Ряд подгрупп

В математике ряд подгрупп — это цепь подгрупп вида <math>\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G_n=G</math>. Ряды подгрупп могут упростить изучение группы <math>\displaystyle G</math> сводя его к изучению подгрупп этой группы и к изучению взаимосвязей между ними. Ряды подгрупп могут формировать важные инварианты заданной группы <math>\displaystyle G</math>.

Определение

Нормальный ряд, субнормальный ряд

Субнормальный ряд (называемый также субнормальной башней, субинвариантным рядом, субнормальной матрёшкой или просто рядом) группы <math>\displaystyle G</math> — это последовательность подгрупп

<math>\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G_n=G,</math>

каждая из которых есть нормальная подгруппа в большей подгруппе, следующей непосредственно за ней, то есть <math>\displaystyle G_i\triangleleft G_{i+1}</math>. Если, кроме того, каждая из подгрупп <math>G_{i}</math> нормальна в группе <math>\displaystyle G</math>, то ряд называется нормальным.

Факторгруппы <math>G_{i+1}/G_i</math> называются факторгруппами ряда.

Длина ряда

Ряд с дополнительным свойством <math>\displaystyle G_i\neq G_{i+1}</math> для всех <math>\displaystyle i</math> называется рядом без повторов. Длина ряда — это число собственных включений <math>\displaystyle G_i\varsubsetneq G_{i+1}</math>. Если ряд не имеет повторов, то его длина равна <math>\displaystyle n</math>.

Для субнормального ряда, его длина — это число нетривиальных факторгрупп ряда. Каждая нетривиальная группа имеет субнормальный ряд длины 1, а именно ряд <math>\{1\}=G_0\varsubsetneq G_1=G</math>. Каждая собственная нормальная подгруппа определяет субнормальный ряд длины 2. Для простых групп тривиальный ряд длины 1 является единственным возможным субнормальным рядом.

Восходящие и нисходящие ряды

Ряды подгрупп могут быть записаны в восходящем порядке

<math>\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G_n=G,</math>

либо в нисходящем порядке

<math>G=G_0\supseteq G_1\cdots\supseteq G_n=\{1\}.</math>

Для конечного ряда нет разницы в какой форме он записан — как восходящий или как нисходящий ряд. Однако для бесконечного ряда уже есть различие: восходящий ряд <math>\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G,</math> имеет наименьший элемент, непосредственно следующий за ним элемент, затем следующий, и так далее, но может не иметь максимального элемента, отличного от <math>\displaystyle G</math>. Нисходящий ряд <math>G=G_0\supseteq G_1\supseteq\cdots\supseteq \{1\}</math>, наоборот, имеет наибольший элемент, но может не иметь наименьшего элемента, отличного от <math>\displaystyle \{1\}</math>.

Нётеровы и артиновы группы

Группа, которая удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей, называется нётеровой. Это условие означает, что для такой группы не существует бесконечной цепочки подгрупп, возрастающей относительно отношения включения. Соответственно, группа, удовлетворяющая условию обрыва убывающих цепей, называется артиновой; эта терминология аналогична выделению артиновых и нётеровых колец.

Группа может быть нётеровой и не быть артиновой, пример — аддитивная группа целых чисел. В отличие от колец, группа может быть артиновой и не быть нётеровой, пример — группа Прюфера.

Факторгруппы и подгруппы нётеровых групп являются нётеровыми. Более того, расширение нётеровой группы при помощи нётеровой группы является нётеровой группой (это значит, что если данная группа имеет нётерову нормальную подгруппу, факторгруппа по которой нётерова, то и сама эта группа нётерова). Для артиновых групп верны аналогичные утверждения.

Условие нётеровости группы эквивалентно также условию, что любая подгруппа данной группы является конечнопорождённой.

Бесконечные и трансфинитные ряды

Бесконечные ряды подгрупп определяются естественным образом: в этом случае нужно зафиксировать некоторое бесконечное линейно упорядоченное индексное множество. Восходящий ряд <math>\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G</math>, для которого индексное множество — множество натуральных чисел, часто называют просто бесконечным восходящим рядом. Если подгруппы ряда занумерованы порядковыми числами, то получается трансфинитный ряд, например, ряд

<math>\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G_\omega\subseteq G_{\omega+1}=G.</math>

Если задана рекурсивная формула для элементов ряда, то можно определять трансфинитный ряд при помощи трансфинитной рекурсии. При этом на предельных порядковых числах элементы восходящего трансфинитного ряда задаются формулой

