Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца («неравенство КБШ»), хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство <math>L</math> со скалярным произведением <math>\langle x,\;y\rangle</math>. Пусть <math>\|x\|</math> — норма, порождённая скалярным произведением, то есть <math>\|x\|\equiv\sqrt{\langle x,\;x\rangle},\;\forall x\in L</math>. Тогда для любых <math>x,\;y\in L</math> имеем:

<math>|\langle x,\;y\rangle| \leqslant \|x\|\cdot\|y\|,</math>

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы <math>x</math> и <math>y</math> пропорциональны (коллинеарны).

Комментарии

В конечномерном случае можно заметить, что <math>\|x\|^2\|y\|^2-\langle x,\;y\rangle^2=S(x,\;y)^2</math>, где <math>S(x,\;y)</math> — площадь параллелограмма, натянутого на векторы <math>x</math> и <math>y</math>.

В общем случае:

<math>\|x\|^2-\frac{\langle x,\;y\rangle^2}{\|y\|^2}=\left\|x-\frac{\langle x,\;y\rangle}{\|y\|^2}y\right\|^2.</math>

Примеры

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей <math>l^2</math> неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

<math>\left|\sum\limits_{k=1}^\infty x_k\bar{y}_k\right|^2\leqslant\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^2\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^\infty|y_k|^2\right),</math>

где <math>\bar{y}_k</math> обозначает комплексное сопряжение <math>y_k</math>.

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций <math>L^2(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

<math>\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leqslant\left(\int\limits_X\left|f(x)\right|^2\,\mu(dx)\right)\cdot\left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right).</math>

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом <math>L^2(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})</math> неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  <math>\mathrm{cov}^2(X,\;Y)\leqslant\mathrm{D}[X]\cdot\mathrm{D}[Y],</math>

где <math>\mathrm{cov}</math> обозначает ковариацию, а <math>\mathrm{D}</math> — дисперсию.

Доказательство

• Если <math>\langle x,y \rangle \in \R ,</math> то <math> \forall \lambda \in \R </math> верно следующее

<math>0\leqslant\langle\lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle=\lambda^2\langle x,\;x\rangle+2\lambda\langle x,\;y\rangle+\langle y,\;y\rangle.</math>

Значит, дискриминант многочлена <math>\lambda^2\langle x,\;x\rangle+2\lambda\langle x,\;y\rangle+\langle y,\;y\rangle</math> неположительный, то есть

<math>D=4(\langle x,\;y\rangle)^2-4\langle x,\;x\rangle\langle y,\;y\rangle\leqslant 0.</math>

Следовательно,

<math>|\langle x,\;y\rangle|\leqslant\|x\|\cdot\|y\|.</math>

• Если <math> Im \langle x,y \rangle \ne 0, </math> то представим скалярное произведение в тригонометрическом виде <math> \langle x,y \rangle = re^{i\phi}. </math>

Определим вектор <math> z=e^{-i\phi}x. </math> Тогда

<math> \langle z,y \rangle = e^{-i\phi}\langle x,y \rangle = r = \left | \langle x,y \rangle \right | \in \R </math> и

<math> \langle z,z \rangle = e^{-i\phi}\langle x,e^{-i\phi}x \rangle=e^{-i\phi}e^{i\phi}\langle x,x \rangle = \langle x,x \rangle </math>

К скалярному произведению <math> \langle z,y \rangle \in \R </math> применим результат первого пункта доказательства.

<math> \left | \langle x,y \rangle \right |=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot\|y\|=\|x\|\cdot\|y\| </math>

Отрывок, характеризующий Неравенство Коши — Буняковского

Вольцоген, небрежно разминая ноги, с полупрезрительной улыбкой на губах, подошел к Кутузову, слегка дотронувшись до козырька рукою.
Вольцоген обращался с светлейшим с некоторой аффектированной небрежностью, имеющей целью показать, что он, как высокообразованный военный, предоставляет русским делать кумира из этого старого, бесполезного человека, а сам знает, с кем он имеет дело. «Der alte Herr (как называли Кутузова в своем кругу немцы) macht sich ganz bequem, [Старый господин покойно устроился (нем.) ] – подумал Вольцоген и, строго взглянув на тарелки, стоявшие перед Кутузовым, начал докладывать старому господину положение дел на левом фланге так, как приказал ему Барклай и как он сам его видел и понял.
– Все пункты нашей позиции в руках неприятеля и отбить нечем, потому что войск нет; они бегут, и нет возможности остановить их, – докладывал он.
Кутузов, остановившись жевать, удивленно, как будто не понимая того, что ему говорили, уставился на Вольцогена. Вольцоген, заметив волнение des alten Herrn, [старого господина (нем.) ] с улыбкой сказал:
– Я не считал себя вправе скрыть от вашей светлости того, что я видел… Войска в полном расстройстве…
– Вы видели? Вы видели?.. – нахмурившись, закричал Кутузов, быстро вставая и наступая на Вольцогена. – Как вы… как вы смеете!.. – делая угрожающие жесты трясущимися руками и захлебываясь, закричал он. – Как смоете вы, милостивый государь, говорить это мне. Вы ничего не знаете. Передайте от меня генералу Барклаю, что его сведения неверны и что настоящий ход сражения известен мне, главнокомандующему, лучше, чем ему.
Вольцоген хотел возразить что то, но Кутузов перебил его.
– Неприятель отбит на левом и поражен на правом фланге. Ежели вы плохо видели, милостивый государь, то не позволяйте себе говорить того, чего вы не знаете. Извольте ехать к генералу Барклаю и передать ему назавтра мое непременное намерение атаковать неприятеля, – строго сказал Кутузов. Все молчали, и слышно было одно тяжелое дыхание запыхавшегося старого генерала. – Отбиты везде, за что я благодарю бога и наше храброе войско. Неприятель побежден, и завтра погоним его из священной земли русской, – сказал Кутузов, крестясь; и вдруг всхлипнул от наступивших слез. Вольцоген, пожав плечами и скривив губы, молча отошел к стороне, удивляясь uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [на это самодурство старого господина. (нем.) ]
– Да, вот он, мой герой, – сказал Кутузов к полному красивому черноволосому генералу, который в это время входил на курган. Это был Раевский, проведший весь день на главном пункте Бородинского поля.
Раевский доносил, что войска твердо стоят на своих местах и что французы не смеют атаковать более. Выслушав его, Кутузов по французски сказал:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Вы, стало быть, не думаете, как другие, что мы должны отступить?]
– Au contraire, votre altesse, dans les affaires indecises c'est loujours le plus opiniatre qui reste victorieux, – отвечал Раевский, – et mon opinion… [Напротив, ваша светлость, в нерешительных делах остается победителем тот, кто упрямее, и мое мнение…]
– Кайсаров! – крикнул Кутузов своего адъютанта. – Садись пиши приказ на завтрашний день. А ты, – обратился он к другому, – поезжай по линии и объяви, что завтра мы атакуем.
Пока шел разговор с Раевским и диктовался приказ, Вольцоген вернулся от Барклая и доложил, что генерал Барклай де Толли желал бы иметь письменное подтверждение того приказа, который отдавал фельдмаршал.