Нётерово пространство
Поделись знанием:
Когда Анна Михайловна вернулась опять от Безухого, у графини лежали уже деньги, всё новенькими бумажками, под платком на столике, и Анна Михайловна заметила, что графиня чем то растревожена.
– Ну, что, мой друг? – спросила графиня.
– Ах, в каком он ужасном положении! Его узнать нельзя, он так плох, так плох; я минутку побыла и двух слов не сказала…
– Annette, ради Бога, не откажи мне, – сказала вдруг графиня, краснея, что так странно было при ее немолодом, худом и важном лице, доставая из под платка деньги.
Анна Михайловна мгновенно поняла, в чем дело, и уж нагнулась, чтобы в должную минуту ловко обнять графиню.
– Вот Борису от меня, на шитье мундира…
Анна Михайловна уж обнимала ее и плакала. Графиня плакала тоже. Плакали они о том, что они дружны; и о том, что они добры; и о том, что они, подруги молодости, заняты таким низким предметом – деньгами; и о том, что молодость их прошла… Но слезы обеих были приятны…
Графиня Ростова с дочерьми и уже с большим числом гостей сидела в гостиной. Граф провел гостей мужчин в кабинет, предлагая им свою охотницкую коллекцию турецких трубок. Изредка он выходил и спрашивал: не приехала ли? Ждали Марью Дмитриевну Ахросимову, прозванную в обществе le terrible dragon, [страшный дракон,] даму знаменитую не богатством, не почестями, но прямотой ума и откровенною простотой обращения. Марью Дмитриевну знала царская фамилия, знала вся Москва и весь Петербург, и оба города, удивляясь ей, втихомолку посмеивались над ее грубостью, рассказывали про нее анекдоты; тем не менее все без исключения уважали и боялись ее.
В кабинете, полном дыма, шел разговор о войне, которая была объявлена манифестом, о наборе. Манифеста еще никто не читал, но все знали о его появлении. Граф сидел на отоманке между двумя курившими и разговаривавшими соседями. Граф сам не курил и не говорил, а наклоняя голову, то на один бок, то на другой, с видимым удовольствием смотрел на куривших и слушал разговор двух соседей своих, которых он стравил между собой.
Один из говоривших был штатский, с морщинистым, желчным и бритым худым лицом, человек, уже приближавшийся к старости, хотя и одетый, как самый модный молодой человек; он сидел с ногами на отоманке с видом домашнего человека и, сбоку запустив себе далеко в рот янтарь, порывисто втягивал дым и жмурился. Это был старый холостяк Шиншин, двоюродный брат графини, злой язык, как про него говорили в московских гостиных. Он, казалось, снисходил до своего собеседника. Другой, свежий, розовый, гвардейский офицер, безупречно вымытый, застегнутый и причесанный, держал янтарь у середины рта и розовыми губами слегка вытягивал дымок, выпуская его колечками из красивого рта. Это был тот поручик Берг, офицер Семеновского полка, с которым Борис ехал вместе в полк и которым Наташа дразнила Веру, старшую графиню, называя Берга ее женихом. Граф сидел между ними и внимательно слушал. Самое приятное для графа занятие, за исключением игры в бостон, которую он очень любил, было положение слушающего, особенно когда ему удавалось стравить двух говорливых собеседников.
– Ну, как же, батюшка, mon tres honorable [почтеннейший] Альфонс Карлыч, – говорил Шиншин, посмеиваясь и соединяя (в чем и состояла особенность его речи) самые народные русские выражения с изысканными французскими фразами. – Vous comptez vous faire des rentes sur l'etat, [Вы рассчитываете иметь доход с казны,] с роты доходец получать хотите?
– Нет с, Петр Николаич, я только желаю показать, что в кавалерии выгод гораздо меньше против пехоты. Вот теперь сообразите, Петр Николаич, мое положение…
Берг говорил всегда очень точно, спокойно и учтиво. Разговор его всегда касался только его одного; он всегда спокойно молчал, пока говорили о чем нибудь, не имеющем прямого к нему отношения. И молчать таким образом он мог несколько часов, не испытывая и не производя в других ни малейшего замешательства. Но как скоро разговор касался его лично, он начинал говорить пространно и с видимым удовольствием.
