Нормированное пространство

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Нормированным векторным пространством называется векторное пространство с заданной на нем нормой.

Более точно, для векторного пространства <math>X</math> задано отображение из <math>X</math> в <math>\mathbb R,</math> такое что выполняются следующие свойства:

1. <math> \| x \| \geqslant 0, \; \| x \| = 0 \Rightarrow x = 0 </math> (норма только нулевого вектора равна нулю.)

2. <math> \| \lambda x \| = | \lambda | \cdot \| x \| </math> (норма произведения вектора на скаляр равна произведению модуля скаляра и нормы вектора.)

3. <math> \| x + y \| \leqslant \| x \| + \| y \| </math> (неравенство треугольника: Норма суммы векторов не превосходит суммы их норм.)

Как можно понять из определения, норма является естественным обобщением понятия длины вектора в евклидовом пространстве.





Определение

Полунормированным векторным пространством называется пара <math>\left(V,p\right)</math>, где <math>V</math> — векторное пространство, а <math>p</math> — полунорма в <math>V</math>.

Нормированным векторным пространством называется пара <math>\left(V,\left\Vert\cdot\right\Vert\right)</math>, где <math>V</math> — векторное пространство, а <math>\left\Vert\cdot\right\Vert</math> — норма в <math>V</math>.

Часто обозначение <math>p</math> и <math>\left\Vert\cdot\right\Vert</math> опускают и пишут просто <math>V</math>, если из контекста ясно, какая норма или полунорма имеется в виду.

Метрика нормированного пространства и связь с нормой

В нормированном пространстве <math>d(x,y) = \| x - y \| </math> определяет метрику.
Свойства метрики и связь с нормой в нормированном пространстве:

1. если <math>d(x,y) = 0, </math> то есть <math> \| x - y \| = 0, </math> то <math> x = y </math>

2. <math>d(x,y) = \| x - y \| = \| y - x \| = d(y,x)</math>

3. <math>d(x,y) = \| x - y \| = \| ( x - z ) + ( z - y ) \| \leqslant \| x - z \| + \| z - y \| = d(x,z) + d(z,y)</math>

(это обычные свойства нормы и метрики и их связь в нормированных пространствах.)
Метрика в нормированных пространствах обладает двумя дополнительными свойствами:

4. <math>d(x,y) = d(x + z,y + z) </math> (инвариантность относительно сдвига)

5. <math>d(\lambda x,\lambda y) = | \lambda | \cdot d(x,y) </math> (положительная однородность)

Топологическая структура

Для любого полунормированного векторного пространства мы можем задать расстояние между двумя векторами <math>\mathbf{u}</math> и <math>\mathbf{v}</math> как <math>\left\Vert\mathbf{u}-\mathbf{v}\right\Vert</math>. Такое полунормированное пространство с определённым таким образом расстоянием называется полунормированным метрическим пространством, в котором мы можем определить такие понятия как непрерывность и сходимость. Более абстрактно, любое полунормированное векторное пространство является топологическим векторным пространством и, таким образом, несёт топологическую структуру, порождённую полунормой.

Особый интерес представляют полные нормированные пространства, называемые банаховыми пространствами. Любое нормированное векторное пространство <math>V</math> находится как плотное подпространство внутри банахова пространства, а это банахово пространство однозначно определяется пространством <math>V</math> и называется пополнением пространства <math>V</math>.

Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны с топологической точки зрения, так как они порождают одну и ту же топологию. А так как любое евклидово пространство полно, мы можем сделать вывод, что все конечномерные векторные пространства являются банаховыми пространствами. Нормированное векторное пространство <math>V</math> конечномерно тогда и только тогда, когда единичный шар <math>B =\{x\colon\left\Vert x \right\Vert \leqslant 1\}</math> компактен, что может быть тогда и только тогда, когда <math>V</math> локально-компактно.

Топология полунормированного вектора обладает несколькими интересными свойствами. Взяв окрестностную систему <math>\mathcal{N}\left(0\right)</math> около <math>0</math>, мы можем построить все остальные окрестностные системы как

<math>\mathcal{N}\left(x\right)=x+\mathcal{N}\left(0\right) := \left\{x+N\mid N \in \mathcal{N}\left(0\right)\right\}</math>

с помощью

<math>x+N:=\left\{ x + n \bar n \in N\right\}.</math>

Более того, существует базис окрестностей для <math>0</math>, состоящий из поглощающих и выпуклых множеств. Так как это свойство очень полезно в функциональном анализе, обобщения нормированных векторных пространств с этим свойством изучаются как локально-выпуклые пространства.

