Степени свободы (механика)

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

В механике, степени свободы — это совокупность независимых координат перемещения и/или вращения, полностью определяющая положение системы или тела (а вместе с их производными по времени — соответствующими скоростями - полностью определяющая состояние механической системы или тела - то есть их положение и движение). Это фундаментальное понятие применяется в теоретической механике, теории механизмов и машин, машиностроении, авиации и теории летательных аппаратов, робототехнике и других областях.

В отличие от обычных декартовых или какого-то другого типа координат, такие координаты в общем случае называются обобщёнными координатами (декартовы, полярные или какие-то другие конкретные координаты являются, таким образом, частным случаем обобщённых). По сути речь идет о минимальном наборе чисел, который полностью определяет текущее положение (конфигурацию) данной системы.

Требование минимальности этого набора или независимости координат означает, что подразумевается набор координат, необходимый для описания положения системы лишь при возможных движениях (например, если рассматривается математический маятник, подразумевается, что его длина не может меняться, и таким образом координата, которая характеризует расстояние от груза до точки подвеса не является его степенью свободы, т.к. не может меняться - то есть количество степеней свободы математического маятника в пространстве 2, а такого же маятника, который может двигаться только в одной плоскости, 1; им соответствуют углы отклонения маятника от вертикали).

В случае, когда рассматривается система со связями (точнее говоря, с удерживающими связями), количество степеней свободы механической системы меньше, чем количество декартовых координат всех материальных точек системы, а именно:

<math>n = 3 N - n_{link},</math>

где n - количество степеней свободы, N - количество материальных точек системы, n_link - количество удерживающих связей за исключением избыточных.

Количество степеней свободы зависит не только от природы реальной системы, но и от модели (приближения) в рамках которых система изучается. Даже в приближении классической механики (в которых в целом и написана данная статья) если отказаться от использования дальнейших приближений, упрощающих задачу, количество степеней свободы любой макроскопической системы окажется огромным. Поскольку связи не бывают абсолютно жесткими (т.е. на самом деле их можно рассматривать как связи лишь в рамках определенного приближения), то настоящее количество степеней свободы механической системы можно оценить как минимум как утроенное количество атомов (а в приближении сплошной среды - как бесконечное). Однако на практике используют приближения, позволяющие радикально упростить задачу и уменьшить количество степеней свободы при рассмотрении системы, поэтому в практических расчетах количество степеней свободы - конечное, обычно достаточно небольшое, число.

Так, приближение абсолютно твердого тела, являющееся примером жесткой связи, наложенной на каждую пару материальных точек тела, сводит количество степеней свободы твердого тела до 6. Рассматривая системы, состоящие из небольшого количества твердых тел, рассматриваемых в этом приближении, имеют, таким образом, небольшое количество степеней свободы, к тому же ещё, вероятно, уменьшаемое наложением дополнительных связей (соответствующих шарнирам итп).

Примеры

• Твёрдое тело, движущееся в трёхмерном пространстве, максимально может иметь шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных.
• Автомобиль, если его рассматривать как твёрдое тело, перемещается по плоскости, а точнее говоря, по некоторой двумерной поверхности (в двумерном пространстве). Он имеет три степени свободы (одну вращательную, и две поступательные).
• Поезд вынужден перемещаться по рельсовому пути, и поэтому он имеет только одну степень свободы.

Движение и размерности

В общем случае твёрдое тело в d измерениях имеет d(d + 1)/2 степеней свободы (d поступательных и d(d −1)/2 вращательных).

Твердые тела. Деформируемые тела

Упругие или деформируемые тела можно рассматривать как систему множества мельчайших частиц (бесконечное число степеней свободы) в этом случае систему часто приближённо рассматривают как имеющую ограниченное число степеней свободы.

Если основным объектом анализа является движение, вызывающее большие перемещения, то для упрощения расчётов деформируемое тело приближённо рассматривают как абсолютно твёрдое, а иногда и как материальную точку. Например, если исследуется движение детали механизма, совершающей значительные перемещения, можно в главном приближении (и с хорошей точностью) рассматривать деталь как абсолютно твердое тело (при необходимости внеся затем, когда основное движение уже вычислено, поправки, связанные с её небольшими деформациями), особенно это верно, если исследуется, например, движение спутников по орбите, а если не рассматривать ориентацию спутника, то достаточно считать его материальной точкой - т.е. ограничиться описанием спутника тремя степенями свободы.

