Неравенство Гаека-Реньи
Поделись знанием:
– Не может быть сомнения, ваша светлость.
– Позови, позови его сюда!
Кутузов сидел, спустив одну ногу с кровати и навалившись большим животом на другую, согнутую ногу. Он щурил свой зрячий глаз, чтобы лучше рассмотреть посланного, как будто в его чертах он хотел прочесть то, что занимало его.
– Скажи, скажи, дружок, – сказал он Болховитинову своим тихим, старческим голосом, закрывая распахнувшуюся на груди рубашку. – Подойди, подойди поближе. Какие ты привез мне весточки? А? Наполеон из Москвы ушел? Воистину так? А?
Болховитинов подробно доносил сначала все то, что ему было приказано.
– Говори, говори скорее, не томи душу, – перебил его Кутузов.
Болховитинов рассказал все и замолчал, ожидая приказания. Толь начал было говорить что то, но Кутузов перебил его. Он хотел сказать что то, но вдруг лицо его сщурилось, сморщилось; он, махнув рукой на Толя, повернулся в противную сторону, к красному углу избы, черневшему от образов.
– Господи, создатель мой! Внял ты молитве нашей… – дрожащим голосом сказал он, сложив руки. – Спасена Россия. Благодарю тебя, господи! – И он заплакал.
Со времени этого известия и до конца кампании вся деятельность Кутузова заключается только в том, чтобы властью, хитростью, просьбами удерживать свои войска от бесполезных наступлений, маневров и столкновений с гибнущим врагом. Дохтуров идет к Малоярославцу, но Кутузов медлит со всей армией и отдает приказания об очищении Калуги, отступление за которую представляется ему весьма возможным.
Кутузов везде отступает, но неприятель, не дожидаясь его отступления, бежит назад, в противную сторону.
Историки Наполеона описывают нам искусный маневр его на Тарутино и Малоярославец и делают предположения о том, что бы было, если бы Наполеон успел проникнуть в богатые полуденные губернии.
Но не говоря о том, что ничто не мешало Наполеону идти в эти полуденные губернии (так как русская армия давала ему дорогу), историки забывают то, что армия Наполеона не могла быть спасена ничем, потому что она в самой себе несла уже тогда неизбежные условия гибели. Почему эта армия, нашедшая обильное продовольствие в Москве и не могшая удержать его, а стоптавшая его под ногами, эта армия, которая, придя в Смоленск, не разбирала продовольствия, а грабила его, почему эта армия могла бы поправиться в Калужской губернии, населенной теми же русскими, как и в Москве, и с тем же свойством огня сжигать то, что зажигают?
Армия не могла нигде поправиться. Она, с Бородинского сражения и грабежа Москвы, несла в себе уже как бы химические условия разложения.
Люди этой бывшей армии бежали с своими предводителями сами не зная куда, желая (Наполеон и каждый солдат) только одного: выпутаться лично как можно скорее из того безвыходного положения, которое, хотя и неясно, они все сознавали.
Только поэтому, на совете в Малоярославце, когда, притворяясь, что они, генералы, совещаются, подавая разные мнения, последнее мнение простодушного солдата Мутона, сказавшего то, что все думали, что надо только уйти как можно скорее, закрыло все рты, и никто, даже Наполеон, не мог сказать ничего против этой всеми сознаваемой истины.
