Обратная функция

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции <math>f</math> обычно обозначается <math>f^{-1}</math>, иногда также используется обозначение <math>f^{\mathrm{inv}}</math>.





Определение

Функция <math>g:Y\to X</math> является обратной к функции <math>f:X\to Y</math>, если выполнены следующие тождества:

  • <math>f(g(y))=y</math> для всех <math>y\in Y;</math>
  • <math>g(f(x))=x</math> для всех <math>x\in X.</math>

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение <math>y = f(x)</math> относительно <math>x</math>. Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к <math>f</math> не существует. Таким образом, функция <math>f(x)</math> обратима на интервале <math>(a;b)</math> тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции <math>F(y)</math> выразить <math>y</math> из уравнения <math>x - F(y) = 0</math> возможно в том и только том случае, когда функция <math>F(y)</math> строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, <math>\sqrt{x}</math> является обратной функцией к <math>x^2</math> на <math>[0, +\infty)</math>, хотя на промежутке <math>(-\infty, 0]</math> обратная функция другая: <math>-\sqrt{x}</math>.

Примеры

  • Если <math>F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x</math>, где <math>a>0,</math> то <math>F^{-1}(x) = \log_a x.</math>
  • Если <math>F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}</math>, где <math>a,b\in \mathbb{R}</math> фиксированные постоянные и <math>a \neq 0</math>, то <math>F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.</math>
  • Если <math>F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z</math>, то <math>F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.</math>

Свойства

  • Областью определения <math>F^{-1}</math> является множество <math>Y</math>, а областью значений — множество <math>X</math>.
  • По построению имеем:
<math>y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)</math>

или

<math>F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y</math>,
<math>F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X</math>,

или короче

<math> F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y</math>,
<math> F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X</math>,

где <math>\circ</math> означает композицию функций, а <math>\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y</math> — тождественные отображения на <math>X</math> и <math>Y</math> соответственно.

  • Функция <math>F</math> является обратной к <math>F^{-1}</math>:
<math>\left(F^{-1}\right)^{-1} = F</math>.
  • Пусть <math>F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}</math> — биекция. Пусть <math>F^{-1}:Y \to X</math> её обратная функция. Тогда графики функций <math>y = F(x)</math> и <math>y = F^{-1}(x)</math> симметричны относительно прямой <math>y = x</math>.

Разложение в степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

<math>

F^{-1}(y) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x_0) \frac{(y-f(x_0))^k}{k!}, </math> где коэффициенты <math>A_k</math> задаются рекурсивной формулой:

<math>

A_k(x)=\begin{cases} A_0(x)=x \\ A_{n+1}(x)=\frac{A_n'(x)}{F'(x)}\end{cases} </math>

См. также

Напишите отзыв о статье "Обратная функция"

Отрывок, характеризующий Обратная функция

– Добро пожаловать, Яков Алпатыч. Народ из города, а ты в город, – сказал хозяин.
– Что ж так, из города? – сказал Алпатыч.
– И я говорю, – народ глуп. Всё француза боятся.
– Бабьи толки, бабьи толки! – проговорил Алпатыч.
– Так то и я сужу, Яков Алпатыч. Я говорю, приказ есть, что не пустят его, – значит, верно. Да и мужики по три рубля с подводы просят – креста на них нет!
Яков Алпатыч невнимательно слушал. Он потребовал самовар и сена лошадям и, напившись чаю, лег спать.
Всю ночь мимо постоялого двора двигались на улице войска. На другой день Алпатыч надел камзол, который он надевал только в городе, и пошел по делам. Утро было солнечное, и с восьми часов было уже жарко. Дорогой день для уборки хлеба, как думал Алпатыч. За городом с раннего утра слышались выстрелы.
С восьми часов к ружейным выстрелам присоединилась пушечная пальба. На улицах было много народу, куда то спешащего, много солдат, но так же, как и всегда, ездили извозчики, купцы стояли у лавок и в церквах шла служба. Алпатыч прошел в лавки, в присутственные места, на почту и к губернатору. В присутственных местах, в лавках, на почте все говорили о войске, о неприятеле, который уже напал на город; все спрашивали друг друга, что делать, и все старались успокоивать друг друга.
У дома губернатора Алпатыч нашел большое количество народа, казаков и дорожный экипаж, принадлежавший губернатору. На крыльце Яков Алпатыч встретил двух господ дворян, из которых одного он знал. Знакомый ему дворянин, бывший исправник, говорил с жаром.
– Ведь это не шутки шутить, – говорил он. – Хорошо, кто один. Одна голова и бедна – так одна, а то ведь тринадцать человек семьи, да все имущество… Довели, что пропадать всем, что ж это за начальство после этого?.. Эх, перевешал бы разбойников…
– Да ну, будет, – говорил другой.
– А мне что за дело, пускай слышит! Что ж, мы не собаки, – сказал бывший исправник и, оглянувшись, увидал Алпатыча.
– А, Яков Алпатыч, ты зачем?
– По приказанию его сиятельства, к господину губернатору, – отвечал Алпатыч, гордо поднимая голову и закладывая руку за пазуху, что он делал всегда, когда упоминал о князе… – Изволили приказать осведомиться о положении дел, – сказал он.
– Да вот и узнавай, – прокричал помещик, – довели, что ни подвод, ничего!.. Вот она, слышишь? – сказал он, указывая на ту сторону, откуда слышались выстрелы.
– Довели, что погибать всем… разбойники! – опять проговорил он и сошел с крыльца.
Алпатыч покачал головой и пошел на лестницу. В приемной были купцы, женщины, чиновники, молча переглядывавшиеся между собой. Дверь кабинета отворилась, все встали с мест и подвинулись вперед. Из двери выбежал чиновник, поговорил что то с купцом, кликнул за собой толстого чиновника с крестом на шее и скрылся опять в дверь, видимо, избегая всех обращенных к нему взглядов и вопросов. Алпатыч продвинулся вперед и при следующем выходе чиновника, заложив руку зазастегнутый сюртук, обратился к чиновнику, подавая ему два письма.