Системы тел

Система из нескольких тел может иметь в целом такое количество степеней свободы, которое является суммой степеней свободы составляющих систему тел, за вычетом тех степеней свободы, которые ограничиваются внутренними связями. Механизм, содержащий несколько соединённых тел, может иметь количество степеней свободы большее, чем имеет одно свободное твёрдое тело. В этом случае термин «степени свободы» используется для обозначения количества параметров, необходимых для точного определения положения механизма в пространстве.

Специфическим типом механизма является открытая кинематическая цепь, в которой жёсткие звенья имеют подвижные соединения, способные обеспечить одну степень свободы (если это петлевой шарнир или скользящее соединение), или две степени свободы (если это цилиндрическое соединение). Подобные цепи широко используются в современных промышленных механизмах и на производстве.

Рука человека имеет 7 степеней свободы.

Механическая система, имеющая 6 физических степеней свободы, называется голономной. Если система имеет меньшее количество степеней свободы, то её называют неголономной. Механическая система с количеством контролируемых степеней свободы бо́льшим, чем количество физических степеней свободы, называется избыточной.

Определение степеней свободы механизмов

Большинство обычных механизмов имеют одну степень свободы, то есть, имеется одно входное движение, определяющее одно выходное движение. Кроме того, большинство механизмов являются плоскими. Пространственные механизмы более сложны для расчётов.

Для расчётов степеней свободы механизмов применяется формула Чебышёва — Граблера — Кутцбаха (англ.).

В наиболее простом виде для плоских механизмов эта формула имеет вид:

<math>m = 3(n-1)-2f</math>, где

<math>m</math> — количество степеней свободы;

<math>n</math> — количество звеньев механизма (включая одно неподвижное звено — основание);

<math>f</math> — количество кинематических пар с одной степенью свободы (петлевое или скользящее соединение);

В более общем виде формула Чебышёва — Граблера — Кутцбаха для плоских механизмов, содержащих более сложные соединения звеньев:

<math>m = 3(n-j-1)+ \sum_{n=1}^j\ f_i</math>, где

Или для пространственного механизма (механизма, имеющего трёхмерное движение):

<math>m = 6(n-j-1)+ \sum_{n=1}^j\ f_i, </math>

<math>m</math> — количество степеней свободы;

<math>n</math> — количество звеньев механизма (включая одно неподвижное звено — основание);

<math>j</math> — общее количество подвижных соединений звеньев, не рассматривая количество степеней свободы этих соединений;

<math>\sum_{n=1}^j\ f_i</math> — сумма всех степеней свободы всех подвижных соединений (шарниров).

Гидропривод

Количество степеней свободы гидравлической системы может быть определено простым подсчётом количества независимо управляемых гидродвигателей.

Электротехника

В электротехнике понятие «степени свободы» часто используется для описания количества направлений, в которых фазированная антенная решётка может проектировать свои лучи. Оно на единицу меньше, чем количество элементов, содержащихся в решётке.

Принцип возможных перемещений

В теоретической механике известен принцип возможных перемещений, который также, как и уравнения равновесия статики, позволяет находить внешние силовые воздействия, действующие на механическую систему. Количество уравнений, составленных, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы данной механической системы.

Степени свободы молекулы

Основная статья: Степени свободы (физика): Степени свободы молекулы

Формула внутренней энергии газа:

<math>U = \frac{i}{2} \cdot \frac{m}{\mu} RT</math>,

где

<math>i</math> — количество степеней свободы молекулы газа,

<math>m</math> — масса газа,

<math>\mu</math> — молярная масса газа,

<math>R</math> — универсальная газовая постоянная,

<math>T</math> — абсолютная температура газа,

- включает количество степеней свободы молекулы.

Эта формула важна для расчётов, например, двигателей внутреннего сгорания.

Литература

• Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. Учеб. для втузов.— 10-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1986.— 416 с, ил.
• Основной курс теоретической механики (часть первая) Н. Н. Бухгольц, изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1972, 468 стр.

