Однородная функция

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Однородность»)
Перейти к: навигация, поиск

Однородная функция степени <math>q</math> — числовая функция <math>f:\R^n\to\R</math> такая, что для любого <math>\mathbf{v}\in\R^n</math> и <math>\lambda \in\R </math> выполняется равенство:

<math> f(\lambda \mathbf{v}) = \lambda^q f(\mathbf{v}), \qquad\qquad (*) </math>

причём <math>q</math> называют порядком однородности.

Различают также

  • положительно однородные функции, для которых равенство <math>(*)</math> выполняется только для положительных <math>\lambda </math> <math>(\lambda > 0),</math>
  • абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
        <math> f(\lambda \mathbf{v}) = |\lambda|^q f(\mathbf{v}), </math>
  • ограниченно однородные функции, для которых равенство <math>(*)</math> выполняется только для некоторых выделенных значений <math>\lambda, </math>
  • комплексные однородные функции <math>f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}</math> для которых равенство <math>(*)</math> справедливо при <math>\mathbf{v}\in\mathbb{C}^n</math> и <math>\lambda \in\R </math> или <math>\lambda \in\mathbb{C} </math> (а также для комплексных показателей <math>q \in\mathbb{C} </math>).




Альтернативное определение однородной функции

В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения <math>f(\lambda\mathbf{v})=g(\lambda)f(\mathbf{v})</math> с заранее неопределённой функцией <math>g(\lambda)</math> и лишь потом доказывается, что <math>g(\lambda)=\lambda^q.</math> Для единственности решения <math>g(\lambda)=\lambda^q</math> нужно дополнительное условие, что функция <math>f(\mathbf{v})</math> не равна тождественно нулю и что функция <math>g(\lambda)</math> принадлежит определённому классу функций (например, была непрерывной или была монотонной). Однако, если функция <math>f(\mathbf{v})</math> непрерывна хотя бы в одной точке с ненулевым значением функции, то <math>g(\lambda)</math> должна быть непрерывной функцией при всех значениях <math>\lambda,</math> и тем самым для широкого класса функций <math>f(\mathbf{v})</math> случай <math>g(\lambda)\equiv\lambda^q</math> — единственно возможный.

Обоснование:

Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению <math>f(\lambda\mathbf{v})=g(\lambda)f(\mathbf{v})</math> при любом выборе функции <math>g(\lambda),</math> однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса.

Если же в какой-то точке <math>\mathbf{v}_0</math> значение <math>f(\mathbf{v}_0)\ne0,</math> то:

  1. <math>g(\lambda_1\lambda_2)f(\mathbf{v}_0)=f(\lambda_1\lambda_2 \mathbf{v}_0)=g(\lambda_1)f(\lambda_2 \mathbf{v}_0)=g(\lambda_1)g(\lambda_2) f(\mathbf{v}_0)</math>, откуда <math>\forall\lambda_1,\lambda_2: g(\lambda_1\lambda_2)=g(\lambda_1)g(\lambda_2);</math>
  2. <math>g(\lambda_1\lambda_2)=g(\lambda_1)g(\lambda_2) \Leftrightarrow G(\mu_1+\mu_2)=G(\mu_1) + G(\mu_2), </math> где <math>\mu=\log\lambda, G(\mu)=\log g(\exp(\mu)).</math>

Функциональное уравнение Коши <math>G(\mu_1+\mu_2)=G(\mu_1) + G(\mu_2)</math> имеет решение в виде линейной функции: <math>G(t)=q \cdot t,</math> причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что <math>g(\lambda)</math> непрерывная или монотонная функция, то <math>g(\lambda)\equiv\lambda^q.</math>



