Норма (математика)

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.





Определение

Норма вектора

Норма в векторном пространстве <math>V\ </math> над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал <math>p\colon V \to \mathbb{R}</math>, обладающий следующими свойствами:

  1. <math>p(x)=0 \Rightarrow x=0_V;</math>
  2. <math>\forall x,y \in V, p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)</math> (неравенство треугольника);
  3. <math>\forall \alpha \in \C, \forall x \in V, p(\alpha\, x)=|\alpha|p(x).</math>

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1—3) — также аксиомами нормированного пространства.

Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:

<math>\forall x \in V, p(x)\geqslant 0</math>.

Действительно, из третьего свойства следует: <math>p(0_V)=p(0\cdot0_V)=0\cdot p(0_V)=0</math>, а из свойства 2 — <math>\forall x\in V\colon 0=p(0_V)=p(x-x)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)</math>.

Чаще всего норму обозначают в виде: <math>\| \cdot \|</math>. В частности, <math>\| x\| </math> — это норма элемента <math>x</math> векторного пространства <math>\R</math>.

Вектор с единичной нормой <math>\left(\| x\|=1\right) </math> называется единичным или нормированным.

Любой ненулевой вектор <math>x</math> можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор <math>\frac{x}{\|x\|}</math> имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

Норма матрицы

Нормой матрицы <math>A</math> называется вещественное число <math>\|A\|</math>, удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

  1. <math>\|A\| \geqslant 0</math>, причём <math>\|A\| = 0</math> только при <math>A = 0\ </math>;
  2. <math>\|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|</math>, где <math>\alpha\in\R</math>;
  3. <math>\|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|</math>;
  4. <math>\|AB\| \leqslant \|A\| \cdot \|B\|</math>.

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.

Матричная норма <math>\| \cdot \|_{ab}</math> из <math>K^{m \times n}</math> называется согласованной с векторной нормой <math>\| \cdot \|_{a}</math> из <math>K^n</math> и векторной нормой <math>\| \cdot \|_{b}</math> из <math>K^m</math> если справедливо:

<math>

\|Ax\|_b \leqslant \|A\|_{ab} \|x\|_a </math> для всех <math>A \in K^{m \times n}, x \in K^n</math>.

Норма оператора

Норма оператора <math>A</math> — число, которое определяется так:

<math>\|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|</math>,
где <math>A</math> — оператор, действующий из нормированного пространства <math>L</math> в нормированное пространство <math>K</math>.

Это определение эквивалентно следующему:

<math>\|A\| = \sup_{x\ne 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}</math>
  • Свойства операторных норм:
  1. <math>\|A\| \geqslant 0</math>, причём <math>\|A\| = 0</math> только при <math>A = 0</math>;
  2. <math>\|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|</math>, где <math>\alpha\in\mathbb{R}</math>;
  3. <math>\|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|</math>;
  4. <math>\|AB\| \leqslant \|A\| \cdot \|B\|</math>.

В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

Свойства нормы

  1. <math> \bigl| \| x \| - \| y \| \bigr| \leqslant \| x \pm y \| \leqslant \| x\| + \| y \| </math>
  2. <math> {\bigl(\| x \| - \| y \|\bigr)}^2 \leqslant {\| x \pm y \|}^2 \leqslant {\bigr(\| x \| + \|y \|\bigl)}^2 </math>
  3. <math> \frac {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2}{2\|x\|\|y\|}\in [-1,1] </math> [косинус угла]
  4. <math> \|0_V\|=\|x-x\|=\|0x\|=0\cdot\|x\|=0 </math>
  5. <math> 0=\|x-x\|\leqslant\|x\|+\|-x\|=2\|x\| \Rightarrow \|x\|\geqslant0</math>

Эквивалентность норм

  • Две нормы <math>p</math> и <math>q</math> на пространстве <math>V</math> называются эквивалентными, если существует две положительные константы <math>C_1</math> и <math>C_2</math> такие, что для любого <math>x \in V</math> выполняется <math>C_1 p(x) \leqslant q(x) \leqslant C_2 p(x)</math>. Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Примеры

Линейные нормированные пространства

<math>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X.</math>
  • Гёльдеровы нормы <math>n</math>-мерных векторов (семейство): <math>\|x\|_p = {\left(\sum_{i} |x_i|^p\right)}^{\frac 1p}</math>,

где <math>p \geqslant 1 </math> (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:

  • <math>\|x\|_1 = \sum_{i} |x_{i}|</math>, что также имеет название метрика L1, норма <math>\ell_1</math> или манхэттенское расстояние. Для вектора представляет собой сумму модулей всех его элементов.
  • <math>\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i} |x_{i}|^2}</math>, что также имеет название метрика L2, норма <math>\ell_2</math> или евклидова норма. Является геометрическим расстоянием между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемым по теореме Пифагора.
  • <math>\|x\|_\infty = \max |x_{i}|</math> (это предельный случай <math>p \rightarrow \infty</math>).
  • Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив <math>|f(x)|\ </math> на <math>\|f(x)\|\ </math>, а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).