Отрывок, характеризующий Степени свободы (механика)

Пьер вдруг багрово покраснел и долго старался не смотреть на Наташу. Когда он решился взглянуть на нее, лицо ее было холодно, строго и даже презрительно, как ему показалось.
– Но вы точно видели и говорили с Наполеоном, как нам рассказывали? – сказала княжна Марья.
Пьер засмеялся.
– Ни разу, никогда. Всегда всем кажется, что быть в плену – значит быть в гостях у Наполеона. Я не только не видал его, но и не слыхал о нем. Я был гораздо в худшем обществе.
Ужин кончался, и Пьер, сначала отказывавшийся от рассказа о своем плене, понемногу вовлекся в этот рассказ.
– Но ведь правда, что вы остались, чтоб убить Наполеона? – спросила его Наташа, слегка улыбаясь. – Я тогда догадалась, когда мы вас встретили у Сухаревой башни; помните?
Пьер признался, что это была правда, и с этого вопроса, понемногу руководимый вопросами княжны Марьи и в особенности Наташи, вовлекся в подробный рассказ о своих похождениях.
Сначала он рассказывал с тем насмешливым, кротким взглядом, который он имел теперь на людей и в особенности на самого себя; но потом, когда он дошел до рассказа об ужасах и страданиях, которые он видел, он, сам того не замечая, увлекся и стал говорить с сдержанным волнением человека, в воспоминании переживающего сильные впечатления.
Княжна Марья с кроткой улыбкой смотрела то на Пьера, то на Наташу. Она во всем этом рассказе видела только Пьера и его доброту. Наташа, облокотившись на руку, с постоянно изменяющимся, вместе с рассказом, выражением лица, следила, ни на минуту не отрываясь, за Пьером, видимо, переживая с ним вместе то, что он рассказывал. Не только ее взгляд, но восклицания и короткие вопросы, которые она делала, показывали Пьеру, что из того, что он рассказывал, она понимала именно то, что он хотел передать. Видно было, что она понимала не только то, что он рассказывал, но и то, что он хотел бы и не мог выразить словами. Про эпизод свой с ребенком и женщиной, за защиту которых он был взят, Пьер рассказал таким образом:
– Это было ужасное зрелище, дети брошены, некоторые в огне… При мне вытащили ребенка… женщины, с которых стаскивали вещи, вырывали серьги…
Пьер покраснел и замялся.
– Тут приехал разъезд, и всех тех, которые не грабили, всех мужчин забрали. И меня.
– Вы, верно, не все рассказываете; вы, верно, сделали что нибудь… – сказала Наташа и помолчала, – хорошее.
Пьер продолжал рассказывать дальше. Когда он рассказывал про казнь, он хотел обойти страшные подробности; но Наташа требовала, чтобы он ничего не пропускал.
Пьер начал было рассказывать про Каратаева (он уже встал из за стола и ходил, Наташа следила за ним глазами) и остановился.
– Нет, вы не можете понять, чему я научился у этого безграмотного человека – дурачка.
– Нет, нет, говорите, – сказала Наташа. – Он где же?
– Его убили почти при мне. – И Пьер стал рассказывать последнее время их отступления, болезнь Каратаева (голос его дрожал беспрестанно) и его смерть.
Пьер рассказывал свои похождения так, как он никогда их еще не рассказывал никому, как он сам с собою никогда еще не вспоминал их. Он видел теперь как будто новое значение во всем том, что он пережил. Теперь, когда он рассказывал все это Наташе, он испытывал то редкое наслаждение, которое дают женщины, слушая мужчину, – не умные женщины, которые, слушая, стараются или запомнить, что им говорят, для того чтобы обогатить свой ум и при случае пересказать то же или приладить рассказываемое к своему и сообщить поскорее свои умные речи, выработанные в своем маленьком умственном хозяйстве; а то наслажденье, которое дают настоящие женщины, одаренные способностью выбирания и всасыванья в себя всего лучшего, что только есть в проявлениях мужчины. Наташа, сама не зная этого, была вся внимание: она не упускала ни слова, ни колебания голоса, ни взгляда, ни вздрагиванья мускула лица, ни жеста Пьера. Она на лету ловила еще не высказанное слово и прямо вносила в свое раскрытое сердце, угадывая тайный смысл всей душевной работы Пьера.
Княжна Марья понимала рассказ, сочувствовала ему, но она теперь видела другое, что поглощало все ее внимание; она видела возможность любви и счастия между Наташей и Пьером. И в первый раз пришедшая ей эта мысль наполняла ее душу радостию.
Было три часа ночи. Официанты с грустными и строгими лицами приходили переменять свечи, но никто не замечал их.
Пьер кончил свой рассказ. Наташа блестящими, оживленными глазами продолжала упорно и внимательно глядеть на Пьера, как будто желая понять еще то остальное, что он не высказал, может быть. Пьер в стыдливом и счастливом смущении изредка взглядывал на нее и придумывал, что бы сказать теперь, чтобы перевести разговор на другой предмет. Княжна Марья молчала. Никому в голову не приходило, что три часа ночи и что пора спать.
– Говорят: несчастия, страдания, – сказал Пьер. – Да ежели бы сейчас, сию минуту мне сказали: хочешь оставаться, чем ты был до плена, или сначала пережить все это? Ради бога, еще раз плен и лошадиное мясо. Мы думаем, как нас выкинет из привычной дорожки, что все пропало; а тут только начинается новое, хорошее. Пока есть жизнь, есть и счастье. Впереди много, много. Это я вам говорю, – сказал он, обращаясь к Наташе.
– Да, да, – сказала она, отвечая на совсем другое, – и я ничего бы не желала, как только пережить все сначала.
Пьер внимательно посмотрел на нее.
– Да, и больше ничего, – подтвердила Наташа.
– Неправда, неправда, – закричал Пьер. – Я не виноват, что я жив и хочу жить; и вы тоже.
Вдруг Наташа опустила голову на руки и заплакала.
– Что ты, Наташа? – сказала княжна Марья.
– Ничего, ничего. – Она улыбнулась сквозь слезы Пьеру. – Прощайте, пора спать.
Пьер встал и простился.