Свойства

  1. Если <math>f_1,f_2,\dots</math> — однородные функции одного и того же порядка <math>q,</math> то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами будет однородной функцией того же порядка <math>q.</math>
  2. Если <math>f_1,f_2,\dots</math> — однородные функции с порядками <math>q_1,q_2,\dots,</math> то их произведение будет однородной функцией с порядком <math>q=q_1+q_2+\dots.</math>
  3. Если <math>f</math> — однородная функция порядка <math>q,</math> то её <math>m</math>-ая степень (не обязательно целочисленная), если она имеет смысл (то есть если <math>m</math> — целое число, или если значение <math>f</math> положительно), будет однородной функцией порядка <math>m q</math> на соответствующей области определения. В частности, если <math>f</math> — однородная функция порядка <math>q</math>, то <math>1/f</math> будет однородной функцией порядка <math>(-q)</math> и областью определения в точках, где <math>f</math> определена и не равна нулю.
  4. Если <math>f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)</math> — однородная функция порядка <math>p,</math> а <math>h_k\left(y_1,y_2,\dots,y_m\right)</math> — однородные функции порядка <math>q,</math> то суперпозиция функций <math>F\left(y_1,y_2,\dots,y_m\right)=f\left(h_1,h_2,\dots,h_n\right)</math> будет однородной функцией порядка <math>pq.</math>
  5. Логарифм однородной функции нулевого порядка или логарифм модуля однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Логарифм однородной функции или логарифм модуля однородной функции является однородной функцией тогда и только тогда, когда порядок однородности самой функции равен нулю.
  6. Модуль однородной функции или модуль абсолютно-однородной функции является абсолютно-однородной функцией. Модуль однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Абсолютно-однородная функция нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка.
  7. Произвольная функция от однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка.
  8. Если имеется непрерывная или монотонная функция <math>g(y)</math>, причём <math>g\left(f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right)</math> —— однородная функция, где <math>f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)</math> —— однородная функция ненулевого порядка, то <math>g(y)=c y^m</math> —— степенная функция во всех точках <math>y</math>, в которых уравнение <math>y=f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)</math> имеет решение. В частности, <math>f(x)=c x^q</math> —— единственная монотонная или непрерывная функция одного переменного, являющаяся однородной функцией порядка <math>q</math> . (Доказательство дублирует рассуждения из раздела «Альтернативное определение однородной функции» этой статьи. При этом если снять ограничение, что функция <math>g(y)</math> —— непрерывная или же монотонная, то могут иметься и другие, весьма экзотические решения для <math>g(y)</math>, см. статью «Базис Гамеля».)
  9. Если функция  <math>f</math>  является многочленом от  <math>n</math>  переменных, то она будет однородной функцией степени  <math>q</math>  в том и только в том случае, когда  <math>f</math> — однородный многочлен степени  <math>q.</math>  В частности, в этом случае порядок однородности <math>q</math>  должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства надо сгруппировать вместе мономы многочлена <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с одинаковыми порядками однородности <math>k_j=i_1+i_2+\dots+i_n</math>, подставить результат в равенство <math>(*)</math> и использовать тот факт, что степенные функции <math>\lambda^{k_1},\lambda^{k_2},\dots</math> с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с нецелочисленными индексами.
  10. Если конечное произведение многочленов является однородной функцией, то каждый сомножитель является однородным многочленом. (Для доказательства выберем в каждом сомножителе мономы <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с минимальным и максимальным порядками однородности <math>k=i_1+i_2+\dots+i_n</math>. Поскольку после перемножения получившийся многочлен должен состоять из мономов с одним и тем же порядком однородности, то для каждого сомножителя минимальный и максимальный порядок однородности должен быть одним и тем же числом.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с нецелочисленными индексами.
  11. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции <math>f=\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}</math> являются являются однородными многочленами, функция будет однородной с порядком однородности, равным разности порядков однородности числителя и знаменателя. Если дробно-рациональная функция является однородной, её числитель и знаменатель с точностью до общего множителя — однородные многочлены. Утверждение можно обобщить на случай дробно-рационального отношения линейных комбинаций мономов вида <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с нецелочисленными индексами.
  12. Однородная функция ненулевой степени в нуле равна нулю, если она там определена:  <math> f(\mathbf{0}) = 0.</math>  (Получается при подстановке в равенство <math>(*)</math> значения  <math>\lambda=0</math>  либо, в случае отрицательной степени однородности, значения <math>\mathbf{v}=0.</math>) Однородная функция нулевой степени, если она определена в нуле, может принимать в этой точке любое значение.
  13. Если однородная функция нулевой степени непрерывна в нуле, то она является константой (произвольной). Если однородная функция отрицательной степени непрерывна в нуле, то она тождественный ноль. (Преобразованием <math> \mathbf{v'} = \lambda \mathbf{v}</math> можно любую точку <math>\mathbf{v}</math> сколь угодно близко приблизить к нулю. Поэтому если функция в нуле непрерывна, то можно выразить значение функции в точке <math>\mathbf{v}</math> через её значение в точке <math>\mathbf{0}</math> с помощью соотношения <math> \lim_{\lambda\to0} \lambda^q f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{0}).</math>)
  14. Если однородная функция <math>f</math> в нуле является аналитической (то есть, разлагается в сходящийся ряд Тейлора с ненулевым радиусом сходимости), то она является многочленом (однородным многочленом). В частности, в этом случае порядок однородности должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства достаточно представить функцию в виде ряда Тейлора, сгруппировать вместе члены ряда Тейлора <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с одинаковыми порядками однородности <math>k_j=i_1+i_2+\dots+i_n</math>, подставить результат в равенство <math>(*)</math> и использовать, что степенные функции <math>\lambda^{k_1},\lambda^{k_2},\dots</math> с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.)
  15. Функция  <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1) </math> , где  <math> h(t_2,t_3,...,t_n) </math> — функция  <math> (n-1) </math>  переменных, является однородной функцией с порядком однородности  <math> q. </math>  Функция  <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1), </math>  где  <math> h(t_2,t_3,...,t_n) </math> — функция  <math> (n-1) </math>  переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности  <math> q. </math> 
  16. Соотношение Эйлера: для дифференцируемых однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности:  <math> \mathbf{v} \cdot \nabla f(\mathbf{v}) = qf(\mathbf{v})</math>  или, в эквивалентной записи,  <math> \sum x_k f'_{x_k} = qf.</math>  Получается при дифференцировании равенства <math>(*)</math> по  <math>\lambda</math>  при  <math>\lambda=1.</math> 
  17. Если  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности  <math>q</math> , то её первые частные производные по каждой из независимых переменных <math>f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n)</math> — это однородные функции c порядком однородности  <math>q-1</math>.  Для доказательства достаточно продифференцировать по  <math>x_k</math>  правую и левую части тождества  <math>f(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^q f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>  и получить тождество  <math>f'_{x_k}(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^{q-1} f'_{x_k}(x_1, x_2, \ldots, x_n).</math> 
  18. Если  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> — однородная функция c порядком однородности  <math>q</math> , то её интеграл (при условии существования такого интеграла) по любой независимой переменной начиная от нуля <math>F(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1}f(t,x_2,...,x_n)dt</math>  — это однородные функции c порядком однородности  <math>q+1.</math> Доказательство: <math>F(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)=</math><math>\int_0^{\lambda x_1}f(t,\lambda x_2,...,\lambda x_n)dt=</math><math>\lambda \int_0^{x_1}f(\lambda t',\lambda x_2,...,\lambda x_n)dt'=</math><math>\lambda^{q+1} \int_0^{x_1}f(t',x_2,...,x_n)dt'=</math><math>\lambda^{q+1} F(x_1,x_2,...,x_n)</math> (здесь сделана замена переменной интегрирования <math>t=\lambda t'</math>).
  19. Если  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> — однородная функция c порядком однородности  <math>q</math> , то её дробная производная (дифферинтеграл) порядка <math>\alpha</math>, вычисляемая как <math>G(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{d^n}{dx_1^n}\int_0^{x_1} (x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,x_2,...,x_n)\,dt</math> по любой независимой переменной начиная от нуля (при условии существования соответствующего интеграла, для чего требуется выбирать <math>n>\alpha</math>) — это однородные функции c порядком однородности  <math>q-\alpha.</math> Рассмотрим функцию <math>H(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1} (x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,x_2,...,x_n)\,dt</math> . Тогда <math>H(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)=</math><math>\int_0^{\lambda x_1} (\lambda x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,\lambda x_2,...,\lambda x_n)\,dt=</math><math>\lambda \int_0^{x_1} (\lambda x_1-\lambda t')^{n-\alpha-1}f(\lambda t',\lambda x_2,...,\lambda x_n)\,dt'=</math><math>\lambda^{q+n-\alpha} \int_0^{x_1}(x_1-t')^{n-\alpha-1}f(t',x_2,...,x_n)dt'=</math><math>\lambda^{q+n-\alpha} H(x_1,x_2,...,x_n)</math> (здесь сделана замена переменной интегрирования <math>t=\lambda t'</math>). После <math>n</math>-кратного дифференцирования по переменной <math>x_1</math> однородная функция <math>H(x_1,x_2,...,x_n)</math> порядка <math>q+n-\alpha</math> становится однородной функцией c порядком однородности  <math>q-\alpha</math> .
  20. Если  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> — однородная функция c порядком однородности  <math>q</math> , то её <math>n</math>-мерная свёртка с обобщённым Абелевым ядром, вычисляемая как <math>H(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (x_1^{k_1}-t_1^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(x_n^{k_n}-t_n^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1,...,t_n)\,dt_1\dots dt_n</math> (при условии существования соответствующего интеграла) — это однородная функция c порядком однородности  <math>q+\mu_1+\dots+\mu_n</math> . Доказательство: <math>H(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)=</math><math>\int_0^{\lambda x_1}\dots\int_0^{\lambda x_n} (\lambda^{k_1} x_1^{k_1}-t_1^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(\lambda^{k_n} x_n^{k_n}-t_n^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1,...,t_n)\,dt_1\dots dt_n=</math><math>\lambda^n \int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (\lambda^{k_1} x_1^{k_1}-\lambda^{k_1} t_1'^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(\lambda^{k_n} x_n^{k_n}-\lambda^{k_n} t_n'^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(\lambda t_1',...,\lambda t_n')\,dt_1'\dots dt_n'=</math><math>\lambda^{q+\mu_1+\dots+\mu_n} \int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (x_1^{k_1}-t_1'^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(x_n^{k_n}-t_n'^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1',...,t_n')\,dt_1'\dots dt_n'=</math><math>\lambda^{q+\mu_1+\dots+\mu_n} H(x_1,x_2,...,x_n)</math> , где сделана замена переменных интегрирования <math>t_k=\lambda t_k'</math> . (Примечание: возможно выполнение свёртки только по части переменных.)


Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности <math> q </math> может быть представлена в форме

     <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1), </math> 

где  <math> h(t_2,t_3,...,t_n) </math> — некоторая функция  <math> (n-1) </math>  переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности  <math> q </math>  может быть представлена как

  <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1), </math> 

где  <math> h(t_2,t_3,...,t_n) </math> — некоторая функция  <math> (n-1) </math>  переменных.



Следствие. Любая однородная функция степени <math>q</math> (абсолютно-однородная функция степени <math>q</math>) может быть представлена в форме

     <math>f(x_1,x_2,...,x_n)=\phi(x_1,x_2,...,x_n)\cdot h(\phi_1(x_1,x_2,...,x_n),\phi_2(x_1,x_2,...,x_n),...,\phi_{n-1}(x_1,x_2,...,x_n)),</math> 

где  <math>h(t_1,t_2,...,t_{n-1})</math> — некоторая подходящая функция  <math> (n-1) </math>  переменных, <math>\phi(x_1,x_2,...,x_n)</math> — фиксированная однородная функция степени <math>q</math> (фиксированная абсолютно-однородная функция степени <math>q</math>), а <math>\phi_1(x_1,x_2,...,x_n),</math> <math>\phi_2(x_1,x_2,...,x_n))</math>, ..., <math>\phi_{n-1}(x_1,x_2,...,x_n))</math> — фиксированные функционально-независимые однородные функции нулевой степени. При фиксированном выборе функций <math>\phi,\phi_1,\phi_2,...,\phi_{n-1}</math> это представление задаёт взаимно-однозначное соответствие между однородными функциями <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> степени <math>q</math> от <math>n</math> переменных и функциями <math>h(t_1,t_2,...,t_{n-1})</math> от <math>(n-1)</math> переменных.


Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы дифференцируемая функция  <math> f(x_1,x_2,...,x_n) </math>  была однородной функцией с порядком однородности  <math> q, </math>  необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

 <math> \sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n). </math> 


Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности <math>(*)</math> справедливо в некотором интервале значений  <math>\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]\sub \left[0,\infty\right),</math>  то оно справедливо для всех  <math>\lambda>0.</math> 


Лямбда-однородные функции

Пусть задан вектор  <math> \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n). </math>  Функция <math>n</math> переменных  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math>  называется <math>\lambda</math>-однородной c порядком однородности  <math>q</math> , если при любых  <math>t>0</math>  и любых  <math> \mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)\in {\R}^n </math>  справедливо тождество

<math> f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^qf(x_1,x_2,...,x_n). </math>


При  <math>\lambda_k=1</math>  <math>\lambda</math>-однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности  <math>q</math>  вводят степень однородности  <math>m</math>,  определяемую из соотношения

<math> f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^{m\frac{|\mathbf{\lambda}|}{n}}f(x_1,x_2,...,x_n), </math>

где  <math> |\mathbf{\lambda}|=\sum|\lambda_k|. </math>  Для обычных однородных функций порядок однородности  <math>q</math>  и степень однородности  <math>m</math>  совпадают.


Если частные производные  <math>f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n)</math>  непрерывны в <math>\R^n</math>, то для <math>\lambda</math>-однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для  <math>\lambda</math>-однородности в точке  <math>t=1</math>:

<math> \sum \lambda_x x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n). </math>

Как и в случае обычных однородных функций, это соотношение является необходимым и достаточным, чтобы функция  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math>  была <math>\lambda</math>-однородной функцией с вектором  <math> (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) </math>  и порядком однородности  <math>q.</math>  Для доказательства достаточности надо рассмотреть функцию  <math> \varphi(t) = t^{-q} f(t^{\lambda_1} x_1,t^{\lambda_2} x_2,...,t^{\lambda_n} x_n)</math>  и убедиться, что при выполнении указанного дифференциального соотношения её производная равна нулю, то есть что эта функция константа и что  <math>\varphi(t) \equiv \varphi(1).</math>


Если  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> — <math>\lambda</math>-однородная функция с вектором  <math> \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)</math>  и порядком однородности  <math>q</math>,  то она же является <math>\lambda</math>-однородной функцией с вектором <math> \mathbf{\lambda} = (\alpha\lambda_1,\alpha\lambda_2,...,\alpha\lambda_n)</math>  и порядком однородности  <math>\alpha q</math>  (следует из подстановки в тождество для <math>\lambda</math>-однородности нового параметра  <math>t'\to t^{\alpha}</math>). В силу этого при рассмотрении <math>\lambda</math>-однородных функций достаточно ограничиваться случаем  <math> \sum|\lambda_k|=const. </math>  В частности, нормировка  <math> \sum|\lambda_k|</math>  может выбираться таким образом, чтобы порядок однородности  <math>q</math>  был равен заранее фиксированному значению. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что  <math> \lambda_k \neq 0. </math> 


При замене переменных  <math> x_k=y_k^{\lambda_k}</math>  <math>\lambda</math>-однородная функция  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math>  с вектором  <math> \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)</math>  и порядком однородности  <math>q</math>  переходит в обычную однородную функцию  <math>g(y_1,y_2,...,y_n)</math>  с порядком однородности  <math>q</math>.  Отсюда следует, что общее представление для <math>\lambda</math>-однородных функций с вектором  <math> \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)</math>  и порядком однородности  <math>q</math>  имеет вид:

<math> f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^{q/\lambda_1}\cdot h(x_2^{1/\lambda_2}/x_1^{1/\lambda_1}, x_3^{1/\lambda_3}/x_1^{1/\lambda_1}, \ldots, x_n^{1/\lambda_n}/x_1^{1/\lambda_1}), </math>

где <math> h(t_2,t_3,...,t_n) </math> — некоторая функция <math> (n-1) </math> переменных.

