Неустойчивость Рэлея — Тейлора

Неустойчивость Рэлея — Тейлора (названа в честь лорда Рэлея и Дж. И. Тейлора) — самопроизвольное нарастание возмущений давления, плотности и скорости в газообразных и жидких средах с неоднородной плотностью, находящихся в гравитационном поле (Рэлей, 1900 г.) либо движущихся с ускорением (Тейлор, 1950 г.).

Частными случаями неустойчивости Рэлея — Тейлора являются нестабильности границ сред с разной плотностью при ускорении под воздействием от проходящей ударной волны (неустойчивость Рихтмайера — Мешкова) и неустойчивость плазмы, находящейся в поле тяготения над параллельным по отношению к её границе магнитным полем (неустойчивость Крускала-Шварцшильда)

Простейший случай неустойчивости Рэлея — Тейлора — неустойчивость поверхности раздела жидкостей либо газов с различными плотностями в поле тяготения, когда слой более плотной среды лежит в неустойчивом равновесии на слое менее плотной. Если в начальном состоянии плоскость раздела перпендикулярна вектору силы тяжести, то любое возмущение поверхности раздела будет расти с течением времени, так как участки более плотной среды, оказавшиеся ниже плоскости раздела, начинают «тонуть» в менее плотной среде, а участки менее плотной среды, оказавшиеся выше плоскости раздела, начинают «всплывать» в более плотной среде. Такое взаимное проникновение ведет к уменьшению потенциальной энергии системы, которая достигает минимума, когда слои полностью меняются местами, то есть система достигает устойчивого равновесия.

Основным параметром, определяющим скорость развития этой нестабильности, является число Атвуда.

Аналитическое описание

Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной теории устойчивости.

Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести <math>\vec{g}</math> друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации - синий цвет), плотности жидкостей <math>\rho_1, \rho_2</math>. Верхняя и нижняя границы - твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера:

<math>

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \nabla P + \vec{g}, </math>

<math>

\operatorname{div} \vec{v} = 0. </math>

В дальнейшем компоненты скорости определяются как <math>\vec{v} = \left\{ u, v, w \right\}</math>. Вполне очевидно, что равновесное решение (<math>\vec{v} = 0</math>) удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:

<math>

\frac{\partial P}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial z} = - \rho g </math>

Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):

<math>

P_0 = - \rho g z. </math>

Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость <math>\vec{v}</math> настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым <math>\left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v}</math> в уравнении Эйлера, а давление имеет вид <math>P = P_0 + P'</math>, где <math>P' \ll P_0</math>. Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):

<math>

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = - \frac{1}{\rho} \nabla P, </math>

<math>

\operatorname{div} \vec{v} = 0. </math>

Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, т. к. жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие

<math>

\quad \frac{\partial \zeta}{\partial t} = w, </math>

и динамическое условие

<math>

\left(P_1 - P_2\right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = \sigma \Delta \zeta. </math>

Условие непротекания верхней и нижней границ:

<math>

z=\pm h: \quad w = 0, </math>

где <math>\zeta</math> - величина отклонения границы от невозмущённой, <math>\sigma</math> - коэффициент поверхностного натяжения. Полученная задача для возмущений легко решается.

Положим, что возмущения имеют вид:

<math>

\vec{v}, P, \zeta \sim e^{\lambda t} e^{i \left( k_x x + k_y y \right)}, </math>

где <math>\lambda</math> - скорость роста (инкремент) возмущения, <math>k_x, k_y</math> - компоненты волнового вектора возмущения границы.

