Обобщённые координаты

Обобщённые координаты — параметры, описывающие конфигурацию динамической системы относительно некоторой эталонной конфигурации в аналитической механике, а конкретно исследовании динамики твёрдых тел в системе многих тел. Эти параметры должны однозначно определять конфигурацию системы относительно эталонной конфигурации. Обобщённые скорости — производные по времени обобщённых координат системы.

Пример обобщённой координаты — угол, который определяет местоположение точки, движущейся по окружности. Прилагательное «обобщённая» используется, чтобы отличать эти параметры от традиционного использования термина координат для обозначения Декартовых координат: например, описывая расположение точки на окружности через X и Y координаты.

Хотя может существовать много вариантов выбора обобщённых координат физической системы, обычно выбираются параметры, которые удобны для уточнения конфигурации системы и которые упрощают решение уравнения движения. Если эти параметры не зависят друг от друга, то число независимых обобщённых координат определяется числом степеней свободы системы.

Связи и степени свободы

Обобщённые координаты обычно выбираются, чтобы обеспечить минимальное число независимых координат, определяющих конфигурацию системы, которая упрощает формулировку уравнений движения Лагранжа. Однако, может случиться, что в полезном наборе обобщённых координат координаты окажутся зависимыми, что означает, что они связаны одним или более уравнениями связи.

Голономные связи

Для системы из N частиц в 3Д реальном координатном пространстве, вектор положения каждой частицы можно записать тройками чисел в декартовых координатах;

<math>\mathbf{r}_1 = (x_1,y_1,z_1) \,, \quad \mathbf{r}_2 = (x_2,y_2,z_2) \,, \ldots \,, \mathbf{r}_N = (x_N,y_N,z_N)\,. </math>

Любые векторы можно обозначить как r_k, где k = 1, 2, …, N обозначает частицу. Голономная связь — это уравнение ограничения для частицы k

<math>f(\mathbf{r}_k, t) = 0</math>

которая связывает все 3 пространственные координаты частицы вместе, так что они не являются независимыми. Ограничения могут изменяться со временем, поэтому время t появится явно в уравнения связи. В любой момент времени, когда t является константой, одна координата будет функцией от других координат, например, если x_{k K} и z_k заданы, то также задана и y_k. Одно уравнение связи считается одной связью. Для C связей будет C уравнений связи. Не обязательно одно уравнение связи соответствует каждой частицы, и если нет ограничений в системе, то не будет никаких уравнений связи.

Пока конфигурация системы определяется числом 3C, но C координат можно устранить, по одной из координат на каждое уравнение связи. Число независимых координат n = 3N − C. (При размерности D исходной конфигурации потребуется - ND координат, и сокращение согласно связям приведёт к n = ND − C). Идеально использовать минимальное число координат, необходимых для определения конфигурации всей системы воспользовавшись уравнениями связей. Эти величины известны как обобщённые координаты в данном контексте обозначаются как q_j(t). Удобно собирать их в n-кортеж

<math>\mathbf{q}(t) = (q_1(t), q_2(t), \ldots, q_n(t)) </math>

которая является точкой в конфигурационном пространстве системы. Они все независимы друг от друга, и каждая является функцией времени. Геометрически они могут быть длинами вдоль прямой линии или длинами дуг вдоль кривых линий, или углами; не обязательно декартовыми координатами или другими стандартными ортогональными координатами. Каждой степени свободы соответствует одна обобщённая координата, так что число обобщённых координат равно числу степеней свободы, n. Степени свободы соответствует одна величина, соответствующая изменению конфигурации системы, например угол маятника, или длина дуги, пройденой бусинкой на проволоке.

Если можно найти из уравнений связи столько независимых переменных сколько есть степеней свободы, то их можно использовать в качестве обобщённых координат. Положение вектора r_k частицы k является функцией всех n обобщённых координат и времени,

<math>\mathbf{r}_k = \mathbf{r}_k(\mathbf{q}(t),t) \,, </math>

и обобщённые координаты можно рассматривать как параметры, связанные со связями.