Линейные отображения и двойственные пространства

Наиболее важными отображениями между двумя нормированными векторными пространствами являются непрерывные линейные отображения. Нормированные векторные пространства с такими отображениями образуют категорию.

Норма — это непрерывная функция в своём векторном пространстве. Все линейные отображения между конечномерными векторными пространствами также непрерывны.

Изометрией между двумя нормированными векторными пространствами называется линейное отображение <math>f</math>, сохраняющее норму (то есть <math>\left\Vert f\left(\mathbf{v}\right) \right\Vert = \left\Vert\mathbf{v}\right\Vert</math> для всех векторов <math>\mathbf{v}</math>). Изометрии всегда непрерывны и инъективны. Сюръективная изометрия между нормированными векторными пространствами <math>V</math> и <math>W</math> называется изометрическим изоморфизмом. Изометрически изоморфные нормированные векторные пространства можно считать равноправными для практически любых целей.

Говоря о нормированных векторных пространствах, мы должны упомянуть двойственные пространства. Двойственное пространство <math>V'</math> нормированного векторного пространства <math>V</math> — это пространство всех непрерывных линейных отображений из <math>V</math> на основное поле (поле комплексных или действительных чисел), а такие линейные отображения называются функционалами. Норма функционала <math>\varphi</math> определяется как

<math>\left\Vert\varphi\right\Vert = \sup \left\vert\varphi\left(\mathbf{v}\right)\right\vert \qquad \forall \mathbf{v} : \left\Vert\mathbf{v}\right\Vert = 1.</math>

Введение такой нормы превращает <math>V'</math> в нормированное векторное пространство. Важной теоремой о непрерывных линейных функционалах в нормированных векторных пространствах является теорема Хана — Банаха.

Нормированные пространства как фактор-пространства полунормированных пространств

Определения многих нормированных пространств (например, банахова пространства) включают в себя полунорму, определённую в векторном пространстве, а затем нормированное пространство определяется как факторпространство с помощью подпространства элементов, чья полунорма равна нулю. Например, в случае пространств Lp, функция, определяемая как

<math>\left\Vert f \right\Vert_p = \left(\int\left\vert f\left(x\right)\right\vert^p\; dx\right)^{\frac{1}{p}},</math>

является полунормой в векторном пространстве всех функций, интеграл Лебега от которых (справа) определён и конечен. Однако полунорма равна нулю для всех функций, носитель которых имеет нулевую меру Лебега. Эти функции образуют подпространство, которое мы «вычёркиваем», делая их эквивалентными нулевой функции.

Конечные произведения пространств

Для данных <math>n</math> полунормированных пространств <math>X_i</math> с полунормами <math>p_i</math> мы можем определить произведение пространств как

<math>x \stackrel{\mathrm{def}}{=} \prod_{i=1}^n x_i </math>

с векторным сложением, определённым как

<math>\left(x_1, \ldots, x_n\right) + \left(y_1, \ldots, y_n\right) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \left(x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n\right),</math>

и скалярным умножением, определённым как

<math>\alpha\left(x_1,\ldots,x_n\right) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \left(\alpha x_1, \ldots, \alpha x_n\right).</math>

Определим новую функцию <math>p</math>

<math>p : X \mapsto \mathbb{R}</math>

как

<math>p : \left(x_1, \ldots, x_n\right) \to \sum^{n}_{i=1} p_i\left(x_i\right),</math>

которая будет полунормой в <math>X</math>. Функция <math>p</math> будет нормой тогда и только тогда, когда все <math>p_i</math> являются нормами.