Из уравнения Эйлера выражается <math>w</math>:

<math>

\lambda w = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial z}, </math>

а условие несжимаемости <math>\operatorname{div}\vec{v} = 0</math> даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение:

<math>

\frac{\partial^2 P}{\partial z^2} - k^2 P = 0, </math>

с граничными условиями:

<math>

z=0: \quad \left( P_1 - P_2 \right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = -\sigma k^2 \zeta, </math>

<math>

z=0: \quad \frac{1}{\rho_1} \frac{\partial P_1}{\partial z} - \frac{1}{\rho_2} \frac{\partial P_2}{\partial z} = 0, </math>

<math>

z=\pm h: \quad \frac{\partial P}{\partial z}=0. </math>

Решение уравнения Лапласа для давления:

<math>

P_1 = C_1 \cosh k \left( h - z \right), </math>

<math>

P_2 = C_2 \cosh k \left( h + z \right). </math>

Константы <math>C_1, C_2</math> определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора

<math>

\lambda^2 = \frac{\left( \rho_1 - \rho_2 \right)g - \sigma k^2 }{\rho_1 + \rho_2} k \tanh kh, </math>

откуда непосредственно следует выражение для критического волнового числа возмущений (при <math>\lambda = 0</math>):

<math>k_c^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{\sigma}</math>.

Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.

В предельном случае бесконечно глубоких слоёв (<math> kh \gg 1 </math>) наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе

<math>k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{3 \sigma}</math>.

В тонких слоях (<math> kh \ll 1 </math>):

<math>k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{2 \sigma}</math>.

В природе

• Ярким известным проявлением неустойчивости Рэлея — Тейлора являются вымеобразные облака, а также ядерный гриб.

См. также

• Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца
• Неустойчивость Рихтмайера — Мешкова

Литература

• Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механика двухфазных систем. // М.: Изд-во МЭИ, 2000. - с. 143-146.
• Векштейн Г.Е. Физика сплошных сред в задачах. // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - с. 109-111.

Ссылки

• www.astronet.ru/db/msg/1188634

Отрывок, характеризующий Неустойчивость Рэлея — Тейлора

В горницах постоялого двора не было места: все были заняты. Пьер прошел на двор и, укрывшись с головой, лег в свою коляску.


