Нормирование

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Норми́рование — отображение элементов поля <math>F</math> или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле <math>P</math> <math>x\mapsto ||x||</math>, обладающее следующими свойствами:

1) <math>||x|| \geqslant 0 </math> и <math>||x|| = 0 </math> только при <math> x = 0</math>
2) <math>||xy|| = ||x|| \cdot ||y|| </math>
3) <math> ||x+y|| \leqslant ||x||+||y|| </math>

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) <math> ||x+y|| \leqslant \max(||x||,||y||) </math>, то нормирование называется неархимедовым.

Значение <math>||x||</math> называется нормой элемента <math>x</math>. Если упорядоченное поле <math>P</math> является полем вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, то нормирование часто называют абсолютным значением.





Примеры нормирований

  • Нормирование, при котором <math>||0||=0</math>, <math>||x||=1</math> для остальных <math>x</math>. Такое нормирование называется тривиальным.
  • Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> и модуль в поле комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math> являются нормированием.
  • Пусть <math>\mathbb{Q}</math> — поле рациональных чисел, а <math>p</math> — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби <math>x=p^n\frac{a}{b}</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> не кратны <math>p</math>. Можно определить следующее нормирование <math>|x|_p=p^{-n}</math>. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Свойства нормы

  • <math> |1| = |-\!1| = 1 </math>
  • Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство <math> |\;|x|-|y|\;| \leqslant |x-y| </math> (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
  • Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число <math>A</math>, такое, что для любой суммы единичных элементов поля <math>F</math>:
3b) <math> || 1+1+...+1 || \leqslant A </math>

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов <math>x</math> и <math>y</math> из поля <math>F</math> имеем:

<math> |(x+y)^n|=|x^n+ \ldots +C_n^i\,x^{n-i}\,y^i+ \ldots +y^n| \leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^n </math>

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при <math>n \to \infty</math>, получаем условие 3a).К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 3865 дней] Обратное утверждение очевидно.К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 3865 дней]

Нормированное поле как метрическое пространство

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля <math>F</math> как норму разности <math> ||x-y|| </math>, мы превращеем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Если при этом они определяют одинаковую топологию в <math>F</math>, то такие нормы называются зависимыми.

Пополнение

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле <math>F</math> изоморфно вкладывается в полное нормированное поле <math>F^*</math>, то есть существует изоморфизм <math>i:F \rightarrow F^*</math>. Норма в <math>F^*</math> продолжает норму в <math>F</math>, то есть для каждого <math>x</math> из <math>F</math>: <math>||i(x)||_{F^*}=||x||</math>, причём <math>F</math> плотно в <math>F^*</math> относительно этой нормы. Любое такое поле <math>F^*</math> определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на <math>F</math>; оно называется пополнением поля <math>F</math>.

Пример. Пополнением поля рациональных чисел <math> \mathbb{Q} </math> с p-адической метрикой является поле p-адических чисел <math> \mathbb{Q}_p </math>.

Экспоненциальное нормирование

Пусть <math>v</math> — отображение из мультипликативной группы поля <math>K^*</math> в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1) <math>v(xy)=v(x)+v(y)</math>
2) <math>v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))</math>

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: <math>v(0)=\infty</math>. Групповая операция на <math>\infty</math> определена следующим образом: <math>a+\infty=\infty+a=\infty</math> для любого <math>a</math>, <math>\infty</math> упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд[1] и Ленг.[2] Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения <math>v</math> называют группой нормирования, а множество тех элементов <math>x</math> поля <math>K</math>, для которых <math>v(x)\geqslant 0</math> — кольцом нормирования (обозначение — <math>R_v</math>), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

Напишите отзыв о статье "Нормирование"

Примечания

  1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, с. 115.
  2. Ленг С. Алгебра, с. 337.

