Чётность функции

Нечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Название связано со свойствами степенных функций: функция <math>f(x) = x^n</math> чётна когда <math>n</math> чётно, и нечётна когда <math>n</math> нечётно.

• Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно центра координат).
• Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно оси ординат).
• Ни чётная, ни нечётная функция (функция общего вида). В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Строгое определение

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения <math>X \subset \mathbb{R}</math>, например, отрезка или интервала.

• Функция <math>f:X \to \mathbb{R}</math> называется чётной, если справедливо равенство

<math>f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.</math>

• Функция называется нечётной, если справедливо равенство

<math>f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.</math>

• Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными, ни нечётными (или функциями общего вида).

Свойства

• График нечётной функции симметричен относительно начала координат <math>O</math>.
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат <math>Oy</math>.
• Произвольная функция <math>f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

<math>f(x) = g(x) + h(x),</math>

где

<math>g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.</math>

• Функция <math>f(x) \equiv 0</math> — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
• Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
• Произведение двух функций одной чётности чётно.
• Произведение двух функций разной чётности нечётно.
• Композиция двух нечётных функций нечётна.
• Композиция чётной функции с нечётной чётна.
• Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
• Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
• Важное соотношение для несобственных интегралов от чётных функций:

<math>

\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\; dx = 2 \int\limits_{0}^{\infty}f(x)\; dx = 2 \int\limits_{-\infty}^{0}f(x)\; dx. </math>

Соответственно, для интегралов от нечётных функций выполняется равенство

<math>

\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\; dx = 0. </math>

Примеры

Нечётные функции

• Нечётная степень <math>f(x) = x^{2k+1},\quad x\in \mathbb{R}</math> где <math>k\in \mathbb{Z}</math> — произвольное целое число.
• Синус <math>f(x) = \sin x,\quad x \in \mathbb{R}</math>.
• Тангенс <math>f(x) = \operatorname{tg} x,\quad x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)</math>.

Чётные функции

• Чётная степень <math>f(x) = x^{2k},\quad x\in \mathbb{R}</math> где <math>k\in \mathbb{Z}</math> — произвольное целое число.
• Косинус <math>f(x) = \cos x,\quad x \in \mathbb{R}</math>.
• Абсолютная величина (модуль) <math>f(x)=|x|</math>.

Литература

• И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, Э. Э. Шноль. [www.math.ru/lib/book/djvu/zaochn/b2_68.djvu Функции и графики. Основные приемы]. — М.: Наука, 1968. — (Библиотечка физико-математической школы, выпуск 2). (Перевод на англ.: Functions and Graphs. The MIT Press, 1969, Birkhäuser: Boston, 1990 и 1998)

Отрывок, характеризующий Чётность функции

– Майор Денисов, – повторил Ростов; – он под Молитеном ранен был.
– Кажется, умер. А, Макеев? – равнодушно спросил доктор у фельдшера.
Фельдшер однако не подтвердил слов доктора.
– Что он такой длинный, рыжеватый? – спросил доктор.
Ростов описал наружность Денисова.
– Был, был такой, – как бы радостно проговорил доктор, – этот должно быть умер, а впрочем я справлюсь, у меня списки были. Есть у тебя, Макеев?
– Списки у Макара Алексеича, – сказал фельдшер. – А пожалуйте в офицерские палаты, там сами увидите, – прибавил он, обращаясь к Ростову.
– Эх, лучше не ходить, батюшка, – сказал доктор: – а то как бы сами тут не остались. – Но Ростов откланялся доктору и попросил фельдшера проводить его.
– Не пенять же чур на меня, – прокричал доктор из под лестницы.
Ростов с фельдшером вошли в коридор. Больничный запах был так силен в этом темном коридоре, что Ростов схватился зa нос и должен был остановиться, чтобы собраться с силами и итти дальше. Направо отворилась дверь, и оттуда высунулся на костылях худой, желтый человек, босой и в одном белье.
Он, опершись о притолку, блестящими, завистливыми глазами поглядел на проходящих. Заглянув в дверь, Ростов увидал, что больные и раненые лежали там на полу, на соломе и шинелях.
– А можно войти посмотреть? – спросил Ростов.
– Что же смотреть? – сказал фельдшер. Но именно потому что фельдшер очевидно не желал впустить туда, Ростов вошел в солдатские палаты. Запах, к которому он уже успел придышаться в коридоре, здесь был еще сильнее. Запах этот здесь несколько изменился; он был резче, и чувствительно было, что отсюда то именно он и происходил.
В длинной комнате, ярко освещенной солнцем в большие окна, в два ряда, головами к стенам и оставляя проход по середине, лежали больные и раненые. Большая часть из них были в забытьи и не обратили вниманья на вошедших. Те, которые были в памяти, все приподнялись или подняли свои худые, желтые лица, и все с одним и тем же выражением надежды на помощь, упрека и зависти к чужому здоровью, не спуская глаз, смотрели на Ростова. Ростов вышел на середину комнаты, заглянул в соседние двери комнат с растворенными дверями, и с обеих сторон увидал то же самое. Он остановился, молча оглядываясь вокруг себя. Он никак не ожидал видеть это. Перед самым им лежал почти поперек середняго прохода, на голом полу, больной, вероятно казак, потому что волосы его были обстрижены в скобку. Казак этот лежал навзничь, раскинув огромные руки и ноги. Лицо его было багрово красно, глаза совершенно закачены, так что видны были одни белки, и на босых ногах его и на руках, еще красных, жилы напружились как веревки. Он стукнулся затылком о пол и что то хрипло проговорил и стал повторять это слово. Ростов прислушался к тому, что он говорил, и разобрал повторяемое им слово. Слово это было: испить – пить – испить! Ростов оглянулся, отыскивая того, кто бы мог уложить на место этого больного и дать ему воды.
– Кто тут ходит за больными? – спросил он фельдшера. В это время из соседней комнаты вышел фурштадский солдат, больничный служитель, и отбивая шаг вытянулся перед Ростовым.
– Здравия желаю, ваше высокоблагородие! – прокричал этот солдат, выкатывая глаза на Ростова и, очевидно, принимая его за больничное начальство.
– Убери же его, дай ему воды, – сказал Ростов, указывая на казака.
– Слушаю, ваше высокоблагородие, – с удовольствием проговорил солдат, еще старательнее выкатывая глаза и вытягиваясь, но не трогаясь с места.
– Нет, тут ничего не сделаешь, – подумал Ростов, опустив глаза, и хотел уже выходить, но с правой стороны он чувствовал устремленный на себя значительный взгляд и оглянулся на него. Почти в самом углу на шинели сидел с желтым, как скелет, худым, строгим лицом и небритой седой бородой, старый солдат и упорно смотрел на Ростова. С одной стороны, сосед старого солдата что то шептал ему, указывая на Ростова. Ростов понял, что старик намерен о чем то просить его. Он подошел ближе и увидал, что у старика была согнута только одна нога, а другой совсем не было выше колена. Другой сосед старика, неподвижно лежавший с закинутой головой, довольно далеко от него, был молодой солдат с восковой бледностью на курносом, покрытом еще веснушками, лице и с закаченными под веки глазами. Ростов поглядел на курносого солдата, и мороз пробежал по его спине.