<math>G_\lambda= \bigcup_{\alpha < \lambda} G_\alpha,</math>

а элементы нисходящего трансфинитного ряда — формулой

<math>G_\lambda= \bigcap_{\alpha < \lambda} G_\alpha.</math>

Другие линейно упорядоченные множества редко возникают в качестве индексирующих множеств в рядах подгрупп. Например, можно рассмотреть двусторонне-бесконечный ряд подгрупп, индексированный целыми числами:

<math>\{1\}\subseteq\cdots\subseteq G_{-1}\subseteq G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G.</math>

Сравнение рядов

Уплотнение ряда подгрупп — это другой ряд подгрупп, содержащий каждый элемент первоначального ряда. Понятие уплотнения задаёт частичный порядок на множестве рядов подгрупп заданной группы, ряды подгрупп образуют решётку по отношению к такому упорядочению, а субнормальные и нормальные ряды образуют подрешётки этой решётки. Особый интерес представляют в определённом смысле максимальные ряды без повторов.

Два субнормальных ряда называются эквивалентными или изоморфными, если есть биективное отображение, связывающее множества их факторгрупп, такое, что соответствующие факторгруппы изоморфны.

Максимальные ряды

Композиционный ряд — это максимальный субнормальный ряд.

В классе конечных субнормальных рядов максимальность означает, что каждая факторгруппа <math>\displaystyle G_{i+1}/G_i</math> простая, то есть конечный композиционный ряд — это конечный субнормальный ряд с простыми факторгруппами <math>\displaystyle G_{i+1}/G_i</math>.

В классе восходящих трансфинитных субнормальных рядов максимальность связана с понятием трансфинитной сверхпростоты^{[неавторитетный источник?]} (hypertranssimplicity).

Группа <math>\displaystyle G</math> называется трансфинитно сверхпростой, если она не имеет восходящих субнормальных рядов без повторов (конечных либо трансфинитных), отличных от тривиального ряда <math>\{1\}=G_0\varsubsetneq G_1=G</math>.

Восходящий трансфинитный субнормальный ряд является композиционным рядом, если все его факторгруппы <math>\displaystyle G_{i+1}/G_i</math> трансфинитно сверхпросты.

Открытые проблемы

1. Всякая трансфинитно сверхпростая группа является простой. То есть класс трансфинитно сверхпростых групп составляет подкласс в классе простых групп. Остается открытым вопрос о совпадении или несовпадении этих классов. Требуется построить пример простой группы, которая не является трансфинитно сверхпростой, либо доказать, что таких групп не существует.

Отрывок, характеризующий Ряд подгрупп

Ростов слез с лошади и, передав ее вестовому, пошел с Алпатычем к дому, расспрашивая его о подробностях дела. Действительно, вчерашнее предложение княжны мужикам хлеба, ее объяснение с Дроном и с сходкою так испортили дело, что Дрон окончательно сдал ключи, присоединился к мужикам и не являлся по требованию Алпатыча и что поутру, когда княжна велела закладывать, чтобы ехать, мужики вышли большой толпой к амбару и выслали сказать, что они не выпустят княжны из деревни, что есть приказ, чтобы не вывозиться, и они выпрягут лошадей. Алпатыч выходил к ним, усовещивая их, но ему отвечали (больше всех говорил Карп; Дрон не показывался из толпы), что княжну нельзя выпустить, что на то приказ есть; а что пускай княжна остается, и они по старому будут служить ей и во всем повиноваться.
В ту минуту, когда Ростов и Ильин проскакали по дороге, княжна Марья, несмотря на отговариванье Алпатыча, няни и девушек, велела закладывать и хотела ехать; но, увидав проскакавших кавалеристов, их приняли за французов, кучера разбежались, и в доме поднялся плач женщин.
– Батюшка! отец родной! бог тебя послал, – говорили умиленные голоса, в то время как Ростов проходил через переднюю.
Княжна Марья, потерянная и бессильная, сидела в зале, в то время как к ней ввели Ростова. Она не понимала, кто он, и зачем он, и что с нею будет. Увидав его русское лицо и по входу его и первым сказанным словам признав его за человека своего круга, она взглянула на него своим глубоким и лучистым взглядом и начала говорить обрывавшимся и дрожавшим от волнения голосом. Ростову тотчас же представилось что то романическое в этой встрече. «Беззащитная, убитая горем девушка, одна, оставленная на произвол грубых, бунтующих мужиков! И какая то странная судьба натолкнула меня сюда! – думал Ростов, слушяя ее и глядя на нее. – И какая кротость, благородство в ее чертах и в выражении! – думал он, слушая ее робкий рассказ.
Когда она заговорила о том, что все это случилось на другой день после похорон отца, ее голос задрожал. Она отвернулась и потом, как бы боясь, чтобы Ростов не принял ее слова за желание разжалобить его, вопросительно испуганно взглянула на него. У Ростова слезы стояли в глазах. Княжна Марья заметила это и благодарно посмотрела на Ростова тем своим лучистым взглядом, который заставлял забывать некрасивость ее лица.
– Не могу выразить, княжна, как я счастлив тем, что я случайно заехал сюда и буду в состоянии показать вам свою готовность, – сказал Ростов, вставая. – Извольте ехать, и я отвечаю вам своей честью, что ни один человек не посмеет сделать вам неприятность, ежели вы мне только позволите конвоировать вас, – и, почтительно поклонившись, как кланяются дамам царской крови, он направился к двери.
Почтительностью своего тона Ростов как будто показывал, что, несмотря на то, что он за счастье бы счел свое знакомство с нею, он не хотел пользоваться случаем ее несчастия для сближения с нею.
Княжна Марья поняла и оценила этот тон.
– Я очень, очень благодарна вам, – сказала ему княжна по французски, – но надеюсь, что все это было только недоразуменье и что никто не виноват в том. – Княжна вдруг заплакала. – Извините меня, – сказала она.
Ростов, нахмурившись, еще раз низко поклонился и вышел из комнаты.