Княжна Марья и Наташа, как и всегда, сошлись в спальне. Они поговорили о том, что рассказывал Пьер. Княжна Марья не говорила своего мнения о Пьере. Наташа тоже не говорила о нем.
– Ну, прощай, Мари, – сказала Наташа. – Знаешь, я часто боюсь, что мы не говорим о нем (князе Андрее), как будто мы боимся унизить наше чувство, и забываем.
Княжна Марья тяжело вздохнула и этим вздохом признала справедливость слов Наташи; но словами она не согласилась с ней.
– Разве можно забыть? – сказала она.
– Мне так хорошо было нынче рассказать все; и тяжело, и больно, и хорошо. Очень хорошо, – сказала Наташа, – я уверена, что он точно любил его. От этого я рассказала ему… ничего, что я рассказала ему? – вдруг покраснев, спросила она.
– Пьеру? О нет! Какой он прекрасный, – сказала княжна Марья.
– Знаешь, Мари, – вдруг сказала Наташа с шаловливой улыбкой, которой давно не видала княжна Марья на ее лице. – Он сделался какой то чистый, гладкий, свежий; точно из бани, ты понимаешь? – морально из бани. Правда?
– Да, – сказала княжна Марья, – он много выиграл.
– И сюртучок коротенький, и стриженые волосы; точно, ну точно из бани… папа, бывало…
– Я понимаю, что он (князь Андрей) никого так не любил, как его, – сказала княжна Марья.
– Да, и он особенный от него. Говорят, что дружны мужчины, когда совсем особенные. Должно быть, это правда. Правда, он совсем на него не похож ничем?
– Да, и чудесный.
– Ну, прощай, – отвечала Наташа. И та же шаловливая улыбка, как бы забывшись, долго оставалась на ее лице.