Источник: Я. С. Бугров, С. М. Никольский, Высшая математика: учебник для вузов (в 3 т.), Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление (www.sernam.ru/lect_math2.php), раздел 8.8.4.

Оператор Эйлера

Дифференциальный оператор

<math>x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + x_n\frac{\partial f}{\partial x_n} </math>

иногда называют оператором Эйлера, по аналогии с тождеством Эйлера для однородных функций. Из теоремы Эйлера для однородных функций, приведённой выше, следует, что собственными функциями этого оператора являются однородные функции и только они, причём собственным значением для такой функции является её порядок однородности.

Соответственно, функциями, обращающими оператор Эйлера в константу, являются логарифмы однородных функций и только они. Функциями, обращающими оператор Эйлера в ноль, являются однородные функции нулевого порядка и только они (логарифм однородной функции нулевого порядка сам является однородной функцией нулевого порядка).

Аналогичным образом для дифференциального оператора

<math>\lambda_1 x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + \lambda_2 x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + \lambda_n x_n\frac{\partial f}{\partial x_n} </math>

собственными функциями являются <math>\lambda</math>-однородные функции с вектором  <math>(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) </math>  и только они, причём собственным значением является порядок однородности <math>\lambda</math>-однородной функции. В константу же этот дифференциальный оператор обращают логарифмы <math>\lambda</math>-однородных функций с вектором  <math>(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) </math>, и никакие другие функции.

Дальнейшим обобщением оператора Эйлера служит дифференциальный оператор

<math>\lambda_1 x_1^{\mu_1}\frac{\partial f}{\partial x_1} + \lambda_2 x_2^{\mu_2}\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + \lambda_n x_n^{\mu_n}\frac{\partial f}{\partial x_n}, </math>

который сводится к оператору Эйлера <math>y_1\frac{\partial f}{\partial y_1} + y_2\frac{\partial f}{\partial y_2} + \ldots + y_n\frac{\partial f}{\partial y_n} </math> заменой <math>y_k=\exp\left(\frac{x^{1-\mu_k}}{\lambda_k\left(1-\mu_k\right)}\right) </math> при <math>\mu_k\ne1;</math> <math>y_k=x^{1/\lambda_k}</math> при <math>\mu_k=1.</math> Также к оператору Эйлера с помощью замены <math>y_k=\exp\left(\int_{a_k}^x\frac{dt}{h_k(t)}\right) </math> сводятся все дифференциальные операторы вида <math>h_1(x_1)\frac{\partial f}{\partial x_1} + h_2(x_2)\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + h_n(x_n)\frac{\partial f}{\partial x_n} . </math>


Источник: [planetmath.org/EulersTheoremOnHomogeneousFunctions.html Chi Woo, Igor Khavkine, Euler’s theorem on homogeneous functions] (PlanetMath.org)

Ограниченно однородные функции

Функция  <math>f(x_1,x_2,\ldots,x_n): \R^n\to\R</math>  называется ограниченно однородной с показателем однородности  <math>q</math>  относительно множества положительных вещественных чисел  <math>\Lambda</math>  (называемого множеством однородности), если для всех  <math>\vec x\in \R^n</math>  и для всех  <math>\lambda \in \Lambda</math>  справедливо тождество

<math> f(\lambda \vec x) = \lambda^q f(\vec x). </math>

Множество однородности  <math>\Lambda</math>  всегда содержит в себе единицу. Множество однородности  <math>\Lambda</math>  не может включать в себя сколь угодно малый непрерывный отрезок  <math>\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]</math> — в противном случае ограниченно однородная функция оказывается обычной однородной функцией (см. далее раздел «Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями»). Поэтому интерес представляют те ограниченно однородные функции, у которых  <math>\Lambda \neq \{ 1 \} </math>  и у которых множество однородности  <math>\Lambda</math>  сугубо дискретно.

Пример 1. Функция  <math>f(x)=x^q\sin(\log |x|)</math>  является ограниченно однородной с показателем однородности  <math>q</math>  относительно множества  <math>\Lambda=\{e^{2\pi m}\},</math>  где  <math>m</math> — целые числа.

Пример 2. Функция  <math>f(x,y,z)=(x^2+2y^2+3z^2)^{q/2}\cos(\log \sqrt{x^2-xy+y^2})</math>  является ограниченно однородной с показателем однородности  <math>q</math>  относительно множества  <math>\Lambda=\{e^{2\pi k}\},</math>  где  <math>k</math> — целые числа.

Теорема. Чтобы функция  <math> f(x_1,x_2,...,x_n),</math>  определённая при  <math>x_1>0,</math>  была ограниченно однородной с порядком однородности  <math>q,</math>  необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

 <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log x_1,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1),</math> 

где  <math> H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n)</math> — функция, периодическая по переменной  <math>y</math>  с по крайней мере одним периодом, не зависящим от  <math> t_2,t_3,\ldots,t_n.</math>  В таком случае множество однородности  <math>\Lambda</math>  состоит из чисел  <math>\{e^{Y_k}\}, </math>  где  <math>Y_k</math> — периоды функции  <math> H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),</math>  не зависящие от  <math> t_2,t_3,\ldots,t_n.</math> 

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Сделаем замену переменных

 <math> x_1,x_2,...,x_n \to x_1,t_2,...,t_n,</math>  где  <math> t_k = x_k/x_1, </math> 

так что  <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = g(x_1,t_2,...,t_n). </math>  Если теперь рассмотреть функцию  <math> h(x_1,t_2,...,t_n) = g(x_1,t_2,...,t_n)/x_1^q, </math>  то из условия однородности получаем для всех допустимых  <math>x_1</math>  равенство

 <math> h(\lambda x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,t_3,...,t_n), </math> 

