Общая тауберова теорема Винера

Общая тауберова теорема Винера — теорема об асимптотических свойствах линейных преобразований функций, имеющих не равное нулю преобразование Фурье. Была доказана Норбертом Винером в 1932 году.

Формулировка

Пусть <math>K_{1}</math> — функция из пространства <math>L_{1}</math>, преобразование Фурье которой не обращается в нуль ни в одной точке оси <math>(-\infty, \infty)</math>. Пусть <math>K_{2}</math> принадлежит <math>L_{1}</math>, а функция <math>f(x)</math> ограничена на промежутке <math>(-\infty, \infty)</math>. Если <math>\lim_{x \to \infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} K_{1}(x-y)f(y)dy = A \int \limits_{-\infty}^{\infty} K_{1}(x)dx (1)</math>, то <math>\lim_{x \to \infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} K_{2}(x-y)f(y)dy = A \int \limits_{-\infty}^{\infty} K_{2}(x)dx (2)</math>. С другой стороны, пусть <math>K_{1}</math> — функция из пространства <math>L_{1}</math>, преобразование Фурье которой имеет вещественный нуль. Тогда найдется ограниченная функция <math>f(x)</math> и функция <math>K_{2}(x)</math>, принадлежащая <math>L_{1}</math>, такая, что <math>(1)</math> выполняется, а <math>(2)</math> не имеет места.

Пояснения

Здесь <math>L_{1}</math> — обозначает пространство вещественных неограниченных функций, для которых существует предел <math>\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{A, B \to -\infty} \int \limits_{a}^{b} f_{A, B}(x) dx</math>.

Литература

• Норберт Винер. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. — Физматлит, 1963. — 256 с.

Отрывок, характеризующий Общая тауберова теорема Винера

Он взглянул на нее холодным, злым взглядом и подставил ей сморщенную, выбритую щеку. Всё выражение его лица говорило ей, что утренний разговор им не забыт, что решенье его осталось в прежней силе, и что только благодаря присутствию гостей он не говорит ей этого теперь.
Когда вышли в гостиную к кофе, старики сели вместе.
Князь Николай Андреич более оживился и высказал свой образ мыслей насчет предстоящей войны.
Он сказал, что войны наши с Бонапартом до тех пор будут несчастливы, пока мы будем искать союзов с немцами и будем соваться в европейские дела, в которые нас втянул Тильзитский мир. Нам ни за Австрию, ни против Австрии не надо было воевать. Наша политика вся на востоке, а в отношении Бонапарта одно – вооружение на границе и твердость в политике, и никогда он не посмеет переступить русскую границу, как в седьмом году.
– И где нам, князь, воевать с французами! – сказал граф Ростопчин. – Разве мы против наших учителей и богов можем ополчиться? Посмотрите на нашу молодежь, посмотрите на наших барынь. Наши боги – французы, наше царство небесное – Париж.
Он стал говорить громче, очевидно для того, чтобы его слышали все. – Костюмы французские, мысли французские, чувства французские! Вы вот Метивье в зашей выгнали, потому что он француз и негодяй, а наши барыни за ним ползком ползают. Вчера я на вечере был, так из пяти барынь три католички и, по разрешенью папы, в воскресенье по канве шьют. А сами чуть не голые сидят, как вывески торговых бань, с позволенья сказать. Эх, поглядишь на нашу молодежь, князь, взял бы старую дубину Петра Великого из кунсткамеры, да по русски бы обломал бока, вся бы дурь соскочила!