Обратное число
Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число, умножение которого на x, даёт единицу. Принятая запись: <math>\frac{1}x</math> или <math>x^{-1}</math>. Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными. Обратное число не следует путать с обратной функцией. Например, <math>\frac{1}{\cos{x}}</math> отличается от значения функции, обратной косинусу — арккосинуса, который обозначается <math>\cos^{-1}x</math> или <math>\arccos x</math>.
Содержание
Обратное к действительному числу
Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.
| Число | Обратное | |
| Дробь | Степень | |
| <math>n</math> | <math>\frac{1}{n}</math> | <math>n^{-1}</math> |
То есть <math>\ \frac{1}{n} = n^{-1}</math>.
| Примеры | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Число | <math>3</math> | <math>\frac{1}{10}</math> | <math>-\frac{2}{7}</math> | <math>2\pi</math> | <math>2</math> | <math>-0,125</math> | <math>1</math> | <math>\sqrt{3}</math> | <math>e^{\frac{\pi}{4}}</math> | <math>10^{23}</math> |
| Обратное | <math>\frac{1}{3}</math> | <math>10</math> | <math>-\frac{7}{2}</math> | <math>\frac{1}{2\pi}</math> | <math>0,5</math> | <math>-8</math> | <math>1</math> | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> | <math>e^{-\frac{\pi}{4}}</math> | <math>10^{-23}</math> |
Не стоит путать термины «обратное число» и «противоположное число». Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Например, число, противоположное к 3, это -3, а обратное 1/3.
Обратное к нулю
В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.
Используя предельный переход, получаем:
- Правый предел: <math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty</math> _ или _ <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} +0]{}\ {+\infty}</math>
- Левый предел: <math>\lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty</math> _ или _ <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} -0]{}\ {-\infty}</math>
Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−». Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также "равен" бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.
- <math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x^2}={+\infty}</math>
Но <math>\lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to +0} \frac{x^2}{x}=0</math>
Обратное к комплексному числу
Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.
| Формы комплексного числа | Число <math>(z)</math> | Обратное <math>\left ( \frac{1}{z} \right)</math> [1] |
| Алгебраическая | <math>x+iy</math> | <math>\frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}</math> |
| Тригонометрическая | <math>r(\cos\varphi+i \sin\varphi)</math> | <math>\frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi)</math> |
| Показательная | <math>re^{i \varphi}</math> | <math>\frac{1}{r}e^{-i \varphi}</math> |
Обозначение и доказательство
Доказательство:
<math>\frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}</math>
<math>\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos\varphi+i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{(\cos\varphi+i \sin\varphi)(\cos\varphi-i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi} = \frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi)</math>
<math>\frac{1}{z} = \frac{1}{re^{i \varphi}} = \frac{1}{r}e^{-i \varphi}</math> |
Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.
Пример:
| Формы комплексного числа | Число <math>(z)</math> | Обратное <math>\left ( \frac{1}{z} \right )</math> [1] |
| Алгебраическая | <math>1+i \sqrt{3}</math> | <math>\frac{1}{4}- \frac{\sqrt{3}}{4}i</math> |
| Тригонометрическая | <math>2 \left ( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \right )</math> или |
<math>\frac{1}{2} \left ( \cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3} \right )</math> или |
| Показательная | <math>2 e^{i \frac{\pi}{3}}</math> | <math>\frac{1}{2} e^{-i \frac{\pi}{3}}</math> |
Обратное к мнимой единице
Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это <math>\pm i</math>.
| Число | Равенство обратного и противоположного | |
| Запись обратного через дробь | Запись обратного через степень | |
| <math>i</math> | <math>\frac{1}{i}=-i</math> | <math>i^{-1}=-i</math> |
| <math>-i</math> | <math>- \frac{1}{i}=i</math> | <math>-i^{-1}=i</math> |
Доказательство Продемонстрируем доказательство для <math>i</math> (для <math>-i</math> аналогично). |
Напишите отзыв о статье "Обратное число"
Примечания
- ↑ 1 2 Обратное <math>\left ( \frac{1}{z} \right )</math> к комплексному числу <math>(z)</math> записывается в такой же форме, как и это число <math>(z)</math>.
- ↑ 1 2 Запись комплексного числа в тригонометрической форме с использованием конкретного значения косинуса и синуса аргумента: <math>\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \ \ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>
См. также
Отрывок, характеризующий Обратное число
Так говорится в историях, и все это совершенно несправедливо, в чем легко убедится всякий, кто захочет вникнуть в сущность дела.Русские не отыскивали лучшей позиции; а, напротив, в отступлении своем прошли много позиций, которые были лучше Бородинской. Они не остановились ни на одной из этих позиций: и потому, что Кутузов не хотел принять позицию, избранную не им, и потому, что требованье народного сражения еще недостаточно сильно высказалось, и потому, что не подошел еще Милорадович с ополчением, и еще по другим причинам, которые неисчислимы. Факт тот – что прежние позиции были сильнее и что Бородинская позиция (та, на которой дано сражение) не только не сильна, но вовсе не есть почему нибудь позиция более, чем всякое другое место в Российской империи, на которое, гадая, указать бы булавкой на карте.