Литература

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

Отрывок, характеризующий Нормирование

Граф Орлов Денисов с казаками (самый незначительный отряд из всех других) один попал на свое место и в свое время. Отряд этот остановился у крайней опушки леса, на тропинке из деревни Стромиловой в Дмитровское.
Перед зарею задремавшего графа Орлова разбудили. Привели перебежчика из французского лагеря. Это был польский унтер офицер корпуса Понятовского. Унтер офицер этот по польски объяснил, что он перебежал потому, что его обидели по службе, что ему давно бы пора быть офицером, что он храбрее всех и потому бросил их и хочет их наказать. Он говорил, что Мюрат ночует в версте от них и что, ежели ему дадут сто человек конвою, он живьем возьмет его. Граф Орлов Денисов посоветовался с своими товарищами. Предложение было слишком лестно, чтобы отказаться. Все вызывались ехать, все советовали попытаться. После многих споров и соображений генерал майор Греков с двумя казачьими полками решился ехать с унтер офицером.
– Ну помни же, – сказал граф Орлов Денисов унтер офицеру, отпуская его, – в случае ты соврал, я тебя велю повесить, как собаку, а правда – сто червонцев.
Унтер офицер с решительным видом не отвечал на эти слова, сел верхом и поехал с быстро собравшимся Грековым. Они скрылись в лесу. Граф Орлов, пожимаясь от свежести начинавшего брезжить утра, взволнованный тем, что им затеяно на свою ответственность, проводив Грекова, вышел из леса и стал оглядывать неприятельский лагерь, видневшийся теперь обманчиво в свете начинавшегося утра и догоравших костров. Справа от графа Орлова Денисова, по открытому склону, должны были показаться наши колонны. Граф Орлов глядел туда; но несмотря на то, что издалека они были бы заметны, колонн этих не было видно. Во французском лагере, как показалось графу Орлову Денисову, и в особенности по словам его очень зоркого адъютанта, начинали шевелиться.
– Ах, право, поздно, – сказал граф Орлов, поглядев на лагерь. Ему вдруг, как это часто бывает, после того как человека, которому мы поверим, нет больше перед глазами, ему вдруг совершенно ясно и очевидно стало, что унтер офицер этот обманщик, что он наврал и только испортит все дело атаки отсутствием этих двух полков, которых он заведет бог знает куда. Можно ли из такой массы войск выхватить главнокомандующего?
– Право, он врет, этот шельма, – сказал граф.
– Можно воротить, – сказал один из свиты, который почувствовал так же, как и граф Орлов Денисов, недоверие к предприятию, когда посмотрел на лагерь.
– А? Право?.. как вы думаете, или оставить? Или нет?
– Прикажете воротить?
– Воротить, воротить! – вдруг решительно сказал граф Орлов, глядя на часы, – поздно будет, совсем светло.
И адъютант поскакал лесом за Грековым. Когда Греков вернулся, граф Орлов Денисов, взволнованный и этой отмененной попыткой, и тщетным ожиданием пехотных колонн, которые все не показывались, и близостью неприятеля (все люди его отряда испытывали то же), решил наступать.
Шепотом прокомандовал он: «Садись!» Распределились, перекрестились…
– С богом!
«Урааааа!» – зашумело по лесу, и, одна сотня за другой, как из мешка высыпаясь, полетели весело казаки с своими дротиками наперевес, через ручей к лагерю.
Один отчаянный, испуганный крик первого увидавшего казаков француза – и все, что было в лагере, неодетое, спросонков бросило пушки, ружья, лошадей и побежало куда попало.
Ежели бы казаки преследовали французов, не обращая внимания на то, что было позади и вокруг них, они взяли бы и Мюрата, и все, что тут было. Начальники и хотели этого. Но нельзя было сдвинуть с места казаков, когда они добрались до добычи и пленных. Команды никто не слушал. Взято было тут же тысяча пятьсот человек пленных, тридцать восемь орудий, знамена и, что важнее всего для казаков, лошади, седла, одеяла и различные предметы. Со всем этим надо было обойтись, прибрать к рукам пленных, пушки, поделить добычу, покричать, даже подраться между собой: всем этим занялись казаки.
Французы, не преследуемые более, стали понемногу опоминаться, собрались командами и принялись стрелять. Орлов Денисов ожидал все колонны и не наступал дальше.
Между тем по диспозиции: «die erste Colonne marschiert» [первая колонна идет (нем.) ] и т. д., пехотные войска опоздавших колонн, которыми командовал Бенигсен и управлял Толь, выступили как следует и, как всегда бывает, пришли куда то, но только не туда, куда им было назначено. Как и всегда бывает, люди, вышедшие весело, стали останавливаться; послышалось неудовольствие, сознание путаницы, двинулись куда то назад. Проскакавшие адъютанты и генералы кричали, сердились, ссорились, говорили, что совсем не туда и опоздали, кого то бранили и т. д., и наконец, все махнули рукой и пошли только с тем, чтобы идти куда нибудь. «Куда нибудь да придем!» И действительно, пришли, но не туда, а некоторые туда, но опоздали так, что пришли без всякой пользы, только для того, чтобы в них стреляли. Толь, который в этом сражении играл роль Вейротера в Аустерлицком, старательно скакал из места в место и везде находил все навыворот. Так он наскакал на корпус Багговута в лесу, когда уже было совсем светло, а корпус этот давно уже должен был быть там, с Орловым Денисовым. Взволнованный, огорченный неудачей и полагая, что кто нибудь виноват в этом, Толь подскакал к корпусному командиру и строго стал упрекать его, говоря, что за это расстрелять следует. Багговут, старый, боевой, спокойный генерал, тоже измученный всеми остановками, путаницами, противоречиями, к удивлению всех, совершенно противно своему характеру, пришел в бешенство и наговорил неприятных вещей Толю.