Соответствующие производные по времени от q называются обобщёнными скоростями,

<math>\dot{\mathbf{q}} = \frac{d\mathbf{q}}{dt} = (\dot{q}_1(t), \dot{q}_2(t), \ldots, \dot{q}_n(t)) </math>

(каждая точка обозначает одну производную по времени). Вектор скорости v_k является полной производной r_k по времени

<math>\mathbf{v}_k = \dot{\mathbf{r}}_k = \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\dot{q}_j +\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t}\,.</math>

и зависит от обобщённых скоростей и координат. Поскольку мы вольны указать начальные значения обобщённых координат и скоростей отдельно, то обобщённые координаты q_j и скорости dq_j/dt рассматриваются как независимые переменные.

Неголономные связи

Механическая система может включать в себя ограничения на обобщённые координаты и их производные. Ограничения этого типа известны как неголономные. Неголономные связи первого порядка имеют вид

<math>g(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) = 0\,,</math>

Примером таких связей являются катящееся колесо или режущая кромка ножа, что ограничивает направление вектора скорости. Неголономные связи могут включать производные высоких порядков, таких как обобщённые ускорения.

Физические величины в обобщённых координатах

Кинетическая энергия

Полная кинетическая энергия системы — это энергия движения системы, определяется как

<math>T = \frac {1}{2} \sum_{k=1}^N m_k \dot{\mathbf{r}}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k\,,</math>

в которой · обозначает скалярное произведение. Кинетическая энергия является функцией только скоростей v_k, а не координат r_k. Напротив важное наблюдение

<math>\dot{\mathbf{r}}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k = \sum_{i,j=1}^n \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\right)\dot{q}_i\dot{q}_j + \sum_{i=1}^n \left(2\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t}\right) \dot{q}_i + \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t}\right) \,, </math>

показывает, что кинетическая энергия является в общем случае функцией обобщённых скоростей, координат и времени, если связи также меняются со временем, так что T = T(q, dq/dt, t).

В случае, если связи не зависят от времени, тогда все частные производные по времени равны нулю, а кинетическая энергия не имеет зависимости от времени и является однородной функцией степени 2 обобщённых скоростей;

<math>\dot{\mathbf{r}}_k\cdot \dot{\mathbf{r}}_k = \sum_{i,j=1}^n \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\right) \dot{q}_i \dot{q}_j \,.</math>

это выражение эквивалентно квадрату элемента длины траектории для частицы k,

<math>ds_k^2 = d\mathbf{r}_k\cdot d\mathbf{r}_k = \sum_{i,j=1}^n \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\right) dq_i dq_j \,,</math>

делённому на квадрат дифференциала времени, dt², что даёт квадрат скорости частицы k. Таким образом, для времененезависимых связей достаточно знать элемент длины, чтобы быстро получить кинетическую энергию частицы и, следовательно, Лагранжиан.

Часто используемые элементы длины в 2d — полярные координаты (р, θ),

<math>\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 \,,</math>

в 3d цилиндрические координаты (р, θ, Z с),

<math>\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2 \,,</math>

в 3d сферических координатах (р, θ, φ),

<math>\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta \, \dot{\varphi}^2 \,.</math>

Обобщённый импульс

Обобщённый импульс «канонически сопряжённый» координате q_i определяется

<math>p_i =\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}.</math>

Если Лагранжиан L никак не зависят от некоторых координат q_i, тогда из уравнения Эйлера-Лагранжа получается, что соответствующий обобщённый импульс будет сохраняться, потому что её производная по времени равна нулю, поэтому импульс должен быть константой движения;

<math>\dot{p}_i = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}=0\,.</math>

Примеры

Простой маятник

Использование связи обобщённых и декартовых координат для описания движения механической системы можно проиллюстрировать на примере ограниченного движения математического маятника.

Простой маятник состоит из массы M подвешенной к точке поворота так, что она вынуждена двигаться по окружности радиуса L. Положение массы определяется координатами вектора r=(x, y), измеренными в плоскости окружности, где y соответствует вертикальному направлению. Координаты x и y связаны уравнением окружности

<math>f(x, y) = x^2+y^2 - L^2=0,</math>

что ограничивает движение M. Это уравнение также содержит связь для компонент скорости,

<math> \dot{f}(x, y)=2x\dot{x} + 2y\dot{y} = 0.</math>

Теперь введём параметр θ, который определяет угловое положение M как отклонение от вертикального направления. Координаты x и y, определяются как

<math> \mathbf{r}=(x, y) = (L\sin\theta, -L\cos\theta).</math>

Применение θ для определения конфигурации этой системы позволяет избежать ограничений, заложенных в уравнение окружности.