Нётерово пространство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств.[1][2] То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств <math> Y_i </math> пространства X, такой что:
- <math> Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots </math>
существует целое число r, что <math> Y_s = Y_r ~ \forall s>r. </math>
Это условие эквивалентно тому, что каждое подмножество <math>X</math> компактно.
Содержание
Эквивалентные определения
Топологическое пространство <math>X</math> называется нётеровым, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений:
- <math>X</math> удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств;[1][2]
- <math>X</math> удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей открытых подмножеств; [3]
- каждое непустое семейство замкнутых подмножеств в <math>X</math>, упорядоченное по включению имеет минимальный элемент[1][3];
- каждое непустое семейство открытых подмножеств в <math>X</math>, упорядоченное по включению имеет максимальный элемент; [3]
- каждое подмножество <math>X</math> компактно (с топологией подпространства);
- каждое открытое подмножество <math>X</math> компактно.[1]
Свойства
- Хаусдорфово пространство нётерово тогда и только тогда, когда оно конечное (и при этом оно будет дискретным).[3]
- Каждое подпространство пространства Нётер снова является пространством Нётер.[1][3]
- Если пространство <math>X</math> можно покрыть конечным числом нётеровых подпространств, то <math>X</math> само нётерово.[1]
- Нётерово пространство <math>X</math> представимо в виде объединения конечного числа своих неприводимых компонент.[1][2]
Примеры
Нётеровы пространства часто встречаются в алгебраической геометрии.
- Пространство <math> \mathbb {A} ^ n_k </math> ( аффинное n-мерное пространство над полем k) с топологией Зарисского является топологическим пространством Нётер.[2] Согласно определению топологии Зарисского в <math> \mathbb {A} ^ n_k </math> если:
- <math> Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots </math>
есть убывающая последовательность замкнутых множеств, то:
- <math> I (Y_1) \subseteq I (Y_2) \subseteq I (Y_3) \subseteq \cdots </math>
является возрастающей последовательностью идеалов <math> k [x_1, \ldots, x_n] </math> (<math> I (Y_i) </math> обозначает идеал полиномиальных функций, равных нулю в каждой точке <math> (Y_i) </math>). Поскольку <math> k [x_1, \ldots, x_n] </math> является кольцом Нётер, существует целое число <math>m</math>, такое что:
- <math> I (Y_m) = I (Y_ {m +1}) = I (Y_ {m + 2}) \cdots. </math>
Учитывая однозначное соответствие между радикальными идеалами <math> k [x_1, \ldots, x_n] </math> и замкнутыми (в топологии Зарисского) множествами <math> \mathbb {A} ^ n_k </math> выполняется <math> V (I (Y_i)) = Y_i </math> для всех i. Поэтому: <math> Y_m = Y_ {m +1} = Y_ {m + 2} = \cdots </math>
- Примерами нётеровых пространств является спектры коммутативных колец. Если <math>R</math> — кольцо Нётер, то пространство <math>\operatorname{Spec}(R)</math> (спектр <math>R</math>) является нётеровым.[1]
См. также
Напишите отзыв о статье "Нётерово пространство"
Примечания
Литература
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
Ссылки
- [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3476/ Нётерово пространство] — статья из Математической энциклопедии. Л. В. Кузьмин
- [www.imath.kiev.ua/~drozd/agukr.pdf~drozd/agukr.pdf Юрий Дрозд. Введение в алгебраическую геометрию] (укр.)
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
 |
Статья содержит короткие («гарвардские») ссылки на публикации, не указанные или неправильно описанные в библиографическом разделе. Список неработающих ссылок: Математическая энциклопедия, Хартсхорн, c.21, Хартсхорн, c.25 Пожалуйста, исправьте ссылки согласно инструкции к шаблону {{sfn}} и дополните библиографический раздел корректными описаниями цитируемых публикаций, следуя руководствам ВП:Сноски и ВП:Ссылки на источники.
|
Отрывок, характеризующий Нётерово пространство
– Вы, графинюшка, мотовка известная, – проговорил граф и, поцеловав у жены руку, ушел опять в кабинет.Когда Анна Михайловна вернулась опять от Безухого, у графини лежали уже деньги, всё новенькими бумажками, под платком на столике, и Анна Михайловна заметила, что графиня чем то растревожена.