См. также


Напишите отзыв о статье "Нормированное пространство"

Отрывок, характеризующий Нормированное пространство

«Что я сказала, что я сделала!» подумала она, как только вышла из комнаты.
Долго ждали в этот день Наташу к обеду. Она сидела в своей комнате и рыдала, как ребенок, сморкаясь и всхлипывая. Соня стояла над ней и целовала ее в волосы.
– Наташа, об чем ты? – говорила она. – Что тебе за дело до них? Всё пройдет, Наташа.
– Нет, ежели бы ты знала, как это обидно… точно я…
– Не говори, Наташа, ведь ты не виновата, так что тебе за дело? Поцелуй меня, – сказала Соня.
Наташа подняла голову, и в губы поцеловав свою подругу, прижала к ней свое мокрое лицо.
– Я не могу сказать, я не знаю. Никто не виноват, – говорила Наташа, – я виновата. Но всё это больно ужасно. Ах, что он не едет!…
Она с красными глазами вышла к обеду. Марья Дмитриевна, знавшая о том, как князь принял Ростовых, сделала вид, что она не замечает расстроенного лица Наташи и твердо и громко шутила за столом с графом и другими гостями.


В этот вечер Ростовы поехали в оперу, на которую Марья Дмитриевна достала билет.
Наташе не хотелось ехать, но нельзя было отказаться от ласковости Марьи Дмитриевны, исключительно для нее предназначенной. Когда она, одетая, вышла в залу, дожидаясь отца и поглядевшись в большое зеркало, увидала, что она хороша, очень хороша, ей еще более стало грустно; но грустно сладостно и любовно.
«Боже мой, ежели бы он был тут; тогда бы я не так как прежде, с какой то глупой робостью перед чем то, а по новому, просто, обняла бы его, прижалась бы к нему, заставила бы его смотреть на меня теми искательными, любопытными глазами, которыми он так часто смотрел на меня и потом заставила бы его смеяться, как он смеялся тогда, и глаза его – как я вижу эти глаза! думала Наташа. – И что мне за дело до его отца и сестры: я люблю его одного, его, его, с этим лицом и глазами, с его улыбкой, мужской и вместе детской… Нет, лучше не думать о нем, не думать, забыть, совсем забыть на это время. Я не вынесу этого ожидания, я сейчас зарыдаю», – и она отошла от зеркала, делая над собой усилия, чтоб не заплакать. – «И как может Соня так ровно, так спокойно любить Николиньку, и ждать так долго и терпеливо»! подумала она, глядя на входившую, тоже одетую, с веером в руках Соню.
«Нет, она совсем другая. Я не могу»!
Наташа чувствовала себя в эту минуту такой размягченной и разнеженной, что ей мало было любить и знать, что она любима: ей нужно теперь, сейчас нужно было обнять любимого человека и говорить и слышать от него слова любви, которыми было полно ее сердце. Пока она ехала в карете, сидя рядом с отцом, и задумчиво глядела на мелькавшие в мерзлом окне огни фонарей, она чувствовала себя еще влюбленнее и грустнее и забыла с кем и куда она едет. Попав в вереницу карет, медленно визжа колесами по снегу карета Ростовых подъехала к театру. Поспешно выскочили Наташа и Соня, подбирая платья; вышел граф, поддерживаемый лакеями, и между входившими дамами и мужчинами и продающими афиши, все трое пошли в коридор бенуара. Из за притворенных дверей уже слышались звуки музыки.
– Nathalie, vos cheveux, [Натали, твои волосы,] – прошептала Соня. Капельдинер учтиво и поспешно проскользнул перед дамами и отворил дверь ложи. Музыка ярче стала слышна в дверь, блеснули освещенные ряды лож с обнаженными плечами и руками дам, и шумящий и блестящий мундирами партер. Дама, входившая в соседний бенуар, оглянула Наташу женским, завистливым взглядом. Занавесь еще не поднималась и играли увертюру. Наташа, оправляя платье, прошла вместе с Соней и села, оглядывая освещенные ряды противуположных лож. Давно не испытанное ею ощущение того, что сотни глаз смотрят на ее обнаженные руки и шею, вдруг и приятно и неприятно охватило ее, вызывая целый рой соответствующих этому ощущению воспоминаний, желаний и волнений.
