Обратные гиперболические функции

Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (известные также как а̀реафу́нкции) — семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x² − y² = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x² + y² = 1. Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такое обозначение является, строго говоря, ошибочным, так как arc является сокращением от arcus — дуга, тогда как префикс ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д.

В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.

Название функции	Обозначение в русской литературе	Обозначение в английской литературе
ареасинус	arsh	arsinh, sinh−1
ареакосинус	arch	arcosh, cosh−1
ареатангенс	arth	artanh, tanh−1
ареакотангенс	arcth	arcotanh, cotanh−1
ареасеканс	arsech	arsech, sech−1
ареакосеканс	arcsch	arcsch, csch−1

Определения функций

В комплексной плоскости функции можно определить формулами:

• гиперболический ареасинус

<math>

\operatorname{arsh}\, z = \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,);</math>

• гиперболический ареакосинус

<math>\operatorname{arch}\, z = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,);</math>

• гиперболический ареатангенс

<math>\operatorname{arth}\, z = \tfrac12\ln\left(\frac{1+z}{1-z}\right);</math>

• гиперболический ареакотангенс

<math>\operatorname{arcth}\, z = \tfrac12\ln\left(\frac{z+1}{z-1}\right);</math>

• гиперболический ареасеканс

<math>\operatorname{arsech}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \,\right);</math>

• гиперболический ареакосеканс

<math>\operatorname{arcsch}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right).</math>

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть <math>\sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i \varphi / 2},</math> если представить комплексное число z как <math> z=r e^{i \varphi} </math> при <math> -\pi < \varphi \le \pi </math>), а логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например <math>\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1},</math> которые не всегда верны для главных значений квадратных корней.

Разложение в ряд

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

<math>\begin{align}\operatorname{arsh}\, x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots \\

                      & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1.  \end{align} </math>

<math>\begin{align}\operatorname{arch}\, x & = \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\

                     & = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1. \end{align} </math>

<math>\begin{align}\operatorname{arth}\, x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\

                     & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1. \end{align} </math>

<math>\begin{align}\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\

                     & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1. \end{align} </math>

<math>\begin{align}\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arch} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\

                     & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1. \end{align} </math>

<math>\begin{align}\operatorname{arcth}\, x = \operatorname{arth} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\

                     & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1. \end{align} </math>

Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой

<math>\operatorname{arsh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}.</math>

Производные

<math>

\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arch}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}.\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcth}\, x & {}= \frac{-1}{1-x^2}.\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}.\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}.\\ \end{align}</math>

Для действительных x:

<math>

\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0.\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0. \end{align}</math> Пример дифференцирования: если θ = arsh x, то:

<math>\frac{d\,\operatorname{arsh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \operatorname{sh} \theta} = \frac{1} {\operatorname{ch} \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\operatorname{sh}^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.</math>

Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций

<math>\begin{align}

&\operatorname{sh}(\operatorname{arch}\,x) = \sqrt{x^{2} - 1},  \quad \quad |x| > 1; \\
&\operatorname{sh}(\operatorname{arth}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad \quad -1 < x < 1; \\
&\operatorname{ch}(\operatorname{arsh}\,x) = \sqrt{1+x^{2}}; \\
&\operatorname{ch}(\operatorname{arth}\,x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad \quad -1 < x < 1; \\
&\operatorname{th}(\operatorname{arsh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}; \\
&\operatorname{th}(\operatorname{arch}\,x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}, \quad \quad |x| > 1.

\end{align}</math>

Дополнительные формулы

<math>\operatorname{arsh} \;u \pm \operatorname{arsh} \;v = \operatorname{arsh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right).</math>

<math>\operatorname{arch} \;u \pm \operatorname{arch} \;v = \operatorname{arch} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right).</math>

<math>\operatorname{arth} \;u \pm \operatorname{arth} \;v = \operatorname{arth} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right).</math>

<math>\begin{align}\operatorname{arsh} \;u + \operatorname{arch} \;v & = \operatorname{arsh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\

                                                                         & = \operatorname{arch} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right). \end{align}</math>

<math>\begin{align}

2\operatorname{arch} x &=\operatorname{arch}(2x^2-1), &\quad\quad x\geq 1; \\ 4\operatorname{arch} x &=\operatorname{arch}(8x^4-8x^2+1), &\quad\quad x\geq 1; \\ 2\operatorname{arsh} x &= \operatorname{arch}(2x^2+1), &\quad\quad x\geq 0; \\ 4\operatorname{arsh} x &= \operatorname{arch}(8x^4+8x^2+1), &\quad\quad x\geq 0. \\ \end{align}</math>

См. также

• Гиперболические функции
• Обратные тригонометрические функции
• Таблица интегралов обратных гиперболических функций

Источники

• Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.