Сила тяжести, действующая на тело массы M, задана в декартовых координатах,

<math> \mathbf{F}=(0,-mg),</math>

где g — ускорение силы тяжести.

Виртуальная работа силы тяжести действующей на тело массы M, во время его движения по траектории r даётся

<math> \delta W = \mathbf{F}\cdot\delta \mathbf{r}.</math>

Вариации δr вычисляется в терминах координат x и y, или в терминах параметра θ,

<math> \delta \mathbf{r} =(\delta x, \delta y) = (L\cos\theta, L\sin\theta)\delta\theta.</math>

Таким образом, виртуальная работа задаётся

<math>\delta W = -mg\delta y = -mgL\sin\theta\delta\theta.</math>

коэффициент δy — y-проекция приложенной силы. Аналогичным образом, коэффициент δθ известен как обобщённая сила вдоль обобщённой координаты θ, задаётся

<math> F_{\theta} = -mgL\sin\theta.</math>

Для полноты анализа рассмотрим кинетическую энергию T массы, используя скорость,

<math> \mathbf{v}=(\dot{x}, \dot{y}) = (L\cos\theta, L\sin\theta)\dot{\theta},</math>

тогда,

<math> T= \frac{1}{2} m\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2+\dot{y}^2) = \frac{1}{2} m L^2\dot{\theta}^2.</math>

Уравнения Лагранжа для маятника в терминах координат x и y заданы,

<math> \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial T}{\partial x} = F_{x} + \lambda \frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial T}{\partial y} = F_{y} + \lambda \frac{\partial f}{\partial y}. </math>

Отсюда получаем три уравнения

<math>m\ddot{x} = \lambda(2x),\quad m\ddot{y} = -mg + \lambda(2y),\quad x^2+y^2 - L^2=0,</math>

с тремя неизвестными, x, y и λ.

С помощью параметра θ, уравнения Лагранжа принимают вид

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial T}{\partial \theta} = F_{\theta},</math>

который записываются в виде,

<math> mL^2\ddot{\theta} = -mgL\sin\theta,</math>

или

<math> \ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta=0.</math>

Эта формулировка даёт только одно уравнение, потому что есть только один параметр и отсутствует уравнение связи.

Это показывает, что параметр θ является обобщённой координатой, которую можно использовать в декартовых координатах x и y, для анализа движения маятника.

Двойной маятник

Преимущества обобщённых координат становятся очевидными при анализе двойного маятника. Для двух масс m_i, i=1, 2, пусть r_i=(x_i, y_i), i=1, 2 нужно определить их траектории. Эти векторы удовлетворяют двум уравнениям связи,

<math>f_1 (x_1, y_1, x_2, y_2) = \mathbf{r}_1\cdot \mathbf{r}_1 - L_1^2 = 0, \quad f_2 (x_1, y_1, x_2, y_2) = (\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1) \cdot (\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1) - L_2^2 = 0.</math>

Система уравнений Лагранжа двойного маятника состоит из шести уравнений с четырьмя декартовыми координатами x_i, y_i i=1, 2 и двух множителей Лагранжа λ_i, i=1, 2, которые возникают из двух уравнений связи.

Теперь введём обобщённые координаты θ_i i=1,2, определяющие угловое отклонение каждой массы двойного маятника от вертикального направления. В этом случае мы имеем

<math>\mathbf{r}_1 = (L_1\sin\theta_1, -L_1\cos\theta_1), \quad \mathbf{r}_2 = (L_1\sin\theta_1, -L_1\cos\theta_1) + (L_2\sin\theta_2, -L_2\cos\theta_2).</math>

Сила тяжести, действующая на массы определяется по следующей формуле:

<math>\mathbf{F}_1=(0,-m_1 g),\quad \mathbf{F}_2=(0,-m_2 g)</math>

где g — ускорение силы тяжести. Следовательно, виртуальная работа силы тяжести на две массы, во вемя их движения вдоль траектории r_i, i=1,2 даётся

<math> \delta W = \mathbf{F}_1\cdot\delta \mathbf{r}_1 + \mathbf{F}_2\cdot\delta \mathbf{r}_2.</math>

Вариации δr_i i=1, 2 задаются

<math> \delta \mathbf{r}_1 = (L_1\cos\theta_1, L_1\sin\theta_1)\delta\theta_1, \quad \delta \mathbf{r}_2 = (L_1\cos\theta_1, L_1\sin\theta_1)\delta\theta_1 +(L_2\cos\theta_2, L_2\sin\theta_2)\delta\theta_2</math>

