Импульс

Импульс
<math>\vec p = m\vec v</math>
Размерность	LMT−1
Единицы измерения
СИ	кг·м/с
СГС	г·см/с
Примечания
векторная величина

И́мпульс (коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

<math display="block">\vec p=m\vec v.</math>

В более общем виде, справедливом также и в релятивистской механике, определение имеет вид:

Импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

История появления термина

В XIV веке Жан Буридан изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с большим весом способны вместить больше импетуса.

В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он высказал предположение о том, что сохраняется не только количество движения одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1668 году использовали её для абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).

Джон Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и минус». В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.

Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Определение импульса в механике Ньютона

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

<math>\vec p=\sum_{i}m_i \vec{v}_i,</math>

соответственно величина <math>\vec p_i=m_i \vec{v}_i</math> называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Если мы имеем дело с телом конечного размера, не состоящим из дискретных материальных точек, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:

<math>\vec p=\int \rho(x,y,z)\vec{v}(x,y,z)dx dy dz</math>

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:

<math>\frac{d\vec p}{dt}=0</math>. (*)

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

<math>\vec p = \sum_i \frac{m_i \vec v_i}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}</math>,

где m_i — масса i-й материальной точки.

Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

<math>p_{\mu}=(E/c,\vec p)=\left(\frac{m_0 c}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}},\frac{m_0 \vec v}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}\right).</math>

На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

<math>E^2-\mathbf{p}^2c^2=m^2c^4~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} = \frac{E}{c^2}\, \mathbf{v}.</math>

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Свойства импульса

• Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему.
• Инвариантность по отношению к повороту системы отсчета.
• Сохранение. Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу импульса.

Обобщённый импульс в теоретической механике

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости

<math> p_i = {{\partial {\mathcal L}} \over {\partial \dot{q}_i}}. </math>

В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то в силу уравнений Лагранжа <math>dp_i/dt=0</math>.

Для свободной частицы в релятивистской механике функция Лагранжа имеет вид: <math>\mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}</math>, отсюда:

<math>\vec {p}= \frac{m \vec {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}</math>

Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).

Обобщённый импульс в электромагнитном поле

В электромагнитном поле обобщённый импульс частицы равен:

<math>\mathbf {p} = \frac{m \mathbf {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}} + q \mathbf A,</math>

где <math>\mathbf A</math> — векторный потенциал электромагнитного поля.

Формальное определение импульса

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (инвариант относительно трансляций).

Импульс электромагнитного поля

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:

<math> \mathbf p = \frac{1}{c^2}\int \mathbf S dV = \frac{1}{c^2} \int [\mathbf E \times \mathbf H] dV</math> (в системе СИ).

Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление, как давление электромагнитного излучения.

Импульс в квантовой механике

Формальное определение

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

<math>\hat{\mathbf{P}}=\sum_j\hat{\mathbf{p}}_j=\sum_j -i\hbar\nabla_j</math>

где <math>\nabla_j</math> — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам <math>j</math>-ой частицы. Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

<math>\hat{H} = \sum_i \frac{1}{2m_i}\hat{\mathbf{p}}_i^2 + U(\mathbf{r_1},\dots)</math>

Для замкнутой системы (<math>U = 0</math>) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны <math>\lambda</math>:

<math>p = \frac h \lambda</math>,

где <math>h</math> — постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью <math>v\ll c</math> (скорости света), модуль импульса равен <math>p=mv</math> (где <math>m</math> — масса частицы), и

<math>\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}</math>.

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

<math>\vec p = \frac h {2 \pi} \vec k = \hbar \vec k,</math>

где <math>\vec k</math> — волновой вектор.

Импульс в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа <math>\ \rho</math>. А вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

<math>\vec p = \rho\vec v</math>.

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить <math>\ \rho = \overline {\rho} + \rho' </math>, <math>\ \vec v = \overline {\vec v} + \vec v' </math>, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

<math>\ \overline{\vec p} = \overline{\rho \vec v}=\overline{\rho}~\overline{ \vec v} + \vec S </math>,

где <math>\ \vec S = \overline{\rho' \vec v'} </math> — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»).