Ссылки

• [mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicFunctions.html Inverse hyperbolic functions] на сайте MathWorld
• [www.ucl.ac.uk/Mathematics/geomath/level2/hyper/hy8.html Inverse hyperbolic functions]

Отрывок, характеризующий Обратные гиперболические функции

– Смирно! – закричал Долохов и сдернул с окна офицера, который, запутавшись шпорами, неловко спрыгнул в комнату.
Поставив бутылку на подоконник, чтобы было удобно достать ее, Долохов осторожно и тихо полез в окно. Спустив ноги и расперевшись обеими руками в края окна, он примерился, уселся, опустил руки, подвинулся направо, налево и достал бутылку. Анатоль принес две свечки и поставил их на подоконник, хотя было уже совсем светло. Спина Долохова в белой рубашке и курчавая голова его были освещены с обеих сторон. Все столпились у окна. Англичанин стоял впереди. Пьер улыбался и ничего не говорил. Один из присутствующих, постарше других, с испуганным и сердитым лицом, вдруг продвинулся вперед и хотел схватить Долохова за рубашку.
– Господа, это глупости; он убьется до смерти, – сказал этот более благоразумный человек.
Анатоль остановил его:
– Не трогай, ты его испугаешь, он убьется. А?… Что тогда?… А?…
Долохов обернулся, поправляясь и опять расперевшись руками.
– Ежели кто ко мне еще будет соваться, – сказал он, редко пропуская слова сквозь стиснутые и тонкие губы, – я того сейчас спущу вот сюда. Ну!…
Сказав «ну»!, он повернулся опять, отпустил руки, взял бутылку и поднес ко рту, закинул назад голову и вскинул кверху свободную руку для перевеса. Один из лакеев, начавший подбирать стекла, остановился в согнутом положении, не спуская глаз с окна и спины Долохова. Анатоль стоял прямо, разинув глаза. Англичанин, выпятив вперед губы, смотрел сбоку. Тот, который останавливал, убежал в угол комнаты и лег на диван лицом к стене. Пьер закрыл лицо, и слабая улыбка, забывшись, осталась на его лице, хоть оно теперь выражало ужас и страх. Все молчали. Пьер отнял от глаз руки: Долохов сидел всё в том же положении, только голова загнулась назад, так что курчавые волосы затылка прикасались к воротнику рубахи, и рука с бутылкой поднималась всё выше и выше, содрогаясь и делая усилие. Бутылка видимо опорожнялась и с тем вместе поднималась, загибая голову. «Что же это так долго?» подумал Пьер. Ему казалось, что прошло больше получаса. Вдруг Долохов сделал движение назад спиной, и рука его нервически задрожала; этого содрогания было достаточно, чтобы сдвинуть всё тело, сидевшее на покатом откосе. Он сдвинулся весь, и еще сильнее задрожали, делая усилие, рука и голова его. Одна рука поднялась, чтобы схватиться за подоконник, но опять опустилась. Пьер опять закрыл глаза и сказал себе, что никогда уж не откроет их. Вдруг он почувствовал, что всё вокруг зашевелилось. Он взглянул: Долохов стоял на подоконнике, лицо его было бледно и весело.
– Пуста!
Он кинул бутылку англичанину, который ловко поймал ее. Долохов спрыгнул с окна. От него сильно пахло ромом.
– Отлично! Молодцом! Вот так пари! Чорт вас возьми совсем! – кричали с разных сторон.
Англичанин, достав кошелек, отсчитывал деньги. Долохов хмурился и молчал. Пьер вскочил на окно.
Господа! Кто хочет со мною пари? Я то же сделаю, – вдруг крикнул он. – И пари не нужно, вот что. Вели дать бутылку. Я сделаю… вели дать.
– Пускай, пускай! – сказал Долохов, улыбаясь.
– Что ты? с ума сошел? Кто тебя пустит? У тебя и на лестнице голова кружится, – заговорили с разных сторон.
– Я выпью, давай бутылку рому! – закричал Пьер, решительным и пьяным жестом ударяя по столу, и полез в окно.
Его схватили за руки; но он был так силен, что далеко оттолкнул того, кто приблизился к нему.
– Нет, его так не уломаешь ни за что, – говорил Анатоль, – постойте, я его обману. Послушай, я с тобой держу пари, но завтра, а теперь мы все едем к***.
– Едем, – закричал Пьер, – едем!… И Мишку с собой берем…
И он ухватил медведя, и, обняв и подняв его, стал кружиться с ним по комнате.