которое будет справедливым, когда  <math>\lambda\in\Lambda.</math>  Если только множество  <math>\Lambda</math>  не состоит из одной лишь единицы, то после замены  <math> x_1 = \exp(y) </math>  функция

 <math> H(y,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,...,t_n) </math> 

оказывается периодической по переменной  <math>y</math>  с ненулевым периодом  <math>\log\lambda</math>  для любого выбранного фиксированным образом  <math>\lambda\in\Lambda,</math>  поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

 <math> H(\log x_1 + \log\lambda,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n). </math> 

Очевидно, что выбранное фиксированное значение <math>\log\lambda</math>  будет периодом функции  <math> H(y,t_2,...,t_n)</math>  сразу при всех  <math> t_2,...,t_n. </math> 

Следствия:

  1. Если имеется наименьший положительный период  <math>Y>0,</math>  не зависящий от  <math> t_2,t_3,\ldots,t_n,</math>  то множество однородности  <math>\Lambda</math>  имеет вид  <math>\{e^{mY}\},</math>  где  <math>m=0,\pm1,\pm2,\dots</math> — произвольные целые числа. (Если  <math>Y</math> — наименьший положительный период функции  <math> H(y,...), </math>  то и все  <math>Y_m=mY</math> — её периоды, поэтому числа  <math>\{e^{mY}\} </math>  будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности  <math>\lambda_{*}=e^{Y_{*}},</math>  что  <math>e^{mY} < e^{Y_{*}} < e^{(m+1)Y}, </math>  то  <math> Y_{*} - mY </math>  окажется положительным периодом, не зависящим от  <math> t_2,...,t_n, </math>  который будет меньше, чем  <math>Y.</math> )
  2. Если функция  <math> H(y,\ldots) </math> — это константа по переменной  <math>y,</math>  то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). В этом случае  <math> H(y,\ldots) </math>  не зависит от переменной  <math>y,</math>  и функция
        <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1)</math> 
    — это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности  <math>\Lambda</math>  в этом случае — вся положительная полуось  <math>\lambda>0</math>  (по меньшей мере).
  3. Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции  <math> H(y,...) </math>  не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле, равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности  <math> \Lambda </math>  может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений  <math> t_2,t_3,\ldots,t_n</math>  у периодической функции  <math> H(y,...) </math>  есть предел по переменной  <math> y</math>  хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды — кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной  <math>y.</math> 
  4. Ограниченно однородные функции, определённые при  <math>x<0,</math>  имеют вид
        <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = (-x_1)^q \cdot H(\log (-x_1),x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1)</math> 
    с надлежащим образом выбранной функцией  <math> H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),</math>  периодической по переменной  <math>y.</math> 
  5. Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки  <math>x=0,</math>  имеют вид
        <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = |x_1|^q \cdot H_{\pm}(\log |x_1|,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1),</math> 
    с надлежащим образом выбранной функцией  <math> H_{\pm}(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),</math>  периодической по переменной  <math>y</math>  (где обозначение  <math> H_{\pm}(\ldots)</math>  подчёркивает, что для интервала значений  <math>x_1>0</math>  и для интервала значений  <math>x_1<0</math>  выбираются, вообще говоря, разные периодические функции <math>H(y)</math>, каждая с областью определения <math>y\in(-\infty,+\infty)</math>, но обязательно имеющие при этом один и тот же период).
  6. Формула  <math> f(x_1,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log |x_1|,x_2/x_1,\ldots,x_n/x_1),</math>  является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию  <math> H(y,t_2,\dots,t_n\ldots) </math>  как  <math> G\left(w\cdot y+\log W(t_2,\dots,t_n),t_2,\dots,t_n\right),</math>  где период функции  <math> G\left(t,t_2,\dots,t_n\right)</math>  равен  <math> 2\pi,</math>  нормировочный множитель  <math> w</math>  не зависит от  <math>t_2,\dots,t_n,</math>  а функция  <math>W(t_2,\dots,t_n)</math>  выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
        <math> f(x_1,...,x_n) = F(\log Q(x_1,\ldots,x_n), x_1,\ldots,x_n),</math> 
    где  <math> F(y, x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> — однородная функция с показателем однородности  <math> q </math>  по переменным  <math> x_1,x_2,\ldots,x_n</math>  и периодическая с периодом  <math> 2\pi</math>  по переменной  <math> y, </math>   <math> Q(x_1,x_2,\ldots,x_n),</math> — фиксированная однородная функция с показателем однородности  <math> w </math>  по переменным  <math> x_1,x_2,\ldots,x_n,</math>  а множество однородности имеет вид  <math> \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\},</math>  где  <math> m=0,\pm1,\pm2,\dots</math> — произвольные целые числа.
  7. Разлагая периодическую функцию  <math> F(y, x_1,\ldots,x_n)</math>  из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
        <math> A_0(x_1,\ldots,x_n)+\sum A_k(x_1,\ldots,x_n)\cos k \log Q(x_1,\ldots,x_n)+B_k(x_1,\ldots,x_n)\sin k \log Q(x_1,\ldots,x_n),</math> 
    где  <math> A_k(x_1,\ldots,x_n)</math>  и  <math> B_k(x_1,\ldots,x_n)</math> — произвольные однородные функции с показателем однородности  <math> q, </math>   <math> Q(x_1,\ldots,x_n)</math> — произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности  <math> w, </math>  а множество однородности  <math> \Lambda=\{e^{mY}\},</math>  записано как  <math> \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\},</math>  где  <math> m</math> — целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности  <math> q </math>  и множеством однородности  <math> \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\}.</math>  В частности, замена фиксированной функции  <math> Q(x_1,\ldots,x_n)</math>  на набор произвольных однородных функций  <math> Q_k(x_1,\ldots,x_n)</math>  не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.


Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen. — Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: [planetmath.org/BoundedlyHomogeneousFunction.html J.Pahikkala. Boundedly homogeneous function] (PlanetMath.org).

