Неравенство Колмогорова
Поделись знанием:
\geqslant M S_n^2 - \lambda^2 Pr(\bar{A}) = M S_n^2 - \lambda^2 = M S_n^2 - \lambda^2 + \lambda^2 Pr(A)</math>|ref=3|center=}}
– Теперь мой черед спросить вас «отчего», мой милый, – сказал Болконский. – Я вам признаюсь, что не понимаю, может быть, тут есть дипломатические тонкости выше моего слабого ума, но я не понимаю: Мак теряет целую армию, эрцгерцог Фердинанд и эрцгерцог Карл не дают никаких признаков жизни и делают ошибки за ошибками, наконец, один Кутузов одерживает действительную победу, уничтожает charme [очарование] французов, и военный министр не интересуется даже знать подробности.
– Именно от этого, мой милый. Voyez vous, mon cher: [Видите ли, мой милый:] ура! за царя, за Русь, за веру! Tout ca est bel et bon, [все это прекрасно и хорошо,] но что нам, я говорю – австрийскому двору, за дело до ваших побед? Привезите вы нам свое хорошенькое известие о победе эрцгерцога Карла или Фердинанда – un archiduc vaut l'autre, [один эрцгерцог стоит другого,] как вам известно – хоть над ротой пожарной команды Бонапарте, это другое дело, мы прогремим в пушки. А то это, как нарочно, может только дразнить нас. Эрцгерцог Карл ничего не делает, эрцгерцог Фердинанд покрывается позором. Вену вы бросаете, не защищаете больше, comme si vous nous disiez: [как если бы вы нам сказали:] с нами Бог, а Бог с вами, с вашей столицей. Один генерал, которого мы все любили, Шмит: вы его подводите под пулю и поздравляете нас с победой!… Согласитесь, что раздразнительнее того известия, которое вы привозите, нельзя придумать. C'est comme un fait expres, comme un fait expres. [Это как нарочно, как нарочно.] Кроме того, ну, одержи вы точно блестящую победу, одержи победу даже эрцгерцог Карл, что ж бы это переменило в общем ходе дел? Теперь уж поздно, когда Вена занята французскими войсками.
– Как занята? Вена занята?
– Не только занята, но Бонапарте в Шенбрунне, а граф, наш милый граф Врбна отправляется к нему за приказаниями.
Болконский после усталости и впечатлений путешествия, приема и в особенности после обеда чувствовал, что он не понимает всего значения слов, которые он слышал.
– Нынче утром был здесь граф Лихтенфельс, – продолжал Билибин, – и показывал мне письмо, в котором подробно описан парад французов в Вене. Le prince Murat et tout le tremblement… [Принц Мюрат и все такое…] Вы видите, что ваша победа не очень то радостна, и что вы не можете быть приняты как спаситель…
– Право, для меня всё равно, совершенно всё равно! – сказал князь Андрей, начиная понимать,что известие его о сражении под Кремсом действительно имело мало важности ввиду таких событий, как занятие столицы Австрии. – Как же Вена взята? А мост и знаменитый tete de pont, [мостовое укрепление,] и князь Ауэрсперг? У нас были слухи, что князь Ауэрсперг защищает Вену, – сказал он.
– Князь Ауэрсперг стоит на этой, на нашей, стороне и защищает нас; я думаю, очень плохо защищает, но всё таки защищает. А Вена на той стороне. Нет, мост еще не взят и, надеюсь, не будет взят, потому что он минирован, и его велено взорвать. В противном случае мы были бы давно в горах Богемии, и вы с вашею армией провели бы дурную четверть часа между двух огней.
Неравенство Колмогорова — обобщение теоретико-вероятностного варианта неравенства Чебышёва, ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного числа. Установлено Андреем Колмогоровым в середине 1920-х годов и применено им для доказательства усиленного закона больших чисел.
Формулировка[1]: для определённых на общем вероятностном пространстве <math>(\Omega,\ F,\ Pr)</math> независимых случайных величин <math>X_1, \dots, X_n\ :\Omega\to R</math> с математическими ожиданиями <math>M X_i = 0, i \leqslant n</math> и дисперсиями <math>Var[X_i]<+\infty</math> и произвольной величины <math>\lambda>0</math> выполнено:
| <math>\Pr \left(\max_{1\leqslant k\leqslant n} | (1) |
гдe <math>S_k=X_1+\dots+X_k</math>.