Таким образом, виртуальная работа задаётся

<math>\delta W = -(m_1+m_2)gL_1\sin\theta_1\delta\theta_1 - m_2gL_2\sin\theta_2\delta\theta_2,</math>

и обобщённые силы

<math>F_{\theta_1} = -(m_1+m_2)gL_1\sin\theta_1,\quad F_{\theta_2} = -m_2gL_2\sin\theta_2.</math>

Для вычисления кинетической энергии системы

<math> T= \frac{1}{2}m_1 \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_1 + \frac{1}{2}m_2 \mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_2 = \frac{1}{2}(m_1+m_2)L_1^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2}m_2L_2^2\dot{\theta}_2^2 + m_2L_1L_2 \cos(\theta_2-\theta_1)\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2.</math>

Уравнения Лагранжа в неизвестных обобщённых координатах θ_i i=1, 2, даются

<math>(m_1+m_2)L_1^2\ddot{\theta}_1+m_2L_1L_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_2-\theta_1) + m_2L_1L_2\ddot{\theta_2}^2\sin(\theta_1-\theta_2) = -(m_1+m_2)gL_1\sin\theta_1,</math>

и

<math>m_2L_2^2\ddot{\theta}_2+m_2L_1L_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_2-\theta_1) + m_2L_1L_2\ddot{\theta_1}^2\sin(\theta_2-\theta_1)=-m_2gL_2\sin\theta_2.</math>

Использование обобщённых координат θ_i i=1, 2 представляет собой альтернативу формулировке динамики двойного маятника в декартовых координатах.

Обобщённые координаты и виртуальная работа

Принцип виртуальных перемещений гласит, что если система находится в статическом равновесии, виртуальная работа приложенных сил равна нулю для всех виртуальных перемещений системы из этого состояния, а именно, δW=0 для любой вариации δr. При формулировке в терминах обобщённых координат, это эквивалентно требованию, что обобщённые силы для любого виртуального перемещения равны нулю, то есть F_i=0.

Пусть силы действующие на систему F_j, j=1, …, m приложены к точкам с декартовыми координатами r_j, то j=1,…, m, тогда виртуальная работа, для виртуальнух перемещений из положения равновесия задаётся

<math>\delta W = \sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \delta\mathbf{r}_j.</math>

где δr_j, j=1, …, m обозначает виртуальные перемещения для каждой точки тела.

Теперь предположим, что каждое δr_j зависит от обобщённых координат q_i, i=1, …, n, тогда

<math> \delta \mathbf{r}_j = \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_1} \delta{q}_1 + \ldots + \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_n} \delta{q}_n,</math>

и

<math> \delta W = \left(\sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_1}\right) \delta{q}_1 + \ldots + \left(\sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_n}\right) \delta{q}_n. </math>

n условий

<math> F_i = \sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_i},\quad i=1,\ldots, n,</math>

— обобщённые силы, действующие на систему. Кэйн показывает, что эти обобщённые силы можно переписать в терминах производных по времени,

<math> F_i = \sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{v}_j}{\partial \dot{q}_i},\quad i=1,\ldots, n,</math>

где v_j — скорость точки приложения силы F_j.

Для того, для виртуальная работа обращалась в ноль для произвольного виртуального перемещения, каждая из обобщённых сил должна быть равна нулю, то есть

<math> \delta W = 0 \quad \Rightarrow \quad F_i =0, i=1,\ldots, n.</math>

См. также

• Гамильтонова механика
• Виртуальная работа
• Ортогональные координаты
• Криволинейные координаты
• Frenet-Serret формулы
• Матрица масс
• Матрица жесткости
• Обобщённые силы

Примечания

Комментарии

Источники

Литература

• В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. — 3-е изд. — М.: Наука, 1989. — 472 с.
• Engineering dynamics. — 3rd. — Cambridge UK: Cambridge University Press, 2008. — ISBN 978-0-521-88303-0.
• Classical Mechanics. — 5th. — River Edge NJ: Imperial College Press, 2004. — ISBN 1860944248.

Отрывок, характеризующий Обобщённые координаты

– Ca leur apprendra a incendier, [Это их научит поджигать.] – сказал кто то из французов. Пьер оглянулся на говорившего и увидал, что это был солдат, который хотел утешиться чем нибудь в том, что было сделано, но не мог. Не договорив начатого, он махнул рукою и пошел прочь.