Русские не только не укрепляли позицию Бородинского поля влево под прямым углом от дороги (то есть места, на котором произошло сражение), но и никогда до 25 го августа 1812 года не думали о том, чтобы сражение могло произойти на этом месте. Этому служит доказательством, во первых, то, что не только 25 го не было на этом месте укреплений, но что, начатые 25 го числа, они не были кончены и 26 го; во вторых, доказательством служит положение Шевардинского редута: Шевардинский редут, впереди той позиции, на которой принято сражение, не имеет никакого смысла. Для чего был сильнее всех других пунктов укреплен этот редут? И для чего, защищая его 24 го числа до поздней ночи, были истощены все усилия и потеряно шесть тысяч человек? Для наблюдения за неприятелем достаточно было казачьего разъезда. В третьих, доказательством того, что позиция, на которой произошло сражение, не была предвидена и что Шевардинский редут не был передовым пунктом этой позиции, служит то, что Барклай де Толли и Багратион до 25 го числа находились в убеждении, что Шевардинский редут есть левый фланг позиции и что сам Кутузов в донесении своем, писанном сгоряча после сражения, называет Шевардинский редут левым флангом позиции. Уже гораздо после, когда писались на просторе донесения о Бородинском сражении, было (вероятно, для оправдания ошибок главнокомандующего, имеющего быть непогрешимым) выдумано то несправедливое и странное показание, будто Шевардинский редут служил передовым постом (тогда как это был только укрепленный пункт левого фланга) и будто Бородинское сражение было принято нами на укрепленной и наперед избранной позиции, тогда как оно произошло на совершенно неожиданном и почти не укрепленном месте.
Дело же, очевидно, было так: позиция была избрана по реке Колоче, пересекающей большую дорогу не под прямым, а под острым углом, так что левый фланг был в Шевардине, правый около селения Нового и центр в Бородине, при слиянии рек Колочи и Во йны. Позиция эта, под прикрытием реки Колочи, для армии, имеющей целью остановить неприятеля, движущегося по Смоленской дороге к Москве, очевидна для всякого, кто посмотрит на Бородинское поле, забыв о том, как произошло сражение.
Наполеон, выехав 24 го к Валуеву, не увидал (как говорится в историях) позицию русских от Утицы к Бородину (он не мог увидать эту позицию, потому что ее не было) и не увидал передового поста русской армии, а наткнулся в преследовании русского арьергарда на левый фланг позиции русских, на Шевардинский редут, и неожиданно для русских перевел войска через Колочу. И русские, не успев вступить в генеральное сражение, отступили своим левым крылом из позиции, которую они намеревались занять, и заняли новую позицию, которая была не предвидена и не укреплена. Перейдя на левую сторону Колочи, влево от дороги, Наполеон передвинул все будущее сражение справа налево (со стороны русских) и перенес его в поле между Утицей, Семеновским и Бородиным (в это поле, не имеющее в себе ничего более выгодного для позиции, чем всякое другое поле в России), и на этом поле произошло все сражение 26 го числа. В грубой форме план предполагаемого сражения и происшедшего сражения будет следующий:
Ежели бы Наполеон не выехал вечером 24 го числа на Колочу и не велел бы тотчас же вечером атаковать редут, а начал бы атаку на другой день утром, то никто бы не усомнился в том, что Шевардинский редут был левый фланг нашей позиции; и сражение произошло бы так, как мы его ожидали. В таком случае мы, вероятно, еще упорнее бы защищали Шевардинский редут, наш левый фланг; атаковали бы Наполеона в центре или справа, и 24 го произошло бы генеральное сражение на той позиции, которая была укреплена и предвидена. Но так как атака на наш левый фланг произошла вечером, вслед за отступлением нашего арьергарда, то есть непосредственно после сражения при Гридневой, и так как русские военачальники не хотели или не успели начать тогда же 24 го вечером генерального сражения, то первое и главное действие Бородинского сражения было проиграно еще 24 го числа и, очевидно, вело к проигрышу и того, которое было дано 26 го числа.
После потери Шевардинского редута к утру 25 го числа мы оказались без позиции на левом фланге и были поставлены в необходимость отогнуть наше левое крыло и поспешно укреплять его где ни попало.
Но мало того, что 26 го августа русские войска стояли только под защитой слабых, неконченных укреплений, – невыгода этого положения увеличилась еще тем, что русские военачальники, не признав вполне совершившегося факта (потери позиции на левом фланге и перенесения всего будущего поля сражения справа налево), оставались в своей растянутой позиции от села Нового до Утицы и вследствие того должны были передвигать свои войска во время сражения справа налево. Таким образом, во все время сражения русские имели против всей французской армии, направленной на наше левое крыло, вдвое слабейшие силы. (Действия Понятовского против Утицы и Уварова на правом фланге французов составляли отдельные от хода сражения действия.)
Итак, Бородинское сражение произошло совсем не так, как (стараясь скрыть ошибки наших военачальников и вследствие того умаляя славу русского войска и народа) описывают его. Бородинское сражение не произошло на избранной и укрепленной позиции с несколько только слабейшими со стороны русских силами, а Бородинское сражение, вследствие потери Шевардинского редута, принято было русскими на открытой, почти не укрепленной местности с вдвое слабейшими силами против французов, то есть в таких условиях, в которых не только немыслимо было драться десять часов и сделать сражение нерешительным, но немыслимо было удержать в продолжение трех часов армию от совершенного разгрома и бегства.
25 го утром Пьер выезжал из Можайска. На спуске с огромной крутой и кривой горы, ведущей из города, мимо стоящего на горе направо собора, в котором шла служба и благовестили, Пьер вылез из экипажа и пошел пешком. За ним спускался на горе какой то конный полк с песельниками впереди. Навстречу ему поднимался поезд телег с раненными во вчерашнем деле. Возчики мужики, крича на лошадей и хлеща их кнутами, перебегали с одной стороны на другую. Телеги, на которых лежали и сидели по три и по четыре солдата раненых, прыгали по набросанным в виде мостовой камням на крутом подъеме. Раненые, обвязанные тряпками, бледные, с поджатыми губами и нахмуренными бровями, держась за грядки, прыгали и толкались в телегах. Все почти с наивным детским любопытством смотрели на белую шляпу и зеленый фрак Пьера.
