Нётеров модуль

Нётеров мо́дуль — это модуль, в котором выполняется условие обрыва возрастающих цепей для его подмодулей, упорядоченных по отношению включения.

Исторически, Гильберт был первым математиком, исследовавшим свойства конечнопорождённости подмодулей. В частности, он доказал теорему Гильберта о базисе, согласно которой любой идеал в кольце многочленов от нескольких переменных является конечнопорождённым (это свойство эквивалентно нётеровости). Однако, свойство нётеровости было названо в честь Эмми Нётер, которая первой осознала степень его важности.

Эквивалентные определения и свойства

Существует несколько эквивалентных определений нётерова модуля:

• Любая последовательность подмодулей вида <math>M_1\subsetneq M_2\subsetneq M_3\subsetneq \ldots \qquad (1)</math> стабилизируется, то есть начиная с некоторого <math>n, \; M_n=M_{n+1}=\ldots .</math>
• В любом непустом множестве подмодулей M существует максимальный элемент. Данное условие эквивалентно первому для любого частично упорядоченного множества (доказательство использует аксиому выбора).
• Каждый подмодуль модуля M является конечнопорождённым.

Последнее определение особенно полезно, и доказательство его эквивалентности исходному определению элементарно:

1. Если модуль удовлетворяет свойству из последнего определения, то он удовлетворяет и свойству из первого. В самом деле, если любой подмодуль конечно порожден, то взяв модуль, являющийся объединением всех подмодулей цепи (1) имеем, что он порожден, скажем, элементами <math>x_1,x_2, \ldots x_n</math>. Тогда существует некоторый элемент цепочки <math>M_k</math>, содержащий эти x_i и поэтому равный объединению всех M_i. Отсюда <math>M_k=M_{k+1}=M_{k+2}=\ldots</math>
2. Обратно, если М над кольцом A удовлетворяет свойству из первого определения (эквивалентно, из второго определения) и N — его подмодуль, то во множестве всех конечнопорождённых подмодулей модуля N существует максимальный подмодуль <math>N'\subset N</math>. Если <math>N'\neq N,</math> то взяв элемент <math>x\in N/N'</math> и построив модуль <math>N+Ax</math> (или <math>N+xA</math> в некоммутативном случае для правого модуля) мы построим больший конечнопорождённый модуль против предположения. Следовательно, N конечно порождён.

Пусть <math>M</math> — некоторый модуль и <math>N</math> — его подмодуль. <math>M</math> является нётеровым тогда и только тогда, когда <math>N</math> и <math>M/N</math> являются нётеровыми.

Примеры

• Целые числа, рассматриваемые как модуль на кольцом целых чисел, являются нётеровым модулем.
• Пусть <math>R=M_n(K)</math> — полное кольцо матриц над произвольным полем <math>K</math> и <math>M</math> — множество векторов-столбцов над этим полем, то <math>M</math> можно сделать модулем над <math>R,</math> задав умножение элемента модуля на элемент кольца как умножение столбца на матрицу. Тогда <math>M</math> является нётеровым модулем.
• Каждый модуль, являющийся конечным множеством, нётеров.
• Каждый конечнопорождённый правый модуль над правым нётеровым кольцом нётеров (см. определение ниже).

Связь с другими структурами

Ассоциативное кольцо с единицей называется нётеровым, если оно является нётеровым модулем над самим собой, то есть удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для идеалов. В некоммутативном случае выделяют левые нётеровы и правые нётеровы кольца, если же кольцо является нётеровым слева и нётеровым справа, его называют просто нётеровым.

Условие нётеровости может быть определено также для бимодулей: бимодуль называется нётеровым, если он удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для своих подбимодулей. Может случиться, что бимодуль является нётеровым, тогда как структуры левого и правого модуля на нём не являются нётеровыми.