См. также

• Импульс силы
• Момент импульса
• Закон сохранения импульса
• Электрический импульс

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 4-е. — М.: Физматлит, 2002. — Т. I. Механика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
• Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 368 с.

Отрывок, характеризующий Импульс

Выражение: «началось! вот оно!» было даже и на крепком карем лице князя Багратиона с полузакрытыми, мутными, как будто невыспавшимися глазами. Князь Андрей с беспокойным любопытством вглядывался в это неподвижное лицо, и ему хотелось знать, думает ли и чувствует, и что думает, что чувствует этот человек в эту минуту? «Есть ли вообще что нибудь там, за этим неподвижным лицом?» спрашивал себя князь Андрей, глядя на него. Князь Багратион наклонил голову, в знак согласия на слова князя Андрея, и сказал: «Хорошо», с таким выражением, как будто всё то, что происходило и что ему сообщали, было именно то, что он уже предвидел. Князь Андрей, запихавшись от быстроты езды, говорил быстро. Князь Багратион произносил слова с своим восточным акцентом особенно медленно, как бы внушая, что торопиться некуда. Он тронул, однако, рысью свою лошадь по направлению к батарее Тушина. Князь Андрей вместе с свитой поехал за ним. За князем Багратионом ехали: свитский офицер, личный адъютант князя, Жерков, ординарец, дежурный штаб офицер на энглизированной красивой лошади и статский чиновник, аудитор, который из любопытства попросился ехать в сражение. Аудитор, полный мужчина с полным лицом, с наивною улыбкой радости оглядывался вокруг, трясясь на своей лошади, представляя странный вид в своей камлотовой шинели на фурштатском седле среди гусар, казаков и адъютантов.
– Вот хочет сраженье посмотреть, – сказал Жерков Болконскому, указывая на аудитора, – да под ложечкой уж заболело.
– Ну, полно вам, – проговорил аудитор с сияющею, наивною и вместе хитрою улыбкой, как будто ему лестно было, что он составлял предмет шуток Жеркова, и как будто он нарочно старался казаться глупее, чем он был в самом деле.
– Tres drole, mon monsieur prince, [Очень забавно, мой господин князь,] – сказал дежурный штаб офицер. (Он помнил, что по французски как то особенно говорится титул князь, и никак не мог наладить.)
В это время они все уже подъезжали к батарее Тушина, и впереди их ударилось ядро.
– Что ж это упало? – наивно улыбаясь, спросил аудитор.
– Лепешки французские, – сказал Жерков.
– Этим то бьют, значит? – спросил аудитор. – Страсть то какая!
И он, казалось, распускался весь от удовольствия. Едва он договорил, как опять раздался неожиданно страшный свист, вдруг прекратившийся ударом во что то жидкое, и ш ш ш шлеп – казак, ехавший несколько правее и сзади аудитора, с лошадью рухнулся на землю. Жерков и дежурный штаб офицер пригнулись к седлам и прочь поворотили лошадей. Аудитор остановился против казака, со внимательным любопытством рассматривая его. Казак был мертв, лошадь еще билась.
Князь Багратион, прищурившись, оглянулся и, увидав причину происшедшего замешательства, равнодушно отвернулся, как будто говоря: стоит ли глупостями заниматься! Он остановил лошадь, с приемом хорошего ездока, несколько перегнулся и выправил зацепившуюся за бурку шпагу. Шпага была старинная, не такая, какие носились теперь. Князь Андрей вспомнил рассказ о том, как Суворов в Италии подарил свою шпагу Багратиону, и ему в эту минуту особенно приятно было это воспоминание. Они подъехали к той самой батарее, у которой стоял Болконский, когда рассматривал поле сражения.
– Чья рота? – спросил князь Багратион у фейерверкера, стоявшего у ящиков.
Он спрашивал: чья рота? а в сущности он спрашивал: уж не робеете ли вы тут? И фейерверкер понял это.
– Капитана Тушина, ваше превосходительство, – вытягиваясь, закричал веселым голосом рыжий, с покрытым веснушками лицом, фейерверкер.
– Так, так, – проговорил Багратион, что то соображая, и мимо передков проехал к крайнему орудию.