<math>\ell_0</math> «норма»

Особым случаем является <math>\ell_0</math> (L0-«норма»), определяемая как количество ненулевых элементов вектора. Строго говоря, это не является нормой, так как не выполняется третья аксиома нормы. В основном таким видом «нормы» пользуются в задачах разреженного кодирования, в частности в Compressive sensing, где нужно найти наиболее разреженное представление вектора (с наибольшим количеством нулей), то есть с наименьшей <math>\ell_0</math>-нормой. С помощью этой «нормы» может быть определенно расстояние Хэмминга.

Некоторые виды матричных норм

  • Порожденные нормы <math>\|A\|_{p} = \sup_{\|x\|_{p}=1} \|Ax\|_{p}</math>:
    • <math>p=1</math>: <math>m</math>-норма, <math>\|A\|_m = \max_j \sum_i |a_{ij}|</math>
    • <math>p=2</math> (евклидова норма) и <math>m=n</math> (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы <math>A</math> равна наибольшему сингулярному числу матрицы <math>A</math> или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы <math>A^\dagger A</math>: <math>\left \| A \right \| _2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^\dagger A)}</math>, где <math>A^\dagger</math> обозначает матрицу, сопряжённую к матрице <math>A</math>.
    • <math>p=\infty</math>: <math>l</math>-норма <math>\|A\|_l = \max_i \sum_j |a_{ij}|</math>
Здесь <math>A^\dagger</math> — сопряжённая к <math>A</math> матрица, <math>\mathrm{Tr}</math> — след матрицы.
  • Поэлементная <math>p</math>-норма (<math>p>0</math>): <math>\|A\|_p = \left( \sum_{i, j} |a_{ij}|^p \right)^{\frac 1p}</math>
    • Норма Фробениуса: <math>\|A\|_2 = \sqrt{\sum_{i, j} |a_{ij}|^2} = \sqrt{\mathrm{Tr}\, A^\dagger A}</math>.

Связанные понятия

Топология пространства и норма

Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида <math>B(x,r)=\{y\colon\|x-y\|<r\}</math>. Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

См. также


Напишите отзыв о статье "Норма (математика)"

Отрывок, характеризующий Норма (математика)

– Еще я хотел просить вас, – продолжал князь Андрей, – ежели меня убьют и ежели у меня будет сын, не отпускайте его от себя, как я вам вчера говорил, чтоб он вырос у вас… пожалуйста.
– Жене не отдавать? – сказал старик и засмеялся.
Они молча стояли друг против друга. Быстрые глаза старика прямо были устремлены в глаза сына. Что то дрогнуло в нижней части лица старого князя.
– Простились… ступай! – вдруг сказал он. – Ступай! – закричал он сердитым и громким голосом, отворяя дверь кабинета.
– Что такое, что? – спрашивали княгиня и княжна, увидев князя Андрея и на минуту высунувшуюся фигуру кричавшего сердитым голосом старика в белом халате, без парика и в стариковских очках.
Князь Андрей вздохнул и ничего не ответил.
– Ну, – сказал он, обратившись к жене.
И это «ну» звучало холодною насмешкой, как будто он говорил: «теперь проделывайте вы ваши штуки».
– Andre, deja! [Андрей, уже!] – сказала маленькая княгиня, бледнея и со страхом глядя на мужа.
Он обнял ее. Она вскрикнула и без чувств упала на его плечо.
Он осторожно отвел плечо, на котором она лежала, заглянул в ее лицо и бережно посадил ее на кресло.
– Adieu, Marieie, [Прощай, Маша,] – сказал он тихо сестре, поцеловался с нею рука в руку и скорыми шагами вышел из комнаты.
Княгиня лежала в кресле, m lle Бурьен терла ей виски. Княжна Марья, поддерживая невестку, с заплаканными прекрасными глазами, всё еще смотрела в дверь, в которую вышел князь Андрей, и крестила его. Из кабинета слышны были, как выстрелы, часто повторяемые сердитые звуки стариковского сморкания. Только что князь Андрей вышел, дверь кабинета быстро отворилась и выглянула строгая фигура старика в белом халате.
– Уехал? Ну и хорошо! – сказал он, сердито посмотрев на бесчувственную маленькую княгиню, укоризненно покачал головою и захлопнул дверь.



