Объём (геометрия)
Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.
Содержание
Подходы к определению
Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многообразий понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.
Понятие объёма допускает естественное обобщения до понятия <math>n</math>-мерного объёма в <math>n</math>-мерном пространстве, также на случай римановых и псевдоримановых пространств произвольной размерности.
Объёмы простейших тел
| Фигура | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Куб | <math>c^3</math> | <math>c</math> — ребро куба |
| Призма | <math>Sh</math> | <math>S</math> — площадь основания, <math>h</math> — высота призмы |
| Цилиндр | <math>\pi r^2h</math> | <math>r</math> — радиус, <math>h</math> — высота цилиндра |
| Шар | <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math> | <math>r</math> — радиус |
| Эллипсоид | <math>\frac{4}{3}\pi abc</math> | <math>a,\;b,\;c</math> — главные оси |
| Пирамида | <math>\frac{1}{3}Ah</math> | <math>A</math> — площадь основания, <math>h</math> — высота пирамиды |
| Конус | <math>\frac{1}{3}\pi r^2h</math> | <math>r</math> — радиус основания, <math>h</math> — высота конуса |
Архимед сумел установить, что сфера и конусы с общей вершиной, вписанные в цилиндр, соотносятся следующим образом: два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр. [1]
Интегральная формула
Объём тела в трехмерном пространстве вычисляется как определённый интеграл:
- <math>V = \iiint\limits_{\R^3}\chi(x,y,z)dxdydz</math>,
где <math>\chi(x, y, z)</math> — характеристическая функция геометрического образа тела.
См. также
Напишите отзыв о статье "Объём (геометрия)"
Примечания
- ↑ [100 человек, которые изменили ход истории. Еженедельное издание. Архимед (Выпуск № 12, 2008). Блестящий ум]
Литература
- Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф., Основные математические формулы. Справочник/Под ред. Богданова Ю. С. Изд. второе, перераб. и доп. Минск, «Вышэйшая школа», 1988
- Мерзон Г.А., Ященко И.В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
- Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. — 4-е изд., испр. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с.
Отрывок, характеризующий Объём (геометрия)
Вернувшись домой, князь Андрей стал вспоминать свою петербургскую жизнь за эти четыре месяца, как будто что то новое. Он вспоминал свои хлопоты, искательства, историю своего проекта военного устава, который был принят к сведению и о котором старались умолчать единственно потому, что другая работа, очень дурная, была уже сделана и представлена государю; вспомнил о заседаниях комитета, членом которого был Берг; вспомнил, как в этих заседаниях старательно и продолжительно обсуживалось всё касающееся формы и процесса заседаний комитета, и как старательно и кратко обходилось всё что касалось сущности дела. Он вспомнил о своей законодательной работе, о том, как он озабоченно переводил на русский язык статьи римского и французского свода, и ему стало совестно за себя. Потом он живо представил себе Богучарово, свои занятия в деревне, свою поездку в Рязань, вспомнил мужиков, Дрона старосту, и приложив к ним права лиц, которые он распределял по параграфам, ему стало удивительно, как он мог так долго заниматься такой праздной работой.На другой день князь Андрей поехал с визитами в некоторые дома, где он еще не был, и в том числе к Ростовым, с которыми он возобновил знакомство на последнем бале. Кроме законов учтивости, по которым ему нужно было быть у Ростовых, князю Андрею хотелось видеть дома эту особенную, оживленную девушку, которая оставила ему приятное воспоминание.
Наташа одна из первых встретила его. Она была в домашнем синем платье, в котором она показалась князю Андрею еще лучше, чем в бальном. Она и всё семейство Ростовых приняли князя Андрея, как старого друга, просто и радушно. Всё семейство, которое строго судил прежде князь Андрей, теперь показалось ему составленным из прекрасных, простых и добрых людей. Гостеприимство и добродушие старого графа, особенно мило поразительное в Петербурге, было таково, что князь Андрей не мог отказаться от обеда. «Да, это добрые, славные люди, думал Болконский, разумеется, не понимающие ни на волос того сокровища, которое они имеют в Наташе; но добрые люди, которые составляют наилучший фон для того, чтобы на нем отделялась эта особенно поэтическая, переполненная жизни, прелестная девушка!»
Князь Андрей чувствовал в Наташе присутствие совершенно чуждого для него, особенного мира, преисполненного каких то неизвестных ему радостей, того чуждого мира, который еще тогда, в отрадненской аллее и на окне, в лунную ночь, так дразнил его. Теперь этот мир уже более не дразнил его, не был чуждый мир; но он сам, вступив в него, находил в нем новое для себя наслаждение.
После обеда Наташа, по просьбе князя Андрея, пошла к клавикордам и стала петь. Князь Андрей стоял у окна, разговаривая с дамами, и слушал ее. В середине фразы князь Андрей замолчал и почувствовал неожиданно, что к его горлу подступают слезы, возможность которых он не знал за собой. Он посмотрел на поющую Наташу, и в душе его произошло что то новое и счастливое. Он был счастлив и ему вместе с тем было грустно. Ему решительно не об чем было плакать, но он готов был плакать. О чем? О прежней любви? О маленькой княгине? О своих разочарованиях?… О своих надеждах на будущее?… Да и нет. Главное, о чем ему хотелось плакать, была вдруг живо сознанная им страшная противуположность между чем то бесконечно великим и неопределимым, бывшим в нем, и чем то узким и телесным, чем он был сам и даже была она. Эта противуположность томила и радовала его во время ее пения.