Присоединённые однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Взаимно однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями

1. Пусть

 <math>f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C\left(\lambda\right)f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math> 

при некоторой функции  <math>C\left(\lambda\right)</math>  на интервале  <math>\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right].</math>  Какова должна быть функция  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)?</math> 

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по  <math>\lambda.</math>  Получим

 <math> x_1\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_1)}+x_2\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_2)}+\dots+x_n\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_n)} = \frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda} f (x_1,\dots,x_n).</math> 

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по  <math>x_k,</math>  получим соотношения

 <math>\lambda \frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_k)} = C\left(\lambda\right) \frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}.</math> 

Отсюда

 <math> \frac{1}{f(x_1,\dots,x_n)}\left(x_1\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_1}+\dots+x_n\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_n}\right) = \frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}.</math> 

Правая часть зависит только от  <math>\lambda,</math>  левая часть зависит только от  <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>  Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через  <math>q.</math>  Из условия  <math>\frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}=q</math>  и условия  <math>C\left(1\right)=1</math>  следует, что  <math>C\left(\lambda\right)=\lambda^q.</math>  Следовательно,  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math> — однородная функция с параметром однородности <math>q.</math>  Вырожденные случаи <math>C\left(\lambda\right)\equiv 0</math>  и <math>f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\equiv 0</math>  рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие  <math>C\left(1\right)=1,</math>  вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию  <math>C\left(\lambda\right)</math>  за пределами интервала  <math>\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right].</math> . Из равенства

 <math>\frac{1}{f}\left(x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+\dots+x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}\right) = q</math> 

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math> — однородная функция с параметром однородности <math>q.</math>  Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала  <math>\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right],</math>  то оно справедливо при всех  <math>\lambda>0.</math> 


2. Пусть

 <math>f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math> 

при некоторых фиксированных значениях  <math> C \neq 0, </math>   <math>\lambda \ne 1</math>  и произвольных  <math> x_1, x_2, \dots, x_n. </math>  Какова должна быть функция  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)?</math> 

Решение. Если  <math> x_1 = 0, </math>  то задача сводится к функциональному уравнению меньшей размерности

 <math>f\left(0, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(0, x_2, \dots, x_n\right), </math> 

пока не сведётся к случаю  <math>f\left(0, 0, \dots, 0\right)=C f\left(0, 0, \dots, 0\right)</math>  с очевидным ответом <math>f\left(0, 0, \dots, 0\right)=0.</math>  Поэтому далее можно рассматривать только случай  <math> x_1 \neq 0. </math> 

Сделаем замену переменных  <math>x_1=y,</math>   <math>x_2=t_2 \cdot y,</math>   <math>x_3=t_3 \cdot y,</math>   <math>x_n=t_n \cdot y.</math>  Тогда  <math>f(x_1,x_2,\dots,x_n)\to F(y,t_2,\dots,t_n)</math>  и функциональное уравнение принимает вид

 <math>F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(y, t_2, \dots, t_n\right).</math> 

Следует отдельно рассматривать случаи  <math>C>0</math>  и  <math>C<0,</math>   <math>\lambda>0</math>  и  <math>\lambda<0,</math>   <math>y>0</math>  и  <math>y<0.</math>  Пусть  <math>C>0,</math>   <math>\lambda>0</math>  и  <math>y>0.</math>  Тогда после логарифмирования обеих частей равенства и замены  <math>\log y \to t ,</math>   <math>\log F(y,\dots) \to \Phi (t,\dots)</math>  получаем условие

 <math>\Phi\left(t+\log\lambda, \dots\right)=\log C + \Phi\left(t, \dots\right),</math> 

откуда следует, что  <math>\Phi\left(t, \dots\right)</math>  имеет вид  <math>\Omega\left(t, \dots\right) + \frac{\log C}{\log \lambda}t,</math>  где  <math>\Omega\left(t, \dots\right)</math> — функция, периодическая по переменной  <math>t</math>  с периодом  <math>\log \lambda.</math>  Обратное очевидно: функция

 <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log x_1, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right),</math> 

где  <math>\Omega\left(t, \dots\right)</math> — функция, периодическая по переменной  <math>t</math>  с периодом  <math>\log \lambda,</math>  удовлетворяет требуемому функциональному соотношению для  <math>x_1>0.</math> 

Для полуоси  <math>x_1<0</math>  используется замена  <math>\log (-y) \to t</math>  и после аналогичных рассуждений получаем окончательный ответ:

а) если  <math> x_1 > 0 </math>  то  <math> f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{+}\left(\log (+x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (+x_1)}{\log \lambda}\right),</math> 
б) если  <math>x_1 < 0</math>  то  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{-}\left(\log (-x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (-x_1)}{\log \lambda}\right),</math> 

или, в сокращённой форме

 <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right),</math> 

где обозначение  <math>\Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \dots\right)</math>  подчёркивает, что при  <math>x_1>0</math>  и при  <math>x_1<0</math> это, вообще говоря, две разные периодические функции  <math>\Omega_{+}\left(t,\dots\right)</math> и  <math>\Omega_{-}\left(t,\dots\right)</math>, каждая с областью определения  <math>t\in(-\infty,+\infty)</math> и разными значениями для этой области, но при этом с одинаковым периодом. 

Случай  <math>C<0,</math>   <math>\lambda>0</math>  упрощается тем, что из цепочки соотношений

 <math>F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right)</math> 

следует уже рассмотренный нами случай. Поэтому функция  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math>  может быть записана как

 <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right),</math> 

где  <math>\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)</math> — некоторая функция, периодическая по переменной  <math>t</math>  с периодом  <math>2\log \lambda.</math>  Подстановка этого выражения в исходное уравнение показывает, что  <math>\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)</math> — не просто периодическая функция с периодом  <math>2\log \lambda,</math>  но анти-периодическая с периодом  <math>\log \lambda:</math> 

 <math>\Omega_{\pm}\left(t+\log\lambda, \dots\right)=-\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)</math> 

(очевидным образом анти-периодичность с периодом  <math>\log \lambda</math>  влечёт за собой периодичность с периодом  <math>2\log \lambda</math>). Обратное очевидно: указанная формула с анти-периодической функцией  <math>\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)</math>  удовлетворяет требуемому функциональному уравнению.