– Ну, что, мой друг? – спросила графиня.
– Ах, в каком он ужасном положении! Его узнать нельзя, он так плох, так плох; я минутку побыла и двух слов не сказала…
– Annette, ради Бога, не откажи мне, – сказала вдруг графиня, краснея, что так странно было при ее немолодом, худом и важном лице, доставая из под платка деньги.
Анна Михайловна мгновенно поняла, в чем дело, и уж нагнулась, чтобы в должную минуту ловко обнять графиню.
– Вот Борису от меня, на шитье мундира…
Анна Михайловна уж обнимала ее и плакала. Графиня плакала тоже. Плакали они о том, что они дружны; и о том, что они добры; и о том, что они, подруги молодости, заняты таким низким предметом – деньгами; и о том, что молодость их прошла… Но слезы обеих были приятны…
Графиня Ростова с дочерьми и уже с большим числом гостей сидела в гостиной. Граф провел гостей мужчин в кабинет, предлагая им свою охотницкую коллекцию турецких трубок. Изредка он выходил и спрашивал: не приехала ли? Ждали Марью Дмитриевну Ахросимову, прозванную в обществе le terrible dragon, [страшный дракон,] даму знаменитую не богатством, не почестями, но прямотой ума и откровенною простотой обращения. Марью Дмитриевну знала царская фамилия, знала вся Москва и весь Петербург, и оба города, удивляясь ей, втихомолку посмеивались над ее грубостью, рассказывали про нее анекдоты; тем не менее все без исключения уважали и боялись ее.
В кабинете, полном дыма, шел разговор о войне, которая была объявлена манифестом, о наборе. Манифеста еще никто не читал, но все знали о его появлении. Граф сидел на отоманке между двумя курившими и разговаривавшими соседями. Граф сам не курил и не говорил, а наклоняя голову, то на один бок, то на другой, с видимым удовольствием смотрел на куривших и слушал разговор двух соседей своих, которых он стравил между собой.
Один из говоривших был штатский, с морщинистым, желчным и бритым худым лицом, человек, уже приближавшийся к старости, хотя и одетый, как самый модный молодой человек; он сидел с ногами на отоманке с видом домашнего человека и, сбоку запустив себе далеко в рот янтарь, порывисто втягивал дым и жмурился. Это был старый холостяк Шиншин, двоюродный брат графини, злой язык, как про него говорили в московских гостиных. Он, казалось, снисходил до своего собеседника. Другой, свежий, розовый, гвардейский офицер, безупречно вымытый, застегнутый и причесанный, держал янтарь у середины рта и розовыми губами слегка вытягивал дымок, выпуская его колечками из красивого рта. Это был тот поручик Берг, офицер Семеновского полка, с которым Борис ехал вместе в полк и которым Наташа дразнила Веру, старшую графиню, называя Берга ее женихом. Граф сидел между ними и внимательно слушал. Самое приятное для графа занятие, за исключением игры в бостон, которую он очень любил, было положение слушающего, особенно когда ему удавалось стравить двух говорливых собеседников.
– Ну, как же, батюшка, mon tres honorable [почтеннейший] Альфонс Карлыч, – говорил Шиншин, посмеиваясь и соединяя (в чем и состояла особенность его речи) самые народные русские выражения с изысканными французскими фразами. – Vous comptez vous faire des rentes sur l'etat, [Вы рассчитываете иметь доход с казны,] с роты доходец получать хотите?
– Нет с, Петр Николаич, я только желаю показать, что в кавалерии выгод гораздо меньше против пехоты. Вот теперь сообразите, Петр Николаич, мое положение…
Берг говорил всегда очень точно, спокойно и учтиво. Разговор его всегда касался только его одного; он всегда спокойно молчал, пока говорили о чем нибудь, не имеющем прямого к нему отношения. И молчать таким образом он мог несколько часов, не испытывая и не производя в других ни малейшего замешательства. Но как скоро разговор касался его лично, он начинал говорить пространно и с видимым удовольствием.