В то время как он подъезжал, из орудия этого, оглушая его и свиту, зазвенел выстрел, и в дыму, вдруг окружившем орудие, видны были артиллеристы, подхватившие пушку и, торопливо напрягаясь, накатывавшие ее на прежнее место. Широкоплечий, огромный солдат 1 й с банником, широко расставив ноги, отскочил к колесу. 2 й трясущейся рукой клал заряд в дуло. Небольшой сутуловатый человек, офицер Тушин, спотыкнувшись на хобот, выбежал вперед, не замечая генерала и выглядывая из под маленькой ручки.
– Еще две линии прибавь, как раз так будет, – закричал он тоненьким голоском, которому он старался придать молодцоватость, не шедшую к его фигуре. – Второе! – пропищал он. – Круши, Медведев!
Багратион окликнул офицера, и Тушин, робким и неловким движением, совсем не так, как салютуют военные, а так, как благословляют священники, приложив три пальца к козырьку, подошел к генералу. Хотя орудия Тушина были назначены для того, чтоб обстреливать лощину, он стрелял брандскугелями по видневшейся впереди деревне Шенграбен, перед которой выдвигались большие массы французов.
Никто не приказывал Тушину, куда и чем стрелять, и он, посоветовавшись с своим фельдфебелем Захарченком, к которому имел большое уважение, решил, что хорошо было бы зажечь деревню. «Хорошо!» сказал Багратион на доклад офицера и стал оглядывать всё открывавшееся перед ним поле сражения, как бы что то соображая. С правой стороны ближе всего подошли французы. Пониже высоты, на которой стоял Киевский полк, в лощине речки слышалась хватающая за душу перекатная трескотня ружей, и гораздо правее, за драгунами, свитский офицер указывал князю на обходившую наш фланг колонну французов. Налево горизонт ограничивался близким лесом. Князь Багратион приказал двум баталионам из центра итти на подкрепление направо. Свитский офицер осмелился заметить князю, что по уходе этих баталионов орудия останутся без прикрытия. Князь Багратион обернулся к свитскому офицеру и тусклыми глазами посмотрел на него молча. Князю Андрею казалось, что замечание свитского офицера было справедливо и что действительно сказать было нечего. Но в это время прискакал адъютант от полкового командира, бывшего в лощине, с известием, что огромные массы французов шли низом, что полк расстроен и отступает к киевским гренадерам. Князь Багратион наклонил голову в знак согласия и одобрения. Шагом поехал он направо и послал адъютанта к драгунам с приказанием атаковать французов. Но посланный туда адъютант приехал через полчаса с известием, что драгунский полковой командир уже отступил за овраг, ибо против него был направлен сильный огонь, и он понапрасну терял людей и потому спешил стрелков в лес.
– Хорошо! – сказал Багратион.
В то время как он отъезжал от батареи, налево тоже послышались выстрелы в лесу, и так как было слишком далеко до левого фланга, чтобы успеть самому приехать во время, князь Багратион послал туда Жеркова сказать старшему генералу, тому самому, который представлял полк Кутузову в Браунау, чтобы он отступил сколь можно поспешнее за овраг, потому что правый фланг, вероятно, не в силах будет долго удерживать неприятеля. Про Тушина же и баталион, прикрывавший его, было забыто. Князь Андрей тщательно прислушивался к разговорам князя Багратиона с начальниками и к отдаваемым им приказаниям и к удивлению замечал, что приказаний никаких отдаваемо не было, а что князь Багратион только старался делать вид, что всё, что делалось по необходимости, случайности и воле частных начальников, что всё это делалось хоть не по его приказанию, но согласно с его намерениями. Благодаря такту, который выказывал князь Багратион, князь Андрей замечал, что, несмотря на эту случайность событий и независимость их от воли начальника, присутствие его сделало чрезвычайно много. Начальники, с расстроенными лицами подъезжавшие к князю Багратиону, становились спокойны, солдаты и офицеры весело приветствовали его и становились оживленнее в его присутствии и, видимо, щеголяли перед ним своею храбростию.