После казни Пьера отделили от других подсудимых и оставили одного в небольшой, разоренной и загаженной церкви.
Перед вечером караульный унтер офицер с двумя солдатами вошел в церковь и объявил Пьеру, что он прощен и поступает теперь в бараки военнопленных. Не понимая того, что ему говорили, Пьер встал и пошел с солдатами. Его привели к построенным вверху поля из обгорелых досок, бревен и тесу балаганам и ввели в один из них. В темноте человек двадцать различных людей окружили Пьера. Пьер смотрел на них, не понимая, кто такие эти люди, зачем они и чего хотят от него. Он слышал слова, которые ему говорили, но не делал из них никакого вывода и приложения: не понимал их значения. Он сам отвечал на то, что у него спрашивали, но не соображал того, кто слушает его и как поймут его ответы. Он смотрел на лица и фигуры, и все они казались ему одинаково бессмысленны.
С той минуты, как Пьер увидал это страшное убийство, совершенное людьми, не хотевшими этого делать, в душе его как будто вдруг выдернута была та пружина, на которой все держалось и представлялось живым, и все завалилось в кучу бессмысленного сора. В нем, хотя он и не отдавал себе отчета, уничтожилась вера и в благоустройство мира, и в человеческую, и в свою душу, и в бога. Это состояние было испытываемо Пьером прежде, но никогда с такою силой, как теперь. Прежде, когда на Пьера находили такого рода сомнения, – сомнения эти имели источником собственную вину. И в самой глубине души Пьер тогда чувствовал, что от того отчаяния и тех сомнений было спасение в самом себе. Но теперь он чувствовал, что не его вина была причиной того, что мир завалился в его глазах и остались одни бессмысленные развалины. Он чувствовал, что возвратиться к вере в жизнь – не в его власти.
Вокруг него в темноте стояли люди: верно, что то их очень занимало в нем. Ему рассказывали что то, расспрашивали о чем то, потом повели куда то, и он, наконец, очутился в углу балагана рядом с какими то людьми, переговаривавшимися с разных сторон, смеявшимися.
– И вот, братцы мои… тот самый принц, который (с особенным ударением на слове который)… – говорил чей то голос в противуположном углу балагана.
Молча и неподвижно сидя у стены на соломе, Пьер то открывал, то закрывал глаза. Но только что он закрывал глаза, он видел пред собой то же страшное, в особенности страшное своей простотой, лицо фабричного и еще более страшные своим беспокойством лица невольных убийц. И он опять открывал глаза и бессмысленно смотрел в темноте вокруг себя.
Рядом с ним сидел, согнувшись, какой то маленький человек, присутствие которого Пьер заметил сначала по крепкому запаху пота, который отделялся от него при всяком его движении. Человек этот что то делал в темноте с своими ногами, и, несмотря на то, что Пьер не видал его лица, он чувствовал, что человек этот беспрестанно взглядывал на него. Присмотревшись в темноте, Пьер понял, что человек этот разувался. И то, каким образом он это делал, заинтересовало Пьера.
Размотав бечевки, которыми была завязана одна нога, он аккуратно свернул бечевки и тотчас принялся за другую ногу, взглядывая на Пьера. Пока одна рука вешала бечевку, другая уже принималась разматывать другую ногу. Таким образом аккуратно, круглыми, спорыми, без замедления следовавшими одно за другим движеньями, разувшись, человек развесил свою обувь на колышки, вбитые у него над головами, достал ножик, обрезал что то, сложил ножик, положил под изголовье и, получше усевшись, обнял свои поднятые колени обеими руками и прямо уставился на Пьера. Пьеру чувствовалось что то приятное, успокоительное и круглое в этих спорых движениях, в этом благоустроенном в углу его хозяйстве, в запахе даже этого человека, и он, не спуская глаз, смотрел на него.