Две замечательно хорошенькие девушки, Наташа и Соня, с графом Ильей Андреичем, которого давно не видно было в Москве, обратили на себя общее внимание. Кроме того все знали смутно про сговор Наташи с князем Андреем, знали, что с тех пор Ростовы жили в деревне, и с любопытством смотрели на невесту одного из лучших женихов России.
Наташа похорошела в деревне, как все ей говорили, а в этот вечер, благодаря своему взволнованному состоянию, была особенно хороша. Она поражала полнотой жизни и красоты, в соединении с равнодушием ко всему окружающему. Ее черные глаза смотрели на толпу, никого не отыскивая, а тонкая, обнаженная выше локтя рука, облокоченная на бархатную рампу, очевидно бессознательно, в такт увертюры, сжималась и разжималась, комкая афишу.
– Посмотри, вот Аленина – говорила Соня, – с матерью кажется!
– Батюшки! Михаил Кирилыч то еще потолстел, – говорил старый граф.
– Смотрите! Анна Михайловна наша в токе какой!
– Карагины, Жюли и Борис с ними. Сейчас видно жениха с невестой. – Друбецкой сделал предложение!
– Как же, нынче узнал, – сказал Шиншин, входивший в ложу Ростовых.
Наташа посмотрела по тому направлению, по которому смотрел отец, и увидала, Жюли, которая с жемчугами на толстой красной шее (Наташа знала, обсыпанной пудрой) сидела с счастливым видом, рядом с матерью.
Позади их с улыбкой, наклоненная ухом ко рту Жюли, виднелась гладко причесанная, красивая голова Бориса. Он исподлобья смотрел на Ростовых и улыбаясь говорил что то своей невесте.
«Они говорят про нас, про меня с ним!» подумала Наташа. «И он верно успокоивает ревность ко мне своей невесты: напрасно беспокоятся! Ежели бы они знали, как мне ни до кого из них нет дела».
Сзади сидела в зеленой токе, с преданным воле Божией и счастливым, праздничным лицом, Анна Михайловна. В ложе их стояла та атмосфера – жениха с невестой, которую так знала и любила Наташа. Она отвернулась и вдруг всё, что было унизительного в ее утреннем посещении, вспомнилось ей.
«Какое право он имеет не хотеть принять меня в свое родство? Ах лучше не думать об этом, не думать до его приезда!» сказала она себе и стала оглядывать знакомые и незнакомые лица в партере. Впереди партера, в самой середине, облокотившись спиной к рампе, стоял Долохов с огромной, кверху зачесанной копной курчавых волос, в персидском костюме. Он стоял на самом виду театра, зная, что он обращает на себя внимание всей залы, так же свободно, как будто он стоял в своей комнате. Около него столпившись стояла самая блестящая молодежь Москвы, и он видимо первенствовал между ними.
Граф Илья Андреич, смеясь, подтолкнул краснеющую Соню, указывая ей на прежнего обожателя.
– Узнала? – спросил он. – И откуда он взялся, – обратился граф к Шиншину, – ведь он пропадал куда то?
– Пропадал, – отвечал Шиншин. – На Кавказе был, а там бежал, и, говорят, у какого то владетельного князя был министром в Персии, убил там брата шахова: ну с ума все и сходят московские барыни! Dolochoff le Persan, [Персианин Долохов,] да и кончено. У нас теперь нет слова без Долохова: им клянутся, на него зовут как на стерлядь, – говорил Шиншин. – Долохов, да Курагин Анатоль – всех у нас барынь с ума свели.
В соседний бенуар вошла высокая, красивая дама с огромной косой и очень оголенными, белыми, полными плечами и шеей, на которой была двойная нитка больших жемчугов, и долго усаживалась, шумя своим толстым шелковым платьем.
Наташа невольно вглядывалась в эту шею, плечи, жемчуги, прическу и любовалась красотой плеч и жемчугов. В то время как Наташа уже второй раз вглядывалась в нее, дама оглянулась и, встретившись глазами с графом Ильей Андреичем, кивнула ему головой и улыбнулась. Это была графиня Безухова, жена Пьера. Илья Андреич, знавший всех на свете, перегнувшись, заговорил с ней.
– Давно пожаловали, графиня? – заговорил он. – Приду, приду, ручку поцелую. А я вот приехал по делам и девочек своих с собой привез. Бесподобно, говорят, Семенова играет, – говорил Илья Андреич. – Граф Петр Кириллович нас никогда не забывал. Он здесь?
– Да, он хотел зайти, – сказала Элен и внимательно посмотрела на Наташу.
Граф Илья Андреич опять сел на свое место.
– Ведь хороша? – шопотом сказал он Наташе.