Неприкосновенное число
Неприкоснове́нное число́ (англ. Untouchable number) — положительное целое число, которое не может быть выражено как сумма всех собственных делителей любого целого положительного числа (в том числе самого неприкосновенного числа).
Например, число 4 не является неприкосновенным, так как оно равно сумме собственных делителей числа 9: 1 + 3 = 4. Число 5 является неприкосновенным, так как его нельзя выразить в виде суммы собственных делителей любого натурального числа: 5 = 1 + 4 — единственный способ, чтобы написать 5 в виде суммы различных натуральных чисел, включая 1, но если 4 делитель числа, 2 также является его делителем, так что 1 + 4 не может быть суммой всех собственных делителей любого числа (так как перечень делителей должен содержать как 4, так и 2).
Первые пятьдесят три неприкосновенных числа[1]:
- 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658
Считается, что 5 — единственное нечётное число из неприкосновенных, но это не было доказано. Это должно следовать из немного усиленного варианта гипотезы Гольдбаха[2]. Таким образом, представляется, что, кроме 2 и 5, все неприкосновенные числа составные. Совершенные числа не могут быть неприкосновенными, так как они могут быть выражены как сумма своих собственных делителей.
Пол Эрдёш доказал, что множество неприкосновенных чисел бесконечно.[3]
Не существует неприкосновенных чисел, которые бы были на единицу больше, чем простое число, так как если р — простое число, то сумма собственных делителей р2 будет р + 1. Кроме того, не существует неприкосновенных чисел, за исключением 5, равных простому числу плюс три, так как если р — простое число, не равное двум, то сумма собственных делителей 2р будет р + 3.
Напишите отзыв о статье "Неприкосновенное число"
Примечания
- ↑ последовательность A005114 в OEIS
- ↑ усиленный вариант получается путём добавления к гипотезе Гольдбаха дополнительного требования о том, что два простых числа различны — см. Adams-Watters, Frank and Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/UntouchableNumber.html Untouchable Number] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ P. Erdos, Ueber die Zahlen der Form sigma(n)-n und n-phi(n). Elemente der Math. 28 (1973), 83-86.
Ссылки
- Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B10.
Отрывок, характеризующий Неприкосновенное число
Первое время своего приезда Николай был серьезен и даже скучен. Его мучила предстоящая необходимость вмешаться в эти глупые дела хозяйства, для которых мать вызвала его. Чтобы скорее свалить с плеч эту обузу, на третий день своего приезда он сердито, не отвечая на вопрос, куда он идет, пошел с нахмуренными бровями во флигель к Митеньке и потребовал у него счеты всего. Что такое были эти счеты всего, Николай знал еще менее, чем пришедший в страх и недоумение Митенька. Разговор и учет Митеньки продолжался недолго. Староста, выборный и земский, дожидавшиеся в передней флигеля, со страхом и удовольствием слышали сначала, как загудел и затрещал как будто всё возвышавшийся голос молодого графа, слышали ругательные и страшные слова, сыпавшиеся одно за другим.– Разбойник! Неблагодарная тварь!… изрублю собаку… не с папенькой… обворовал… – и т. д.
Потом эти люди с неменьшим удовольствием и страхом видели, как молодой граф, весь красный, с налитой кровью в глазах, за шиворот вытащил Митеньку, ногой и коленкой с большой ловкостью в удобное время между своих слов толкнул его под зад и закричал: «Вон! чтобы духу твоего, мерзавец, здесь не было!»
Митенька стремглав слетел с шести ступеней и убежал в клумбу. (Клумба эта была известная местность спасения преступников в Отрадном. Сам Митенька, приезжая пьяный из города, прятался в эту клумбу, и многие жители Отрадного, прятавшиеся от Митеньки, знали спасительную силу этой клумбы.)
Жена Митеньки и свояченицы с испуганными лицами высунулись в сени из дверей комнаты, где кипел чистый самовар и возвышалась приказчицкая высокая постель под стеганным одеялом, сшитым из коротких кусочков.
Молодой граф, задыхаясь, не обращая на них внимания, решительными шагами прошел мимо них и пошел в дом.
Графиня узнавшая тотчас через девушек о том, что произошло во флигеле, с одной стороны успокоилась в том отношении, что теперь состояние их должно поправиться, с другой стороны она беспокоилась о том, как перенесет это ее сын. Она подходила несколько раз на цыпочках к его двери, слушая, как он курил трубку за трубкой.
На другой день старый граф отозвал в сторону сына и с робкой улыбкой сказал ему:
– А знаешь ли, ты, моя душа, напрасно погорячился! Мне Митенька рассказал все.
«Я знал, подумал Николай, что никогда ничего не пойму здесь, в этом дурацком мире».
– Ты рассердился, что он не вписал эти 700 рублей. Ведь они у него написаны транспортом, а другую страницу ты не посмотрел.
– Папенька, он мерзавец и вор, я знаю. И что сделал, то сделал. А ежели вы не хотите, я ничего не буду говорить ему.
– Нет, моя душа (граф был смущен тоже. Он чувствовал, что он был дурным распорядителем имения своей жены и виноват был перед своими детьми но не знал, как поправить это) – Нет, я прошу тебя заняться делами, я стар, я…