– А много вы нужды увидали, барин? А? – сказал вдруг маленький человек. И такое выражение ласки и простоты было в певучем голосе человека, что Пьер хотел отвечать, но у него задрожала челюсть, и он почувствовал слезы. Маленький человек в ту же секунду, не давая Пьеру времени выказать свое смущение, заговорил тем же приятным голосом.
– Э, соколик, не тужи, – сказал он с той нежно певучей лаской, с которой говорят старые русские бабы. – Не тужи, дружок: час терпеть, а век жить! Вот так то, милый мой. А живем тут, слава богу, обиды нет. Тоже люди и худые и добрые есть, – сказал он и, еще говоря, гибким движением перегнулся на колени, встал и, прокашливаясь, пошел куда то.
– Ишь, шельма, пришла! – услыхал Пьер в конце балагана тот же ласковый голос. – Пришла шельма, помнит! Ну, ну, буде. – И солдат, отталкивая от себя собачонку, прыгавшую к нему, вернулся к своему месту и сел. В руках у него было что то завернуто в тряпке.
– Вот, покушайте, барин, – сказал он, опять возвращаясь к прежнему почтительному тону и развертывая и подавая Пьеру несколько печеных картошек. – В обеде похлебка была. А картошки важнеющие!
Пьер не ел целый день, и запах картофеля показался ему необыкновенно приятным. Он поблагодарил солдата и стал есть.
– Что ж, так то? – улыбаясь, сказал солдат и взял одну из картошек. – А ты вот как. – Он достал опять складной ножик, разрезал на своей ладони картошку на равные две половины, посыпал соли из тряпки и поднес Пьеру.
– Картошки важнеющие, – повторил он. – Ты покушай вот так то.
Пьеру казалось, что он никогда не ел кушанья вкуснее этого.
– Нет, мне все ничего, – сказал Пьер, – но за что они расстреляли этих несчастных!.. Последний лет двадцати.
– Тц, тц… – сказал маленький человек. – Греха то, греха то… – быстро прибавил он, и, как будто слова его всегда были готовы во рту его и нечаянно вылетали из него, он продолжал: – Что ж это, барин, вы так в Москве то остались?
– Я не думал, что они так скоро придут. Я нечаянно остался, – сказал Пьер.
– Да как же они взяли тебя, соколик, из дома твоего?
– Нет, я пошел на пожар, и тут они схватили меня, судили за поджигателя.
– Где суд, там и неправда, – вставил маленький человек.
– А ты давно здесь? – спросил Пьер, дожевывая последнюю картошку.
– Я то? В то воскресенье меня взяли из гошпиталя в Москве.
– Ты кто же, солдат?
– Солдаты Апшеронского полка. От лихорадки умирал. Нам и не сказали ничего. Наших человек двадцать лежало. И не думали, не гадали.
– Что ж, тебе скучно здесь? – спросил Пьер.
– Как не скучно, соколик. Меня Платоном звать; Каратаевы прозвище, – прибавил он, видимо, с тем, чтобы облегчить Пьеру обращение к нему. – Соколиком на службе прозвали. Как не скучать, соколик! Москва, она городам мать. Как не скучать на это смотреть. Да червь капусту гложе, а сам прежде того пропадае: так то старички говаривали, – прибавил он быстро.
– Как, как это ты сказал? – спросил Пьер.