Пьер долго не мог заснуть в этот день; он взад и вперед ходил по комнате, то нахмурившись, вдумываясь во что то трудное, вдруг пожимая плечами и вздрагивая, то счастливо улыбаясь.
Он думал о князе Андрее, о Наташе, об их любви, и то ревновал ее к прошедшему, то упрекал, то прощал себя за это. Было уже шесть часов утра, а он все ходил по комнате.
«Ну что ж делать. Уж если нельзя без этого! Что ж делать! Значит, так надо», – сказал он себе и, поспешно раздевшись, лег в постель, счастливый и взволнованный, но без сомнений и нерешительностей.
«Надо, как ни странно, как ни невозможно это счастье, – надо сделать все для того, чтобы быть с ней мужем и женой», – сказал он себе.
Пьер еще за несколько дней перед этим назначил в пятницу день своего отъезда в Петербург. Когда он проснулся, в четверг, Савельич пришел к нему за приказаниями об укладке вещей в дорогу.
«Как в Петербург? Что такое Петербург? Кто в Петербурге? – невольно, хотя и про себя, спросил он. – Да, что то такое давно, давно, еще прежде, чем это случилось, я зачем то собирался ехать в Петербург, – вспомнил он. – Отчего же? я и поеду, может быть. Какой он добрый, внимательный, как все помнит! – подумал он, глядя на старое лицо Савельича. – И какая улыбка приятная!» – подумал он.
– Что ж, все не хочешь на волю, Савельич? – спросил Пьер.
– Зачем мне, ваше сиятельство, воля? При покойном графе, царство небесное, жили и при вас обиды не видим.
– Ну, а дети?
– И дети проживут, ваше сиятельство: за такими господами жить можно.
– Ну, а наследники мои? – сказал Пьер. – Вдруг я женюсь… Ведь может случиться, – прибавил он с невольной улыбкой.
– И осмеливаюсь доложить: хорошее дело, ваше сиятельство.
«Как он думает это легко, – подумал Пьер. – Он не знает, как это страшно, как опасно. Слишком рано или слишком поздно… Страшно!»
– Как же изволите приказать? Завтра изволите ехать? – спросил Савельич.
– Нет; я немножко отложу. Я тогда скажу. Ты меня извини за хлопоты, – сказал Пьер и, глядя на улыбку Савельича, подумал: «Как странно, однако, что он не знает, что теперь нет никакого Петербурга и что прежде всего надо, чтоб решилось то. Впрочем, он, верно, знает, но только притворяется. Поговорить с ним? Как он думает? – подумал Пьер. – Нет, после когда нибудь».
За завтраком Пьер сообщил княжне, что он был вчера у княжны Марьи и застал там, – можете себе представить кого? – Натали Ростову.
Княжна сделала вид, что она в этом известии не видит ничего более необыкновенного, как в том, что Пьер видел Анну Семеновну.
– Вы ее знаете? – спросил Пьер.
– Я видела княжну, – отвечала она. – Я слышала, что ее сватали за молодого Ростова. Это было бы очень хорошо для Ростовых; говорят, они совсем разорились.
– Нет, Ростову вы знаете?
– Слышала тогда только про эту историю. Очень жалко.
«Нет, она не понимает или притворяется, – подумал Пьер. – Лучше тоже не говорить ей».
Княжна также приготавливала провизию на дорогу Пьеру.
«Как они добры все, – думал Пьер, – что они теперь, когда уж наверное им это не может быть более интересно, занимаются всем этим. И все для меня; вот что удивительно».
В этот же день к Пьеру приехал полицеймейстер с предложением прислать доверенного в Грановитую палату для приема вещей, раздаваемых нынче владельцам.
«Вот и этот тоже, – думал Пьер, глядя в лицо полицеймейстера, – какой славный, красивый офицер и как добр! Теперь занимается такими пустяками. А еще говорят, что он не честен и пользуется. Какой вздор! А впрочем, отчего же ему и не пользоваться? Он так и воспитан. И все так делают. А такое приятное, доброе лицо, и улыбается, глядя на меня».
Пьер поехал обедать к княжне Марье.
Проезжая по улицам между пожарищами домов, он удивлялся красоте этих развалин. Печные трубы домов, отвалившиеся стены, живописно напоминая Рейн и Колизей, тянулись, скрывая друг друга, по обгорелым кварталам. Встречавшиеся извозчики и ездоки, плотники, рубившие срубы, торговки и лавочники, все с веселыми, сияющими лицами, взглядывали на Пьера и говорили как будто: «А, вот он! Посмотрим, что выйдет из этого».