Содержание
Неравенство Гаека-Реньи
Теорема
Если случайные величины <math>\xi_{1},\xi_{2}, ... ,\xi_{n}, ..., </math> являются независимыми, <math> M\xi_{k} = a_{k}, D\xi_{k}=\sigma^{2}_{k}, k=1,2,...,a </math>, <math>C_{1},C_{2}</math> - невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, то для любого <math>\varepsilon > 0 </math> и для всех <math> m,n \in \mathbb{N}, m<n, </math> выполнено
- <math> P\left (\max_{m\leqslant k\leqslant n}C_k \left |\sum_{i=1}^{k} \left(\xi_i - a_{i} \right )\right | > \varepsilon \right )\leqslant \frac{1}{\varepsilon^2}\left ( C^2_{m}\sum_{k=1}^{m}\sigma^2_{k} + \sum_{k=m+1}^{n}C_{k}^{2}\sigma_{k}^{2} \right ) </math>
Доказательство
Введём следующие обозначения:
- <math>S_{k}=\sum_{i=1}^{k}\left(\xi_{i}-a_{i} \right )</math> ,
- <math>\eta=\sum_{k=m}^{n-1}S_{k}^{2}\left(C_{k}^2 - C_{k+1}^{2} \right)+S_{n}^{2}C_{n}^{2}</math>
Найдем математическое ожидание <math>\eta</math> и преобразуем его к удобному виду:
- <math>\mathsf{M}\eta=\sum_{k=m}^{n-1}\left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2}\right)\mathsf{M}S_{k}^{2}+C_{n}^{2}\mathsf{M}S_{n}^{2}
\sum_{k=m}^{n-1}\sum_{i=1}^{k}\sigma_{i}^{2}\left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2}\right )+C^{2}_{n}\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{2}
</math> <math>=\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=m}^{n-1}\sigma^2_{i}\left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2} \right ) + C^{2}_{n}\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{m}\sigma^{2}_{i}\left(C^{2}_{m}-C^{2}_{n} \right ) + \sum_{i=m+1}^{n-1}\sigma_{i}^{2}\left(C_{i}^{2}-C_{n}^{2} \right )+C^{2}_{n}\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{2}=C^{2}_{m}\sum_{i=1}^{m}\sigma_{i}^{2}+\sum_{i=m+1}^{n}\sigma_{i}^{2}C_{i}^{2}</math>
Рассмотрим следующие случайные события для некоторого <math>\varepsilon>0</math>
- <math>A_{i}= \left \{ \omega \in\Omega:C_{k} \left | S_{k}\left(\omega \right ) \right |\leq\varepsilon, m\leq k\leq i-1, C_{i}\left |S_{i}\left(\omega \right ) \right |> \varepsilon \right \}, i=\overline{m,n}</math>
События <math>A_{i}, i=\overline{m,n}, </math> являются несовместными. Значит,
- <math>P\left ( \max_{m\leq k\leq}C_{k}\left | \sum_{i=1}^{k}\left(\xi_{i}-a_{i} \right ) \right |>\varepsilon \right ) = P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \right )=\sum_{i=m}^{n}P\left(A_{i} \right)</math>
Теорема буде доказана, если будет установлено неравенство:
- <math>\mathsf{M}\eta\geq \varepsilon^{2}\sum_{i=m}^nP\left(A_{i}\right)</math>
Докажем его:
- <math>\mathsf{M}\eta\geq \mathsf{M}\eta\sum_{i=m}^{n}I_{A_{i}}=\sum_{i=m}^{n}\mathsf{M}\eta I_{A_{i}},</math>
- <math>\mathsf{M}\eta I_{A_{i}}=\sum_{k=m}^{n-1}\left(C_{k}^2-C_{k+1}^{2} \right )\mathsf{M}S_{k}^{2}I_{A_{i}}+C_{n}^{2}\mathsf{M}S_{n}^{2}I_{A_{i}}</math>
- <math>\mathsf{M}\eta I_{A_{i}}=\mathsf{M}\left(S_{k}-S_{i}+S_{i} \right )^2I_{A_{i}}\geq\mathsf{M}S_{i}^{2}I_{A_{i}} + 2\mathsf{M}\left(S_{k} - S_{i} \right )S_{i}I_{A_{i}}=\mathsf{M}S_{i}^{2}I_{A_{i}} + 2\mathsf{M}\left(S_{k} - S_{i} \right )\mathsf{M}S_{i}I_{A_{i}}\geq\mathsf{M}\frac{\varepsilon^{2}}{C_{i}^2}I_{A_{i}}=\frac{\varepsilon^{2}}{C_{i}^2}P\left(A_{i} \right )</math>
Следствие(Неравенство Колмогорова)
Если случайные величины <math>\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n},...,</math> независимы и имеют конечные математические ожидания и дисперсии, то
- <math>P\left(\max_{1\leq k\leq n}\frac{1}{k}\left|\sum_{i=1}^{k}\left(\xi_{i}-\mathsf{M}\xi_{i} \right ) \right|>\varepsilon \right )\leq\frac{1}{\varepsilon^{2}}\sum_{k=1}^{n}\frac{D\xi_{k}}{k^2}</math>
Доказательство
Доказательство вытекает из неравенства Гаека-Реньи, если
- <math>C_{k}=\frac{1}{k}, </math>
- <math> m=1</math>
Это неравенство можно записать в виде:
- <math>P\left(\max_{1\leq k\leq n}\frac{1}{k}\left|\sum_{i=1}^{k}\left(\xi_{i}-\mathsf{M}\xi_{i} \right ) \right|>\varepsilon \right )\leq\frac{1}{\varepsilon^{2}}\sum_{k=1}^{n}D\xi_{k}</math>
Напишите отзыв о статье "Неравенство Гаека-Реньи"
Литература
- Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Яблонский О.Л. Курс Теории Вероятностей. — 2003. — 322 с. (Глава 6 § 3 раздел 2)
См. также
Отрывок, характеризующий Неравенство Гаека-Реньи
– Кто привез? – спросил Кутузов с лицом, поразившим Толя, когда загорелась свеча, своей холодной строгостью.– Не может быть сомнения, ваша светлость.