– Я то? – спросил Каратаев. – Я говорю: не нашим умом, а божьим судом, – сказал он, думая, что повторяет сказанное. И тотчас же продолжал: – Как же у вас, барин, и вотчины есть? И дом есть? Стало быть, полная чаша! И хозяйка есть? А старики родители живы? – спрашивал он, и хотя Пьер не видел в темноте, но чувствовал, что у солдата морщились губы сдержанною улыбкой ласки в то время, как он спрашивал это. Он, видимо, был огорчен тем, что у Пьера не было родителей, в особенности матери.
– Жена для совета, теща для привета, а нет милей родной матушки! – сказал он. – Ну, а детки есть? – продолжал он спрашивать. Отрицательный ответ Пьера опять, видимо, огорчил его, и он поспешил прибавить: – Что ж, люди молодые, еще даст бог, будут. Только бы в совете жить…
– Да теперь все равно, – невольно сказал Пьер.
– Эх, милый человек ты, – возразил Платон. – От сумы да от тюрьмы никогда не отказывайся. – Он уселся получше, прокашлялся, видимо приготовляясь к длинному рассказу. – Так то, друг мой любезный, жил я еще дома, – начал он. – Вотчина у нас богатая, земли много, хорошо живут мужики, и наш дом, слава тебе богу. Сам сем батюшка косить выходил. Жили хорошо. Христьяне настоящие были. Случилось… – И Платон Каратаев рассказал длинную историю о том, как он поехал в чужую рощу за лесом и попался сторожу, как его секли, судили и отдали ь солдаты. – Что ж соколик, – говорил он изменяющимся от улыбки голосом, – думали горе, ан радость! Брату бы идти, кабы не мой грех. А у брата меньшого сам пят ребят, – а у меня, гляди, одна солдатка осталась. Была девочка, да еще до солдатства бог прибрал. Пришел я на побывку, скажу я тебе. Гляжу – лучше прежнего живут. Животов полон двор, бабы дома, два брата на заработках. Один Михайло, меньшой, дома. Батюшка и говорит: «Мне, говорит, все детки равны: какой палец ни укуси, все больно. А кабы не Платона тогда забрили, Михайле бы идти». Позвал нас всех – веришь – поставил перед образа. Михайло, говорит, поди сюда, кланяйся ему в ноги, и ты, баба, кланяйся, и внучата кланяйтесь. Поняли? говорит. Так то, друг мой любезный. Рок головы ищет. А мы всё судим: то не хорошо, то не ладно. Наше счастье, дружок, как вода в бредне: тянешь – надулось, а вытащишь – ничего нету. Так то. – И Платон пересел на своей соломе.
Помолчав несколько времени, Платон встал.
– Что ж, я чай, спать хочешь? – сказал он и быстро начал креститься, приговаривая:
– Господи, Иисус Христос, Никола угодник, Фрола и Лавра, господи Иисус Христос, Никола угодник! Фрола и Лавра, господи Иисус Христос – помилуй и спаси нас! – заключил он, поклонился в землю, встал и, вздохнув, сел на свою солому. – Вот так то. Положи, боже, камушком, подними калачиком, – проговорил он и лег, натягивая на себя шинель.
– Какую это ты молитву читал? – спросил Пьер.
– Ась? – проговорил Платон (он уже было заснул). – Читал что? Богу молился. А ты рази не молишься?
– Нет, и я молюсь, – сказал Пьер. – Но что ты говорил: Фрола и Лавра?
– А как же, – быстро отвечал Платон, – лошадиный праздник. И скота жалеть надо, – сказал Каратаев. – Вишь, шельма, свернулась. Угрелась, сукина дочь, – сказал он, ощупав собаку у своих ног, и, повернувшись опять, тотчас же заснул.
Наружи слышались где то вдалеке плач и крики, и сквозь щели балагана виднелся огонь; но в балагане было тихо и темно. Пьер долго не спал и с открытыми глазами лежал в темноте на своем месте, прислушиваясь к мерному храпенью Платона, лежавшего подле него, и чувствовал, что прежде разрушенный мир теперь с новой красотой, на каких то новых и незыблемых основах, воздвигался в его душе.


