины иногда называют базовыми случайными величинами.

Существуют также частные преобразования, позволяющие на основе равномерного распределения получить случайные распределения другого вида. Так, например, для получения нормального распределения служит преобразование Бокса — Мюллера.

См. также

• Дискретное равномерное распределение;
• Метод обратного преобразования.

</center>

Отрывок, характеризующий Непрерывное равномерное распределение

Пьер был молчалив и задумчив во все время этого обеда. Он, как бы не понимая, посмотрел на графа при этом обращении.
– Да, да, на войну, – сказал он, – нет! Какой я воин! А впрочем, все так странно, так странно! Да я и сам не понимаю. Я не знаю, я так далек от военных вкусов, но в теперешние времена никто за себя отвечать не может.
После обеда граф уселся покойно в кресло и с серьезным лицом попросил Соню, славившуюся мастерством чтения, читать.
– «Первопрестольной столице нашей Москве.
Неприятель вошел с великими силами в пределы России. Он идет разорять любезное наше отечество», – старательно читала Соня своим тоненьким голоском. Граф, закрыв глаза, слушал, порывисто вздыхая в некоторых местах.
Наташа сидела вытянувшись, испытующе и прямо глядя то на отца, то на Пьера.
Пьер чувствовал на себе ее взгляд и старался не оглядываться. Графиня неодобрительно и сердито покачивала головой против каждого торжественного выражения манифеста. Она во всех этих словах видела только то, что опасности, угрожающие ее сыну, еще не скоро прекратятся. Шиншин, сложив рот в насмешливую улыбку, очевидно приготовился насмехаться над тем, что первое представится для насмешки: над чтением Сони, над тем, что скажет граф, даже над самым воззванием, ежели не представится лучше предлога.
Прочтя об опасностях, угрожающих России, о надеждах, возлагаемых государем на Москву, и в особенности на знаменитое дворянство, Соня с дрожанием голоса, происходившим преимущественно от внимания, с которым ее слушали, прочла последние слова: «Мы не умедлим сами стать посреди народа своего в сей столице и в других государства нашего местах для совещания и руководствования всеми нашими ополчениями, как ныне преграждающими пути врагу, так и вновь устроенными на поражение оного, везде, где только появится. Да обратится погибель, в которую он мнит низринуть нас, на главу его, и освобожденная от рабства Европа да возвеличит имя России!»
– Вот это так! – вскрикнул граф, открывая мокрые глаза и несколько раз прерываясь от сопенья, как будто к носу ему подносили склянку с крепкой уксусной солью. – Только скажи государь, мы всем пожертвуем и ничего не пожалеем.
Шиншин еще не успел сказать приготовленную им шутку на патриотизм графа, как Наташа вскочила с своего места и подбежала к отцу.
– Что за прелесть, этот папа! – проговорила она, целуя его, и она опять взглянула на Пьера с тем бессознательным кокетством, которое вернулось к ней вместе с ее оживлением.
– Вот так патриотка! – сказал Шиншин.
– Совсем не патриотка, а просто… – обиженно отвечала Наташа. – Вам все смешно, а это совсем не шутка…
– Какие шутки! – повторил граф. – Только скажи он слово, мы все пойдем… Мы не немцы какие нибудь…
– А заметили вы, – сказал Пьер, – что сказало: «для совещания».
– Ну уж там для чего бы ни было…
В это время Петя, на которого никто не обращал внимания, подошел к отцу и, весь красный, ломающимся, то грубым, то тонким голосом, сказал:
– Ну теперь, папенька, я решительно скажу – и маменька тоже, как хотите, – я решительно скажу, что вы пустите меня в военную службу, потому что я не могу… вот и всё…
Графиня с ужасом подняла глаза к небу, всплеснула руками и сердито обратилась к мужу.
– Вот и договорился! – сказала она.
Но граф в ту же минуту оправился от волнения.
– Ну, ну, – сказал он. – Вот воин еще! Глупости то оставь: учиться надо.
– Это не глупости, папенька. Оболенский Федя моложе меня и тоже идет, а главное, все равно я не могу ничему учиться теперь, когда… – Петя остановился, покраснел до поту и проговорил таки: – когда отечество в опасности.
– Полно, полно, глупости…
– Да ведь вы сами сказали, что всем пожертвуем.
– Петя, я тебе говорю, замолчи, – крикнул граф, оглядываясь на жену, которая, побледнев, смотрела остановившимися глазами на меньшого сына.