Князь Багратион, выехав на самый высокий пункт нашего правого фланга, стал спускаться книзу, где слышалась перекатная стрельба и ничего не видно было от порохового дыма. Чем ближе они спускались к лощине, тем менее им становилось видно, но тем чувствительнее становилась близость самого настоящего поля сражения. Им стали встречаться раненые. Одного с окровавленной головой, без шапки, тащили двое солдат под руки. Он хрипел и плевал. Пуля попала, видно, в рот или в горло. Другой, встретившийся им, бодро шел один, без ружья, громко охая и махая от свежей боли рукою, из которой кровь лилась, как из стклянки, на его шинель. Лицо его казалось больше испуганным, чем страдающим. Он минуту тому назад был ранен. Переехав дорогу, они стали круто спускаться и на спуске увидали несколько человек, которые лежали; им встретилась толпа солдат, в числе которых были и не раненые. Солдаты шли в гору, тяжело дыша, и, несмотря на вид генерала, громко разговаривали и махали руками. Впереди, в дыму, уже были видны ряды серых шинелей, и офицер, увидав Багратиона, с криком побежал за солдатами, шедшими толпой, требуя, чтоб они воротились. Багратион подъехал к рядам, по которым то там, то здесь быстро щелкали выстрелы, заглушая говор и командные крики. Весь воздух пропитан был пороховым дымом. Лица солдат все были закопчены порохом и оживлены. Иные забивали шомполами, другие посыпали на полки, доставали заряды из сумок, третьи стреляли. Но в кого они стреляли, этого не было видно от порохового дыма, не уносимого ветром. Довольно часто слышались приятные звуки жужжанья и свистения. «Что это такое? – думал князь Андрей, подъезжая к этой толпе солдат. – Это не может быть атака, потому что они не двигаются; не может быть карре: они не так стоят».
Худощавый, слабый на вид старичок, полковой командир, с приятною улыбкой, с веками, которые больше чем наполовину закрывали его старческие глаза, придавая ему кроткий вид, подъехал к князю Багратиону и принял его, как хозяин дорогого гостя. Он доложил князю Багратиону, что против его полка была конная атака французов, но что, хотя атака эта отбита, полк потерял больше половины людей. Полковой командир сказал, что атака была отбита, придумав это военное название тому, что происходило в его полку; но он действительно сам не знал, что происходило в эти полчаса во вверенных ему войсках, и не мог с достоверностью сказать, была ли отбита атака или полк его был разбит атакой. В начале действий он знал только то, что по всему его полку стали летать ядра и гранаты и бить людей, что потом кто то закричал: «конница», и наши стали стрелять. И стреляли до сих пор уже не в конницу, которая скрылась, а в пеших французов, которые показались в лощине и стреляли по нашим. Князь Багратион наклонил голову в знак того, что всё это было совершенно так, как он желал и предполагал. Обратившись к адъютанту, он приказал ему привести с горы два баталиона 6 го егерского, мимо которых они сейчас проехали. Князя Андрея поразила в эту минуту перемена, происшедшая в лице князя Багратиона. Лицо его выражало ту сосредоточенную и счастливую решимость, которая бывает у человека, готового в жаркий день броситься в воду и берущего последний разбег. Не было ни невыспавшихся тусклых глаз, ни притворно глубокомысленного вида: круглые, твердые, ястребиные глаза восторженно и несколько презрительно смотрели вперед, очевидно, ни на чем не останавливаясь, хотя в его движениях оставалась прежняя медленность и размеренность.