Если к тому же <math> \Pr (|X_i| \leqslant c) = 1, i \leqslant n </math>, то
| <math>\Pr \left(\max_{1\leqslant k\leqslant n} | (2) |
Доказательство
Обозначим
- <math>A = \{ \max|S_k| \geqslant \lambda \}</math>
- <math>A_k = \{ |S_i| < \lambda, i = 1, . . . , k -1, |S_k| \geqslant \lambda \}, 1\leqslant k \leqslant n</math>
Тогда <math>A = \sum A_k</math> и
- <math> M S_n^2 \geqslant M S_n^2 I_A = \sum{ M S_n^2 I_{A_k}}</math> (Где <math>I</math> — индикатор)
Но
- <math> M S_n^2 I_{A_k} = M \left( S_k +\left(X_{k+1}+ . . . +X_n \right) \right)^2 I_{A_k} = </math>
- <math> = M S_k^2 I_{A_k} + 2M S_k\left(X_{k+1}+ . . . +X_n \right) I_{A_k} +M\left(X_{k+1}+ . . . +X_n \right)^2 I_{A_k} \geqslant M S_k^2 I_{A_k},</math>
поскольку <math>M S_k\left(X_{k+1}+ . . . +X_n \right) I_{A_k} = M S_k I_{A_k} M\left(X_{k+1}+ . . . +X_n \right) = 0 </math> в силу предположенной независимости и условий <math>M X_i = 0, i \leqslant n</math> Поэтому
- <math>Var[X_i] = M S_n^2 \geqslant \sum M S_n^2 I_{A_k} \geqslant \lambda^2 \sum \Pr (A_k) = \lambda^2 Pr(A)</math>
что и доказывает неравенство 1. Для доказательства неравенства 2 заметим, что
| {{{2}}} |
С другой стороны, на множестве <math>A_k</math>
- <math>|S_{k-1}| \leqslant \lambda, |S_k| \leqslant |S_{k-1}| + |X_k| \leqslant \lambda + c</math>
и, значит,
- <math> M S_n^2 I_{A} = \sum_k M S_k^2 I_{A_k} + \sum_k M (I_{A_k}(S_n - S_k)^2 ) \leqslant (\lambda+c)^2 \sum_k Pr (A_k) + \sum_{k=1}^n Pr (A_k) \sum_{j = k+1}^n M X_j^2 \leqslant </math>
| {{{2}}} | (4) |
- <math>Pr(A) \geqslant \frac{MS_n^2 + \lambda^2}{(\lambda+c)^2 + MS_n^2- \lambda^2} = 1 - \frac{(\lambda+c)^2}{(\lambda+c)^2 + MS_n^2 - \lambda^2}\geqslant 1 - \frac{(\lambda+c)^2}{MS_n^2}=1 - \frac{(\lambda+c)^2}{\operatorname{Var} [S_n]}</math>
Напишите отзыв о статье "Неравенство Колмогорова"
Примечания
- ↑ Хеннекен, 1974, с. 30.
Литература
- Billingsley Patrick. Probability and Measure. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1995. — ISBN 0-471-00710-2. (Theorem 22.4)
- Feller William. An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1. — Third Edition. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1968. — P. xviii+509. — ISBN 0-471-25708-7.
- Хеннекен П. Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые её приложения. — М.: Наука, 1974. — 472 с.
- Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи по математике желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Неравенство Колмогорова
Он посмотрел прямо на князя Андрея и вдруг спустил собранную кожу со лба.– Теперь мой черед спросить вас «отчего», мой милый, – сказал Болконский. – Я вам признаюсь, что не понимаю, может быть, тут есть дипломатические тонкости выше моего слабого ума, но я не понимаю: Мак теряет целую армию, эрцгерцог Фердинанд и эрцгерцог Карл не дают никаких признаков жизни и делают ошибки за ошибками, наконец, один Кутузов одерживает действительную победу, уничтожает charme [очарование] французов, и военный министр не интересуется даже знать подробности.
– Именно от этого, мой милый. Voyez vous, mon cher: [Видите ли, мой милый:] ура! за царя, за Русь, за веру! Tout ca est bel et bon, [все это прекрасно и хорошо,] но что нам, я говорю – австрийскому двору, за дело до ваших побед? Привезите вы нам свое хорошенькое известие о победе эрцгерцога Карла или Фердинанда – un archiduc vaut l'autre, [один эрцгерцог стоит другого,] как вам известно – хоть над ротой пожарной команды Бонапарте, это другое дело, мы прогремим в пушки. А то это, как нарочно, может только дразнить нас. Эрцгерцог Карл ничего не делает, эрцгерцог Фердинанд покрывается позором. Вену вы бросаете, не защищаете больше, comme si vous nous disiez: [как если бы вы нам сказали:] с нами Бог, а Бог с вами, с вашей столицей. Один генерал, которого мы все любили, Шмит: вы его подводите под пулю и поздравляете нас с победой!… Согласитесь, что раздразнительнее того известия, которое вы привозите, нельзя придумать. C'est comme un fait expres, comme un fait expres. [Это как нарочно, как нарочно.] Кроме того, ну, одержи вы точно блестящую победу, одержи победу даже эрцгерцог Карл, что ж бы это переменило в общем ходе дел? Теперь уж поздно, когда Вена занята французскими войсками.
– Как занята? Вена занята?
– Не только занята, но Бонапарте в Шенбрунне, а граф, наш милый граф Врбна отправляется к нему за приказаниями.
Болконский после усталости и впечатлений путешествия, приема и в особенности после обеда чувствовал, что он не понимает всего значения слов, которые он слышал.
– Нынче утром был здесь граф Лихтенфельс, – продолжал Билибин, – и показывал мне письмо, в котором подробно описан парад французов в Вене. Le prince Murat et tout le tremblement… [Принц Мюрат и все такое…] Вы видите, что ваша победа не очень то радостна, и что вы не можете быть приняты как спаситель…
– Право, для меня всё равно, совершенно всё равно! – сказал князь Андрей, начиная понимать,что известие его о сражении под Кремсом действительно имело мало важности ввиду таких событий, как занятие столицы Австрии. – Как же Вена взята? А мост и знаменитый tete de pont, [мостовое укрепление,] и князь Ауэрсперг? У нас были слухи, что князь Ауэрсперг защищает Вену, – сказал он.
– Князь Ауэрсперг стоит на этой, на нашей, стороне и защищает нас; я думаю, очень плохо защищает, но всё таки защищает. А Вена на той стороне. Нет, мост еще не взят и, надеюсь, не будет взят, потому что он минирован, и его велено взорвать. В противном случае мы были бы давно в горах Богемии, и вы с вашею армией провели бы дурную четверть часа между двух огней.