В балагане, в который поступил Пьер и в котором он пробыл четыре недели, было двадцать три человека пленных солдат, три офицера и два чиновника.
Все они потом как в тумане представлялись Пьеру, но Платон Каратаев остался навсегда в душе Пьера самым сильным и дорогим воспоминанием и олицетворением всего русского, доброго и круглого. Когда на другой день, на рассвете, Пьер увидал своего соседа, первое впечатление чего то круглого подтвердилось вполне: вся фигура Платона в его подпоясанной веревкою французской шинели, в фуражке и лаптях, была круглая, голова была совершенно круглая, спина, грудь, плечи, даже руки, которые он носил, как бы всегда собираясь обнять что то, были круглые; приятная улыбка и большие карие нежные глаза были круглые.
Платону Каратаеву должно было быть за пятьдесят лет, судя по его рассказам о походах, в которых он участвовал давнишним солдатом. Он сам не знал и никак не мог определить, сколько ему было лет; но зубы его, ярко белые и крепкие, которые все выкатывались своими двумя полукругами, когда он смеялся (что он часто делал), были все хороши и целы; ни одного седого волоса не было в его бороде и волосах, и все тело его имело вид гибкости и в особенности твердости и сносливости.
Лицо его, несмотря на мелкие круглые морщинки, имело выражение невинности и юности; голос у него был приятный и певучий. Но главная особенность его речи состояла в непосредственности и спорости. Он, видимо, никогда не думал о том, что он сказал и что он скажет; и от этого в быстроте и верности его интонаций была особенная неотразимая убедительность.
Физические силы его и поворотливость были таковы первое время плена, что, казалось, он не понимал, что такое усталость и болезнь. Каждый день утром а вечером он, ложась, говорил: «Положи, господи, камушком, подними калачиком»; поутру, вставая, всегда одинаково пожимая плечами, говорил: «Лег – свернулся, встал – встряхнулся». И действительно, стоило ему лечь, чтобы тотчас же заснуть камнем, и стоило встряхнуться, чтобы тотчас же, без секунды промедления, взяться за какое нибудь дело, как дети, вставши, берутся за игрушки. Он все умел делать, не очень хорошо, но и не дурно. Он пек, парил, шил, строгал, тачал сапоги. Он всегда был занят и только по ночам позволял себе разговоры, которые он любил, и песни. Он пел песни, не так, как поют песенники, знающие, что их слушают, но пел, как поют птицы, очевидно, потому, что звуки эти ему было так же необходимо издавать, как необходимо бывает потянуться или расходиться; и звуки эти всегда бывали тонкие, нежные, почти женские, заунывные, и лицо его при этом бывало очень серьезно.
Попав в плен и обросши бородою, он, видимо, отбросил от себя все напущенное на него, чуждое, солдатское и невольно возвратился к прежнему, крестьянскому, народному складу.
– Солдат в отпуску – рубаха из порток, – говаривал он. Он неохотно говорил про свое солдатское время, хотя не жаловался, и часто повторял, что он всю службу ни разу бит не был. Когда он рассказывал, то преимущественно рассказывал из своих старых и, видимо, дорогих ему воспоминаний «христианского», как он выговаривал, крестьянского быта. Поговорки, которые наполняли его речь, не были те, большей частью неприличные и бойкие поговорки, которые говорят солдаты, но это были те народные изречения, которые кажутся столь незначительными, взятые отдельно, и которые получают вдруг значение глубокой мудрости, когда они сказаны кстати.
Часто он говорил совершенно противоположное тому, что он говорил прежде, но и то и другое было справедливо. Он любил говорить и говорил хорошо, украшая свою речь ласкательными и пословицами, которые, Пьеру казалось, он сам выдумывал; но главная прелесть его рассказов состояла в том, что в его речи события самые простые, иногда те самые, которые, не замечая их, видел Пьер, получали характер торжественного благообразия. Он любил слушать сказки, которые рассказывал по вечерам (всё одни и те же) один солдат, но больше всего он любил слушать рассказы о настоящей жизни. Он радостно улыбался, слушая такие рассказы, вставляя слова и делая вопросы, клонившиеся к тому, чтобы уяснить себе благообразие того, что ему рассказывали. Привязанностей, дружбы, любви, как понимал их Пьер, Каратаев не имел никаких; но он любил и любовно жил со всем, с чем его сводила жизнь, и в особенности с человеком – не с известным каким нибудь человеком, а с теми людьми, которые были перед его глазами. Он любил свою шавку, любил товарищей, французов, любил Пьера, который был его соседом; но Пьер чувствовал, что Каратаев, несмотря на всю свою ласковую нежность к нему (которою он невольно отдавал должное духовной жизни Пьера), ни на минуту не огорчился бы разлукой с ним. И Пьер то же чувство начинал испытывать к Каратаеву.
Платон Каратаев был для всех остальных пленных самым обыкновенным солдатом; его звали соколик или Платоша, добродушно трунили над ним, посылали его за посылками. Но для Пьера, каким он представился в первую ночь, непостижимым, круглым и вечным олицетворением духа простоты и правды, таким он и остался навсегда.
Платон Каратаев ничего не знал наизусть, кроме своей молитвы. Когда он говорил свои речи, он, начиная их, казалось, не знал, чем он их кончит.
Когда Пьер, иногда пораженный смыслом его речи, просил повторить сказанное, Платон не мог вспомнить того, что он сказал минуту тому назад, – так же, как он никак не мог словами сказать Пьеру свою любимую песню. Там было: «родимая, березанька и тошненько мне», но на словах не выходило никакого смысла. Он не понимал и не мог понять значения слов, отдельно взятых из речи. Каждое слово его и каждое действие было проявлением неизвестной ему деятельности, которая была его жизнь. Но жизнь его, как он сам смотрел на нее, не имела смысла как отдельная жизнь. Она имела смысл только как частица целого, которое он постоянно чувствовал. Его слова и действия выливались из него так же равномерно, необходимо и непосредственно, как запах отделяется от цветка. Он не мог понять ни цены, ни значения отдельно взятого действия или слова.