Едва Пьер прилег головой на подушку, как он почувствовал, что засыпает; но вдруг с ясностью почти действительности послышались бум, бум, бум выстрелов, послышались стоны, крики, шлепанье снарядов, запахло кровью и порохом, и чувство ужаса, страха смерти охватило его. Он испуганно открыл глаза и поднял голову из под шинели. Все было тихо на дворе. Только в воротах, разговаривая с дворником и шлепая по грязи, шел какой то денщик. Над головой Пьера, под темной изнанкой тесового навеса, встрепенулись голубки от движения, которое он сделал, приподнимаясь. По всему двору был разлит мирный, радостный для Пьера в эту минуту, крепкий запах постоялого двора, запах сена, навоза и дегтя. Между двумя черными навесами виднелось чистое звездное небо.
«Слава богу, что этого нет больше, – подумал Пьер, опять закрываясь с головой. – О, как ужасен страх и как позорно я отдался ему! А они… они все время, до конца были тверды, спокойны… – подумал он. Они в понятии Пьера были солдаты – те, которые были на батарее, и те, которые кормили его, и те, которые молились на икону. Они – эти странные, неведомые ему доселе они, ясно и резко отделялись в его мысли от всех других людей.
«Солдатом быть, просто солдатом! – думал Пьер, засыпая. – Войти в эту общую жизнь всем существом, проникнуться тем, что делает их такими. Но как скинуть с себя все это лишнее, дьявольское, все бремя этого внешнего человека? Одно время я мог быть этим. Я мог бежать от отца, как я хотел. Я мог еще после дуэли с Долоховым быть послан солдатом». И в воображении Пьера мелькнул обед в клубе, на котором он вызвал Долохова, и благодетель в Торжке. И вот Пьеру представляется торжественная столовая ложа. Ложа эта происходит в Английском клубе. И кто то знакомый, близкий, дорогой, сидит в конце стола. Да это он! Это благодетель. «Да ведь он умер? – подумал Пьер. – Да, умер; но я не знал, что он жив. И как мне жаль, что он умер, и как я рад, что он жив опять!» С одной стороны стола сидели Анатоль, Долохов, Несвицкий, Денисов и другие такие же (категория этих людей так же ясно была во сне определена в душе Пьера, как и категория тех людей, которых он называл они), и эти люди, Анатоль, Долохов громко кричали, пели; но из за их крика слышен был голос благодетеля, неумолкаемо говоривший, и звук его слов был так же значителен и непрерывен, как гул поля сраженья, но он был приятен и утешителен. Пьер не понимал того, что говорил благодетель, но он знал (категория мыслей так же ясна была во сне), что благодетель говорил о добре, о возможности быть тем, чем были они. И они со всех сторон, с своими простыми, добрыми, твердыми лицами, окружали благодетеля. Но они хотя и были добры, они не смотрели на Пьера, не знали его. Пьер захотел обратить на себя их внимание и сказать. Он привстал, но в то же мгновенье ноги его похолодели и обнажились.
Ему стало стыдно, и он рукой закрыл свои ноги, с которых действительно свалилась шинель. На мгновение Пьер, поправляя шинель, открыл глаза и увидал те же навесы, столбы, двор, но все это было теперь синевато, светло и подернуто блестками росы или мороза.
«Рассветает, – подумал Пьер. – Но это не то. Мне надо дослушать и понять слова благодетеля». Он опять укрылся шинелью, но ни столовой ложи, ни благодетеля уже не было. Были только мысли, ясно выражаемые словами, мысли, которые кто то говорил или сам передумывал Пьер.
Пьер, вспоминая потом эти мысли, несмотря на то, что они были вызваны впечатлениями этого дня, был убежден, что кто то вне его говорил их ему. Никогда, как ему казалось, он наяву не был в состоянии так думать и выражать свои мысли.
«Война есть наитруднейшее подчинение свободы человека законам бога, – говорил голос. – Простота есть покорность богу; от него не уйдешь. И они просты. Они, не говорят, но делают. Сказанное слово серебряное, а несказанное – золотое. Ничем не может владеть человек, пока он боится смерти. А кто не боится ее, тому принадлежит все. Ежели бы не было страдания, человек не знал бы границ себе, не знал бы себя самого. Самое трудное (продолжал во сне думать или слышать Пьер) состоит в том, чтобы уметь соединять в душе своей значение всего. Все соединить? – сказал себе Пьер. – Нет, не соединить. Нельзя соединять мысли, а сопрягать все эти мысли – вот что нужно! Да, сопрягать надо, сопрягать надо! – с внутренним восторгом повторил себе Пьер, чувствуя, что этими именно, и только этими словами выражается то, что он хочет выразить, и разрешается весь мучащий его вопрос.
– Да, сопрягать надо, пора сопрягать.
– Запрягать надо, пора запрягать, ваше сиятельство! Ваше сиятельство, – повторил какой то голос, – запрягать надо, пора запрягать…
Это был голос берейтора, будившего Пьера. Солнце било прямо в лицо Пьера. Он взглянул на грязный постоялый двор, в середине которого у колодца солдаты поили худых лошадей, из которого в ворота выезжали подводы. Пьер с отвращением отвернулся и, закрыв глаза, поспешно повалился опять на сиденье коляски. «Нет, я не хочу этого, не хочу этого видеть и понимать, я хочу понять то, что открывалось мне во время сна. Еще одна секунда, и я все понял бы. Да что же мне делать? Сопрягать, но как сопрягать всё?» И Пьер с ужасом почувствовал, что все значение того, что он видел и думал во сне, было разрушено.
Берейтор, кучер и дворник рассказывали Пьеру, что приезжал офицер с известием, что французы подвинулись под Можайск и что наши уходят.
Пьер встал и, велев закладывать и догонять себя, пошел пешком через город.
Войска выходили и оставляли около десяти тысяч раненых. Раненые эти виднелись в дворах и в окнах домов и толпились на улицах. На улицах около телег, которые должны были увозить раненых, слышны были крики, ругательства и удары. Пьер отдал догнавшую его коляску знакомому раненому генералу и с ним вместе поехал до Москвы. Доро гой Пьер узнал про смерть своего шурина и про смерть князя Андрея.