Неравенство Чебышёва

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Чебышёва, известное также как неравенство Биенэме — Чебышёва, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым. Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.





Неравенство Чебышёва в теории меры

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства <math>L_p</math> в слабое пространство <math>L_p</math>.

Формулировки

Тогда справедливо неравенство:
<math>\mu\bigl(\{x:x\in A,\phi(x)\geqslant c\}\bigr)\leqslant\frac{1}{c}\int\limits_A\phi(x)\mu(dx)</math>.
  • В более общем виде:
Если <math>g</math> — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения <math>\phi</math>, то
<math>\mu\bigl(\{x\in A\,:\,\,\phi(x)\geqslant t\}\bigr) \leqslant {1\over g(t)} \int_A g\circ \phi\, \mu(dx).</math>
  • В терминах пространства <math>L_p</math>:
Пусть <math>\phi(x)\in L_p</math>. Тогда <math>\mu\Bigl(\bigl\{x\in A\,\big|\, |\phi(x)| > t\bigr\}\Bigr)\leqslant \frac{\|\phi\|_p^p}{t^p}.</math>

Неравенство Чебышёва может быть получено, как следствие из неравенства Маркова.

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина <math>X\colon\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> определена на вероятностном пространстве <math>(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})</math>, а её математическое ожидание <math>\mu</math> и дисперсия <math>\sigma^2</math> конечны. Тогда

<math>\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant a\right) \leqslant \frac{\sigma^2}{a^2}</math>,

где <math>a>0</math>.

Если <math>a = k \sigma</math>, где <math>\sigma</math> — стандартное отклонение и <math>k > 0</math>, то получаем

<math>\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant k \sigma \right) \leqslant \frac{1}{k^2}</math>.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на <math>2</math> стандартных отклонения, с вероятностью меньше <math>25%</math>. Она отклоняется от среднего на <math>3</math> стандартных отклонения с вероятностью меньше <math>11{,}2\,%</math>.

Для важнейшего случая одномодальных распределений Неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь 4/9. Таким образом, граница на <math>3</math> стандартных отклонения включает «почти все» (то есть <math>95{,}06\,%</math>) значения случайной величины и в случае нормального распределения оценка улучшается до 99,73 %.

См. также

Напишите отзыв о статье "Неравенство Чебышёва"

Литература

  • Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Ссылки

  • [compscicenter.ru/program/lecture/6504 Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва]

Отрывок, характеризующий Неравенство Чебышёва

– Посмотрите, посмотрите, – говорил этот адъютант, глядя не на дальнее войско, а вниз по горе перед собой. – Это французы!
Два генерала и адъютанты стали хвататься за трубу, вырывая ее один у другого. Все лица вдруг изменились, и на всех выразился ужас. Французов предполагали за две версты от нас, а они явились вдруг, неожиданно перед нами.
– Это неприятель?… Нет!… Да, смотрите, он… наверное… Что ж это? – послышались голоса.
Князь Андрей простым глазом увидал внизу направо поднимавшуюся навстречу апшеронцам густую колонну французов, не дальше пятисот шагов от того места, где стоял Кутузов.
«Вот она, наступила решительная минута! Дошло до меня дело», подумал князь Андрей, и ударив лошадь, подъехал к Кутузову. «Надо остановить апшеронцев, – закричал он, – ваше высокопревосходительство!» Но в тот же миг всё застлалось дымом, раздалась близкая стрельба, и наивно испуганный голос в двух шагах от князя Андрея закричал: «ну, братцы, шабаш!» И как будто голос этот был команда. По этому голосу всё бросилось бежать.
Смешанные, всё увеличивающиеся толпы бежали назад к тому месту, где пять минут тому назад войска проходили мимо императоров. Не только трудно было остановить эту толпу, но невозможно было самим не податься назад вместе с толпой.
Болконский только старался не отставать от нее и оглядывался, недоумевая и не в силах понять того, что делалось перед ним. Несвицкий с озлобленным видом, красный и на себя не похожий, кричал Кутузову, что ежели он не уедет сейчас, он будет взят в плен наверное. Кутузов стоял на том же месте и, не отвечая, доставал платок. Из щеки его текла кровь. Князь Андрей протеснился до него.
– Вы ранены? – спросил он, едва удерживая дрожание нижней челюсти.
– Раны не здесь, а вот где! – сказал Кутузов, прижимая платок к раненой щеке и указывая на бегущих. – Остановите их! – крикнул он и в то же время, вероятно убедясь, что невозможно было их остановить, ударил лошадь и поехал вправо.
Вновь нахлынувшая толпа бегущих захватила его с собой и повлекла назад.
Войска бежали такой густой толпой, что, раз попавши в середину толпы, трудно было из нее выбраться. Кто кричал: «Пошел! что замешкался?» Кто тут же, оборачиваясь, стрелял в воздух; кто бил лошадь, на которой ехал сам Кутузов. С величайшим усилием выбравшись из потока толпы влево, Кутузов со свитой, уменьшенной более чем вдвое, поехал на звуки близких орудийных выстрелов. Выбравшись из толпы бегущих, князь Андрей, стараясь не отставать от Кутузова, увидал на спуске горы, в дыму, еще стрелявшую русскую батарею и подбегающих к ней французов. Повыше стояла русская пехота, не двигаясь ни вперед на помощь батарее, ни назад по одному направлению с бегущими. Генерал верхом отделился от этой пехоты и подъехал к Кутузову. Из свиты Кутузова осталось только четыре человека. Все были бледны и молча переглядывались.
– Остановите этих мерзавцев! – задыхаясь, проговорил Кутузов полковому командиру, указывая на бегущих; но в то же мгновение, как будто в наказание за эти слова, как рой птичек, со свистом пролетели пули по полку и свите Кутузова.
Французы атаковали батарею и, увидав Кутузова, выстрелили по нем. С этим залпом полковой командир схватился за ногу; упало несколько солдат, и подпрапорщик, стоявший с знаменем, выпустил его из рук; знамя зашаталось и упало, задержавшись на ружьях соседних солдат.
Солдаты без команды стали стрелять.
– Ооох! – с выражением отчаяния промычал Кутузов и оглянулся. – Болконский, – прошептал он дрожащим от сознания своего старческого бессилия голосом. – Болконский, – прошептал он, указывая на расстроенный батальон и на неприятеля, – что ж это?