Неравенство Высочанского — Петунина

В теории вероятностей неравенство Высочанского — Петунина дает нижнюю границу для вероятности, с которой случайная величина с конечной дисперсией находится внутри интервала, границы которого задаются, как определенная часть стандартного уклонения от среднего значения этой случайной величины. С другой стороны это эквивалентно утверждению, что неравенство указывает верхнюю границу вероятности того, что случайная величина выйдет за пределы этого интервала. Единственным ограничением на функцию плотности распределения вероятности является то, что она должна быть одномодальной и иметь конечную дисперсию. (Из этого вытекает, что такая функция плотности распределения является непрерывной за исключением точки моды, которая может иметь вероятность больше нуля). Это неравенство справедливо в том числе и для резко асимметричных распределений, тем самым устанавливая границы для множества значений случайной величины, попадающих в определенный интервал.

Пусть X случайная величина с одномодальным распределением, средним значением μ и конечной ненулевой дисперсией  σ². Тогда для любого λ > √(8/3) = 1.63299…,

<math>P(\left|X-\mu\right|\geq \lambda\sigma)\leq\frac{4}{9\lambda^2}.</math>

Показано также, что в случае, когда λ меньше чем √(8/3), существуют несимметричные распределения, для которых граница 4/(9 λ²) нарушается.

Данная теорема усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь 4/9, за счет того, что накладывается ограничение одномодальности на плотность распределения случайной величины.

В приложениях математической статистики очень часто используется эвристическое правило, при котором  λ = 3, что соответствует верхней границе вероятности 4/81= 0.04938…, и таким образом строится граница которая включает 95.06% значения случайной величины. В случае нормального распределения оценка улучшается до 99.73%.

Смотри также

• неравенство Гаусса, похожий результат, где расстояние берется от моды, а не от среднего.

Источники

• Высочанский Д. Ф., Петунин Ю. И. Обоснование правила З-sigma для одномодальных распределений. — Теория вероятностей и мат. статистика, 1979, вып. 21, с. 23-35.

Отрывок, характеризующий Неравенство Высочанского — Петунина

Князь Андрей держал ее руки, смотрел ей в глаза, и не находил в своей душе прежней любви к ней. В душе его вдруг повернулось что то: не было прежней поэтической и таинственной прелести желания, а была жалость к ее женской и детской слабости, был страх перед ее преданностью и доверчивостью, тяжелое и вместе радостное сознание долга, навеки связавшего его с нею. Настоящее чувство, хотя и не было так светло и поэтично как прежнее, было серьезнее и сильнее.
– Сказала ли вам maman, что это не может быть раньше года? – сказал князь Андрей, продолжая глядеть в ее глаза. «Неужели это я, та девочка ребенок (все так говорили обо мне) думала Наташа, неужели я теперь с этой минуты жена , равная этого чужого, милого, умного человека, уважаемого даже отцом моим. Неужели это правда! неужели правда, что теперь уже нельзя шутить жизнию, теперь уж я большая, теперь уж лежит на мне ответственность за всякое мое дело и слово? Да, что он спросил у меня?»
– Нет, – отвечала она, но она не понимала того, что он спрашивал.
– Простите меня, – сказал князь Андрей, – но вы так молоды, а я уже так много испытал жизни. Мне страшно за вас. Вы не знаете себя.
Наташа с сосредоточенным вниманием слушала, стараясь понять смысл его слов и не понимала.
– Как ни тяжел мне будет этот год, отсрочивающий мое счастье, – продолжал князь Андрей, – в этот срок вы поверите себя. Я прошу вас через год сделать мое счастье; но вы свободны: помолвка наша останется тайной и, ежели вы убедились бы, что вы не любите меня, или полюбили бы… – сказал князь Андрей с неестественной улыбкой.
– Зачем вы это говорите? – перебила его Наташа. – Вы знаете, что с того самого дня, как вы в первый раз приехали в Отрадное, я полюбила вас, – сказала она, твердо уверенная, что она говорила правду.
– В год вы узнаете себя…
– Целый год! – вдруг сказала Наташа, теперь только поняв то, что свадьба отсрочена на год. – Да отчего ж год? Отчего ж год?… – Князь Андрей стал ей объяснять причины этой отсрочки. Наташа не слушала его.
– И нельзя иначе? – спросила она. Князь Андрей ничего не ответил, но в лице его выразилась невозможность изменить это решение.