В октябре 1805 года русские войска занимали села и города эрцгерцогства Австрийского, и еще новые полки приходили из России и, отягощая постоем жителей, располагались у крепости Браунау. В Браунау была главная квартира главнокомандующего Кутузова.
11 го октября 1805 года один из только что пришедших к Браунау пехотных полков, ожидая смотра главнокомандующего, стоял в полумиле от города. Несмотря на нерусскую местность и обстановку (фруктовые сады, каменные ограды, черепичные крыши, горы, видневшиеся вдали), на нерусский народ, c любопытством смотревший на солдат, полк имел точно такой же вид, какой имел всякий русский полк, готовившийся к смотру где нибудь в середине России.
С вечера, на последнем переходе, был получен приказ, что главнокомандующий будет смотреть полк на походе. Хотя слова приказа и показались неясны полковому командиру, и возник вопрос, как разуметь слова приказа: в походной форме или нет? в совете батальонных командиров было решено представить полк в парадной форме на том основании, что всегда лучше перекланяться, чем не докланяться. И солдаты, после тридцативерстного перехода, не смыкали глаз, всю ночь чинились, чистились; адъютанты и ротные рассчитывали, отчисляли; и к утру полк, вместо растянутой беспорядочной толпы, какою он был накануне на последнем переходе, представлял стройную массу 2 000 людей, из которых каждый знал свое место, свое дело и из которых на каждом каждая пуговка и ремешок были на своем месте и блестели чистотой. Не только наружное было исправно, но ежели бы угодно было главнокомандующему заглянуть под мундиры, то на каждом он увидел бы одинаково чистую рубаху и в каждом ранце нашел бы узаконенное число вещей, «шильце и мыльце», как говорят солдаты. Было только одно обстоятельство, насчет которого никто не мог быть спокоен. Это была обувь. Больше чем у половины людей сапоги были разбиты. Но недостаток этот происходил не от вины полкового командира, так как, несмотря на неоднократные требования, ему не был отпущен товар от австрийского ведомства, а полк прошел тысячу верст.
Полковой командир был пожилой, сангвинический, с седеющими бровями и бакенбардами генерал, плотный и широкий больше от груди к спине, чем от одного плеча к другому. На нем был новый, с иголочки, со слежавшимися складками мундир и густые золотые эполеты, которые как будто не книзу, а кверху поднимали его тучные плечи. Полковой командир имел вид человека, счастливо совершающего одно из самых торжественных дел жизни. Он похаживал перед фронтом и, похаживая, подрагивал на каждом шагу, слегка изгибаясь спиною. Видно, было, что полковой командир любуется своим полком, счастлив им, что все его силы душевные заняты только полком; но, несмотря на то, его подрагивающая походка как будто говорила, что, кроме военных интересов, в душе его немалое место занимают и интересы общественного быта и женский пол.
– Ну, батюшка Михайло Митрич, – обратился он к одному батальонному командиру (батальонный командир улыбаясь подался вперед; видно было, что они были счастливы), – досталось на орехи нынче ночью. Однако, кажется, ничего, полк не из дурных… А?
Батальонный командир понял веселую иронию и засмеялся.
– И на Царицыном лугу с поля бы не прогнали.
– Что? – сказал командир.
В это время по дороге из города, по которой расставлены были махальные, показались два верховые. Это были адъютант и казак, ехавший сзади.
Адъютант был прислан из главного штаба подтвердить полковому командиру то, что было сказано неясно во вчерашнем приказе, а именно то, что главнокомандующий желал видеть полк совершенно в том положении, в котором oн шел – в шинелях, в чехлах и без всяких приготовлений.
К Кутузову накануне прибыл член гофкригсрата из Вены, с предложениями и требованиями итти как можно скорее на соединение с армией эрцгерцога Фердинанда и Мака, и Кутузов, не считая выгодным это соединение, в числе прочих доказательств в пользу своего мнения намеревался показать австрийскому генералу то печальное положение, в котором приходили войска из России. С этою целью он и хотел выехать навстречу полку, так что, чем хуже было бы положение полка, тем приятнее было бы это главнокомандующему. Хотя адъютант и не знал этих подробностей, однако он передал полковому командиру непременное требование главнокомандующего, чтобы люди были в шинелях и чехлах, и что в противном случае главнокомандующий будет недоволен. Выслушав эти слова, полковой командир опустил голову, молча вздернул плечами и сангвиническим жестом развел руки.
– Наделали дела! – проговорил он. – Вот я вам говорил же, Михайло Митрич, что на походе, так в шинелях, – обратился он с упреком к батальонному командиру. – Ах, мой Бог! – прибавил он и решительно выступил вперед. – Господа ротные командиры! – крикнул он голосом, привычным к команде. – Фельдфебелей!… Скоро ли пожалуют? – обратился он к приехавшему адъютанту с выражением почтительной учтивости, видимо относившейся к лицу, про которое он говорил.
– Через час, я думаю.
– Успеем переодеть?
– Не знаю, генерал…
Полковой командир, сам подойдя к рядам, распорядился переодеванием опять в шинели. Ротные командиры разбежались по ротам, фельдфебели засуетились (шинели были не совсем исправны) и в то же мгновение заколыхались, растянулись и говором загудели прежде правильные, молчаливые четвероугольники. Со всех сторон отбегали и подбегали солдаты, подкидывали сзади плечом, через голову перетаскивали ранцы, снимали шинели и, высоко поднимая руки, натягивали их в рукава.
Через полчаса всё опять пришло в прежний порядок, только четвероугольники сделались серыми из черных. Полковой командир, опять подрагивающею походкой, вышел вперед полка и издалека оглядел его.
– Это что еще? Это что! – прокричал он, останавливаясь. – Командира 3 й роты!..