– Ну что, мила? Нет, брат, розовая моя прелесть, и Дуняшей зовут… – Но, взглянув на лицо Ростова, Ильин замолк. Он видел, что его герой и командир находился совсем в другом строе мыслей.
Ростов злобно оглянулся на Ильина и, не отвечая ему, быстрыми шагами направился к деревне.
– Я им покажу, я им задам, разбойникам! – говорил он про себя.
Алпатыч плывущим шагом, чтобы только не бежать, рысью едва догнал Ростова.
– Какое решение изволили принять? – сказал он, догнав его.
Ростов остановился и, сжав кулаки, вдруг грозно подвинулся на Алпатыча.
– Решенье? Какое решенье? Старый хрыч! – крикнул он на него. – Ты чего смотрел? А? Мужики бунтуют, а ты не умеешь справиться? Ты сам изменник. Знаю я вас, шкуру спущу со всех… – И, как будто боясь растратить понапрасну запас своей горячности, он оставил Алпатыча и быстро пошел вперед. Алпатыч, подавив чувство оскорбления, плывущим шагом поспевал за Ростовым и продолжал сообщать ему свои соображения. Он говорил, что мужики находились в закоснелости, что в настоящую минуту было неблагоразумно противуборствовать им, не имея военной команды, что не лучше ли бы было послать прежде за командой.
– Я им дам воинскую команду… Я их попротивоборствую, – бессмысленно приговаривал Николай, задыхаясь от неразумной животной злобы и потребности излить эту злобу. Не соображая того, что будет делать, бессознательно, быстрым, решительным шагом он подвигался к толпе. И чем ближе он подвигался к ней, тем больше чувствовал Алпатыч, что неблагоразумный поступок его может произвести хорошие результаты. То же чувствовали и мужики толпы, глядя на его быструю и твердую походку и решительное, нахмуренное лицо.
После того как гусары въехали в деревню и Ростов прошел к княжне, в толпе произошло замешательство и раздор. Некоторые мужики стали говорить, что эти приехавшие были русские и как бы они не обиделись тем, что не выпускают барышню. Дрон был того же мнения; но как только он выразил его, так Карп и другие мужики напали на бывшего старосту.
– Ты мир то поедом ел сколько годов? – кричал на него Карп. – Тебе все одно! Ты кубышку выроешь, увезешь, тебе что, разори наши дома али нет?
– Сказано, порядок чтоб был, не езди никто из домов, чтобы ни синь пороха не вывозить, – вот она и вся! – кричал другой.
– Очередь на твоего сына была, а ты небось гладуха своего пожалел, – вдруг быстро заговорил маленький старичок, нападая на Дрона, – а моего Ваньку забрил. Эх, умирать будем!
– То то умирать будем!
– Я от миру не отказчик, – говорил Дрон.
– То то не отказчик, брюхо отрастил!..
Два длинные мужика говорили свое. Как только Ростов, сопутствуемый Ильиным, Лаврушкой и Алпатычем, подошел к толпе, Карп, заложив пальцы за кушак, слегка улыбаясь, вышел вперед. Дрон, напротив, зашел в задние ряды, и толпа сдвинулась плотнее.
– Эй! кто у вас староста тут? – крикнул Ростов, быстрым шагом подойдя к толпе.
– Староста то? На что вам?.. – спросил Карп. Но не успел он договорить, как шапка слетела с него и голова мотнулась набок от сильного удара.
– Шапки долой, изменники! – крикнул полнокровный голос Ростова. – Где староста? – неистовым голосом кричал он.