Князь Василий исполнил обещание, данное на вечере у Анны Павловны княгине Друбецкой, просившей его о своем единственном сыне Борисе. О нем было доложено государю, и, не в пример другим, он был переведен в гвардию Семеновского полка прапорщиком. Но адъютантом или состоящим при Кутузове Борис так и не был назначен, несмотря на все хлопоты и происки Анны Михайловны. Вскоре после вечера Анны Павловны Анна Михайловна вернулась в Москву, прямо к своим богатым родственникам Ростовым, у которых она стояла в Москве и у которых с детства воспитывался и годами живал ее обожаемый Боренька, только что произведенный в армейские и тотчас же переведенный в гвардейские прапорщики. Гвардия уже вышла из Петербурга 10 го августа, и сын, оставшийся для обмундирования в Москве, должен был догнать ее по дороге в Радзивилов.
У Ростовых были именинницы Натальи, мать и меньшая дочь. С утра, не переставая, подъезжали и отъезжали цуги, подвозившие поздравителей к большому, всей Москве известному дому графини Ростовой на Поварской. Графиня с красивой старшею дочерью и гостями, не перестававшими сменять один другого, сидели в гостиной.
Графиня была женщина с восточным типом худого лица, лет сорока пяти, видимо изнуренная детьми, которых у ней было двенадцать человек. Медлительность ее движений и говора, происходившая от слабости сил, придавала ей значительный вид, внушавший уважение. Княгиня Анна Михайловна Друбецкая, как домашний человек, сидела тут же, помогая в деле принимания и занимания разговором гостей. Молодежь была в задних комнатах, не находя нужным участвовать в приеме визитов. Граф встречал и провожал гостей, приглашая всех к обеду.
«Очень, очень вам благодарен, ma chere или mon cher [моя дорогая или мой дорогой] (ma сherе или mon cher он говорил всем без исключения, без малейших оттенков как выше, так и ниже его стоявшим людям) за себя и за дорогих именинниц. Смотрите же, приезжайте обедать. Вы меня обидите, mon cher. Душевно прошу вас от всего семейства, ma chere». Эти слова с одинаковым выражением на полном веселом и чисто выбритом лице и с одинаково крепким пожатием руки и повторяемыми короткими поклонами говорил он всем без исключения и изменения. Проводив одного гостя, граф возвращался к тому или той, которые еще были в гостиной; придвинув кресла и с видом человека, любящего и умеющего пожить, молодецки расставив ноги и положив на колена руки, он значительно покачивался, предлагал догадки о погоде, советовался о здоровье, иногда на русском, иногда на очень дурном, но самоуверенном французском языке, и снова с видом усталого, но твердого в исполнении обязанности человека шел провожать, оправляя редкие седые волосы на лысине, и опять звал обедать. Иногда, возвращаясь из передней, он заходил через цветочную и официантскую в большую мраморную залу, где накрывали стол на восемьдесят кувертов, и, глядя на официантов, носивших серебро и фарфор, расставлявших столы и развертывавших камчатные скатерти, подзывал к себе Дмитрия Васильевича, дворянина, занимавшегося всеми его делами, и говорил: «Ну, ну, Митенька, смотри, чтоб всё было хорошо. Так, так, – говорил он, с удовольствием оглядывая огромный раздвинутый стол. – Главное – сервировка. То то…» И он уходил, самодовольно вздыхая, опять в гостиную.