Случай  <math>\lambda<0</math>  имеет дополнительную особенность, что полуоси  <math>y<0</math>  и  <math>y>0</math>  влияют друг на друга. Рассмотрим случай <math>y>0.</math>  Тогда из цепочки соотношений

 <math>F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right)</math> 

следует, что при  <math>x_1>0</math>  функция  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math>  должна иметь вид

 <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right),</math> 

где  <math>\Omega\left(t, \dots\right)</math> — функция, периодическая по переменной  <math>t</math>  с периодом  <math>2\log |\lambda|</math>  и областью определения  <math>t\in(-\infty,+\infty).</math>  Поскольку  <math>\lambda<0,</math>  то каждой положительной точке  <math>x_1>0</math>  взаимно-однозначно соответствует отрицательная точка  <math>\lambda x_1 <0 </math>  со значением функции, равным  <math>C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right).</math> . В результате с учётом периодичности функции  <math>\Omega\left(t, \dots\right)</math>  функция  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math>  вычисляется как

а) при  <math>x_1>0:</math>   <math>f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right),</math> 
б) при  <math>x_1<0:</math>   <math>f(x_1,x_2,\dots,x_n)=sign(C) \cdot \Omega\left(\log |x_1| + \log|\lambda|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right) \exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right),</math> 

где  <math>\Omega\left(t, \dots\right)</math> — функция, периодическая по переменной  <math>t</math>  с периодом  <math>2\log |\lambda|.</math>  Как легко проверить, определённая подобным образом функция  <math>f(x_1,x_2,\dots,x_n)</math>  для случая  <math>\lambda<0</math>  действительно удовлетворяет нужному функциональному уравнению как при  <math>x_1>0,</math>  так и при  <math>x_1<0.</math> 

Примечание. Если некоторая функция удовлетворяет указанному функциональному уравнению при некоторых  <math>C_0, \lambda_0,</math>  то легко заметить, что она удовлетворяет этому же функциональному уравнению и при других наборах значений  <math>\left(C,\lambda\right).</math>  Так, для случая  <math>C_0>0, \lambda_0>0</math>  множеством таких пар будут  <math>\lambda_k=\lambda_{0}^{k/m}, </math>   <math>C_k=C_0^{k/m}</math>  при любых ненулевых целочисленных значениях  <math>k=\pm1,\pm2,\dots,</math>  где целое число  <math>m</math>  выбрано так, чтобы величина  <math>|\log\lambda_{0}|/m</math>  была наименьшим положительным периодом для функции  <math>\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right).</math>  Введя обозначение  <math>q=\log C_0/\log \lambda_0</math>  так что  <math>C_0=\lambda_0^q,</math>  получим условие  <math>C_k\equiv\left(\lambda_k\right)^q, </math>  соответствующее ограниченно однородным функциям. Замена  <math>\exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right)\to x_1^q</math>  приводит представление ограниченно однородных функций к привычному виду.


3. Дополнительные функциональные уравнения имеются в разделах «Присоединённые однородные функции» и «Взаимно однородные функции» этой статьи.

Однородные обобщённые функции

Обобщённые функции или распределения определяются как линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве «достаточно хороших» функций. В случае однородных обобщённых функций в качестве «достаточно хороших» функций удобно использовать пространство  <math>\mathbb{S}</math>  функций  <math>\varphi(x)=\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n),</math>  имеющих производные любого порядка и при  <math>\left|x\right|\to\infty</math>  убывающих быстрее любой степени  <math>\frac{1}{\left|x\right|}.</math>  При этом любой обычной функции <math>f(x)</math>,  интегрируемой в любой конечной области, ставится в соответствие функционал

<math> T_f \left[\varphi\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)dx, </math>

определённый в пространстве  <math>\varphi\in\mathbb{S}</math>  и являющийся очевидным образом линейным и непрерывным. Обобщённые функции позволяют упростить рассмотрение многих вопросов анализа (так, всякая обобщённая функция имеет производные любого порядка, допускает преобразование Фурье и т. д.), а также узаконить такие экзотические объекты, как  <math>\delta</math>-функция и её производные.


Для обычных интегрируемых функций  <math>f(x_1,\dots,x_n),</math>  являющихся однородными с показателем однородности  <math>q,</math>  справедливо легко проверяемое тождество

<math> T_f \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_f \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right]. \qquad\qquad\qquad (**)</math>

Данное тождество принимается за определение обобщённой однородной функции: однородная обобщённая функция с показателем однородности  <math>q</math>  (вообще говоря, комплексным) есть линейный непрерывный функционал, определённый в пространстве  <math>\varphi\in\mathbb{S}</math>  и удовлетворяющий тождеству (**).


Похожим способом определяются присоединённые однородные обобщённые функции. Присоединённая однородная обобщённая функция  <math>T_k\left[\varphi\right]</math>  порядка  <math>k</math>  с показателем однородности  <math>q</math> — это линейный непрерывный функционал, для всякого  <math>\lambda>0</math>  удовлетворяющий соотношению

<math> T_k \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_k \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right] + \lambda^{q+n}\log\lambda \cdot T_{k-1} \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right], </math>

где  <math>T_{k-1}\left[\varphi\right]</math> — это некоторая присоединённая однородная обобщённая функция  <math>(k-1)</math> —го порядка с показателем однородности  <math>q.</math>  Присоединённая однородная обобщённая функция нулевого порядка  с показателем однородности  <math>q</math> — это обычная однородная обобщённая функция с показателем однородности  <math>q.</math> 


Пример. Обобщённая функция  <math>\delta(x_1,x_2,\dots,x_n)</math> — однородная обобщённая функция с показателем однородности  <math>(-n)</math>  поскольку  <math>\delta[\varphi({x_{1}}/\lambda,{x_{2}}/\lambda,\dots,{x_{n}}/\lambda)]=\varphi(0,0,\dots,0)=\delta[\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n)].</math> 


Исследование однородных обобщённых функций позволяет придать содержательный смысл интегралам с сингулярными особенностями, в обычном смысле не интегрируемыми. Например, рассмотрим обобщённую функцию  <math>T^{+}_{q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx. </math>  Этот функционал определён при  <math>Re(q) > -1 </math>  и, как легко проверить, является однородной обобщённой функцией с показателем однородности  <math>q.</math>  Величину  <math> T^{+}_{q} </math>  при фиксированном выборе пробной функции  <math> \varphi\left(x\right)</math>  можно рассматривать как функцию комплексного переменного  <math>q</math>  и, вообще говоря, аналитически продолжить её вне данного диапазона. А именно, правая и левая части равенства

 <math>\int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx + \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)},</math> 

аналитичны по переменной  <math> q </math>  и тождественно равны друг другу при  <math>Re (q) > -1. </math>  Однако правая часть равенства имеет смысл и аналитична также и при  <math>Re (q) > -n. </math>  В силу этого правая часть равенства — это аналитическое продолжение левой части равенства для  <math>Re (q) > -n. </math>  Как результат, равенство

 <math>T^{+}_{q}[\varphi(x)] = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx + \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)},</math> 

задаёт линейный непрерывный функционал, являющийся расширением определённого ранее функционала  <math> T^{+}_{q} </math>  вплоть до значений  <math>Re (q) > -n. </math>  Формулы для  <math>Re (q) > -n </math>  и для  <math>Re (q) > -m </math>  дают один и тот же результат при одинаковых значениях  <math>q, </math>  при которых они обе имеют смысл: это определение непротиворечиво. Обобщённая функция  <math> T^{+}_{q}, </math>  определённая теперь для всех  <math> q, </math> , по-прежнему является однородной обобщённой функцией, поскольку соотношение однородности сохраняется при аналитическом продолжении.