– Позови, позови его сюда!
Кутузов сидел, спустив одну ногу с кровати и навалившись большим животом на другую, согнутую ногу. Он щурил свой зрячий глаз, чтобы лучше рассмотреть посланного, как будто в его чертах он хотел прочесть то, что занимало его.
– Скажи, скажи, дружок, – сказал он Болховитинову своим тихим, старческим голосом, закрывая распахнувшуюся на груди рубашку. – Подойди, подойди поближе. Какие ты привез мне весточки? А? Наполеон из Москвы ушел? Воистину так? А?
Болховитинов подробно доносил сначала все то, что ему было приказано.
– Говори, говори скорее, не томи душу, – перебил его Кутузов.
Болховитинов рассказал все и замолчал, ожидая приказания. Толь начал было говорить что то, но Кутузов перебил его. Он хотел сказать что то, но вдруг лицо его сщурилось, сморщилось; он, махнув рукой на Толя, повернулся в противную сторону, к красному углу избы, черневшему от образов.
– Господи, создатель мой! Внял ты молитве нашей… – дрожащим голосом сказал он, сложив руки. – Спасена Россия. Благодарю тебя, господи! – И он заплакал.
Со времени этого известия и до конца кампании вся деятельность Кутузова заключается только в том, чтобы властью, хитростью, просьбами удерживать свои войска от бесполезных наступлений, маневров и столкновений с гибнущим врагом. Дохтуров идет к Малоярославцу, но Кутузов медлит со всей армией и отдает приказания об очищении Калуги, отступление за которую представляется ему весьма возможным.
Кутузов везде отступает, но неприятель, не дожидаясь его отступления, бежит назад, в противную сторону.
Историки Наполеона описывают нам искусный маневр его на Тарутино и Малоярославец и делают предположения о том, что бы было, если бы Наполеон успел проникнуть в богатые полуденные губернии.
Но не говоря о том, что ничто не мешало Наполеону идти в эти полуденные губернии (так как русская армия давала ему дорогу), историки забывают то, что армия Наполеона не могла быть спасена ничем, потому что она в самой себе несла уже тогда неизбежные условия гибели. Почему эта армия, нашедшая обильное продовольствие в Москве и не могшая удержать его, а стоптавшая его под ногами, эта армия, которая, придя в Смоленск, не разбирала продовольствия, а грабила его, почему эта армия могла бы поправиться в Калужской губернии, населенной теми же русскими, как и в Москве, и с тем же свойством огня сжигать то, что зажигают?
Армия не могла нигде поправиться. Она, с Бородинского сражения и грабежа Москвы, несла в себе уже как бы химические условия разложения.
Люди этой бывшей армии бежали с своими предводителями сами не зная куда, желая (Наполеон и каждый солдат) только одного: выпутаться лично как можно скорее из того безвыходного положения, которое, хотя и неясно, они все сознавали.
Только поэтому, на совете в Малоярославце, когда, притворяясь, что они, генералы, совещаются, подавая разные мнения, последнее мнение простодушного солдата Мутона, сказавшего то, что все думали, что надо только уйти как можно скорее, закрыло все рты, и никто, даже Наполеон, не мог сказать ничего против этой всеми сознаваемой истины.