См. также

• Артинов модуль

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968

Отрывок, характеризующий Нётеров модуль

Отдав эти и другие приказания, он вернулся в свою ставку, и под его диктовку была написана диспозиция сражения.
Диспозиция эта, про которую с восторгом говорят французские историки и с глубоким уважением другие историки, была следующая:
«С рассветом две новые батареи, устроенные в ночи, на равнине, занимаемой принцем Экмюльским, откроют огонь по двум противостоящим батареям неприятельским.
В это же время начальник артиллерии 1 го корпуса, генерал Пернетти, с 30 ю орудиями дивизии Компана и всеми гаубицами дивизии Дессе и Фриана, двинется вперед, откроет огонь и засыплет гранатами неприятельскую батарею, против которой будут действовать!
24 орудия гвардейской артиллерии,
30 орудий дивизии Компана
и 8 орудий дивизии Фриана и Дессе,
Всего – 62 орудия.
Начальник артиллерии 3 го корпуса, генерал Фуше, поставит все гаубицы 3 го и 8 го корпусов, всего 16, по флангам батареи, которая назначена обстреливать левое укрепление, что составит против него вообще 40 орудий.
Генерал Сорбье должен быть готов по первому приказанию вынестись со всеми гаубицами гвардейской артиллерии против одного либо другого укрепления.
В продолжение канонады князь Понятовский направится на деревню, в лес и обойдет неприятельскую позицию.
Генерал Компан двинется чрез лес, чтобы овладеть первым укреплением.
По вступлении таким образом в бой будут даны приказания соответственно действиям неприятеля.
Канонада на левом фланге начнется, как только будет услышана канонада правого крыла. Стрелки дивизии Морана и дивизии вице короля откроют сильный огонь, увидя начало атаки правого крыла.
Вице король овладеет деревней [Бородиным] и перейдет по своим трем мостам, следуя на одной высоте с дивизиями Морана и Жерара, которые, под его предводительством, направятся к редуту и войдут в линию с прочими войсками армии.
Все это должно быть исполнено в порядке (le tout se fera avec ordre et methode), сохраняя по возможности войска в резерве.
В императорском лагере, близ Можайска, 6 го сентября, 1812 года».
Диспозиция эта, весьма неясно и спутанно написанная, – ежели позволить себе без религиозного ужаса к гениальности Наполеона относиться к распоряжениям его, – заключала в себе четыре пункта – четыре распоряжения. Ни одно из этих распоряжений не могло быть и не было исполнено.
В диспозиции сказано, первое: чтобы устроенные на выбранном Наполеоном месте батареи с имеющими выравняться с ними орудиями Пернетти и Фуше, всего сто два орудия, открыли огонь и засыпали русские флеши и редут снарядами. Это не могло быть сделано, так как с назначенных Наполеоном мест снаряды не долетали до русских работ, и эти сто два орудия стреляли по пустому до тех пор, пока ближайший начальник, противно приказанию Наполеона, не выдвинул их вперед.
Второе распоряжение состояло в том, чтобы Понятовский, направясь на деревню в лес, обошел левое крыло русских. Это не могло быть и не было сделано потому, что Понятовский, направясь на деревню в лес, встретил там загораживающего ему дорогу Тучкова и не мог обойти и не обошел русской позиции.
Третье распоряжение: Генерал Компан двинется в лес, чтоб овладеть первым укреплением. Дивизия Компана не овладела первым укреплением, а была отбита, потому что, выходя из леса, она должна была строиться под картечным огнем, чего не знал Наполеон.
Четвертое: Вице король овладеет деревнею (Бородиным) и перейдет по своим трем мостам, следуя на одной высоте с дивизиями Марана и Фриана (о которых не сказано: куда и когда они будут двигаться), которые под его предводительством направятся к редуту и войдут в линию с прочими войсками.
Сколько можно понять – если не из бестолкового периода этого, то из тех попыток, которые деланы были вице королем исполнить данные ему приказания, – он должен был двинуться через Бородино слева на редут, дивизии же Морана и Фриана должны были двинуться одновременно с фронта.