С помощью  <math>T^{+}_{q}\left[\varphi\right]</math>  определятся регуляризированные значения интеграла  <math>\int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx, </math>  имеющие смысл при любых комплексных  <math>q.</math>  Исключениями являются целочисленные значения  <math>q=-1,-2,\dots,-n,\dots,</math>  где регуляризированный интеграл является сингулярным: функционал  <math>T^{+}_{q}\left[\varphi\right]</math>  как функция переменной  <math>q</math>  в точке  <math>q=-n</math>  имеет простой полюс с вычетом  <math>\varphi^{(n-1)}(0)/(n-1)!.</math> 

По той же схеме может быть аналитически продолжена для  <math>Re (q) \le -1 </math>  присоединённая однородная функция  <math>T^{+}_{p,q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx. </math>  С её помощью определяются регуляризированные значения для интегралов  <math>\int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx, </math>  имеющие смысл при  <math>Re (q) \le -1. </math> 


Аналогичным, но более сложным образом конструируются однородные обобщённые функции и присоединённые однородные обобщённые функции для случая  <math> n </math>  переменных. Подробности могут быть найдены в цитируемой здесь библиографии. Теория однородных обобщённых функций позволяет конструктивно осмыслить применительно к пространству обобщённых функций обычные функции, имеющие неинтегрируемые особенности — вычислять интегралы от таких функций, находить их преобразование Фурье и т. д.


Библиография: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

См. также


Напишите отзыв о статье "Однородная функция"

Отрывок, характеризующий Однородная функция

Но как влюбленный юноша дрожит и млеет, не смея сказать того, о чем он мечтает ночи, и испуганно оглядывается, ища помощи или возможности отсрочки и бегства, когда наступила желанная минута, и он стоит наедине с ней, так и Ростов теперь, достигнув того, чего он желал больше всего на свете, не знал, как подступить к государю, и ему представлялись тысячи соображений, почему это было неудобно, неприлично и невозможно.
«Как! Я как будто рад случаю воспользоваться тем, что он один и в унынии. Ему неприятно и тяжело может показаться неизвестное лицо в эту минуту печали; потом, что я могу сказать ему теперь, когда при одном взгляде на него у меня замирает сердце и пересыхает во рту?» Ни одна из тех бесчисленных речей, которые он, обращая к государю, слагал в своем воображении, не приходила ему теперь в голову. Те речи большею частию держались совсем при других условиях, те говорились большею частию в минуту побед и торжеств и преимущественно на смертном одре от полученных ран, в то время как государь благодарил его за геройские поступки, и он, умирая, высказывал ему подтвержденную на деле любовь свою.
«Потом, что же я буду спрашивать государя об его приказаниях на правый фланг, когда уже теперь 4 й час вечера, и сражение проиграно? Нет, решительно я не должен подъезжать к нему. Не должен нарушать его задумчивость. Лучше умереть тысячу раз, чем получить от него дурной взгляд, дурное мнение», решил Ростов и с грустью и с отчаянием в сердце поехал прочь, беспрестанно оглядываясь на всё еще стоявшего в том же положении нерешительности государя.
В то время как Ростов делал эти соображения и печально отъезжал от государя, капитан фон Толь случайно наехал на то же место и, увидав государя, прямо подъехал к нему, предложил ему свои услуги и помог перейти пешком через канаву. Государь, желая отдохнуть и чувствуя себя нездоровым, сел под яблочное дерево, и Толь остановился подле него. Ростов издалека с завистью и раскаянием видел, как фон Толь что то долго и с жаром говорил государю, как государь, видимо, заплакав, закрыл глаза рукой и пожал руку Толю.
«И это я мог бы быть на его месте?» подумал про себя Ростов и, едва удерживая слезы сожаления об участи государя, в совершенном отчаянии поехал дальше, не зная, куда и зачем он теперь едет.
Его отчаяние было тем сильнее, что он чувствовал, что его собственная слабость была причиной его горя.
Он мог бы… не только мог бы, но он должен был подъехать к государю. И это был единственный случай показать государю свою преданность. И он не воспользовался им… «Что я наделал?» подумал он. И он повернул лошадь и поскакал назад к тому месту, где видел императора; но никого уже не было за канавой. Только ехали повозки и экипажи. От одного фурмана Ростов узнал, что Кутузовский штаб находится неподалеку в деревне, куда шли обозы. Ростов поехал за ними.
Впереди его шел берейтор Кутузова, ведя лошадей в попонах. За берейтором ехала повозка, и за повозкой шел старик дворовый, в картузе, полушубке и с кривыми ногами.
– Тит, а Тит! – сказал берейтор.
– Чего? – рассеянно отвечал старик.
– Тит! Ступай молотить.
– Э, дурак, тьфу! – сердито плюнув, сказал старик. Прошло несколько времени молчаливого движения, и повторилась опять та же шутка.
В пятом часу вечера сражение было проиграно на всех пунктах. Более ста орудий находилось уже во власти французов.
Пржебышевский с своим корпусом положил оружие. Другие колонны, растеряв около половины людей, отступали расстроенными, перемешанными толпами.
Остатки войск Ланжерона и Дохтурова, смешавшись, теснились около прудов на плотинах и берегах у деревни Аугеста.
В 6 м часу только у плотины Аугеста еще слышалась жаркая канонада одних французов, выстроивших многочисленные батареи на спуске Праценских высот и бивших по нашим отступающим войскам.
В арьергарде Дохтуров и другие, собирая батальоны, отстреливались от французской кавалерии, преследовавшей наших. Начинало смеркаться. На узкой плотине Аугеста, на которой столько лет мирно сиживал в колпаке старичок мельник с удочками, в то время как внук его, засучив рукава рубашки, перебирал в лейке серебряную трепещущую рыбу; на этой плотине, по которой столько лет мирно проезжали на своих парных возах, нагруженных пшеницей, в мохнатых шапках и синих куртках моравы и, запыленные мукой, с белыми возами уезжали по той же плотине, – на этой узкой плотине теперь между фурами и пушками, под лошадьми и между колес толпились обезображенные страхом смерти люди, давя друг друга, умирая, шагая через умирающих и убивая друг друга для того только, чтобы, пройдя несколько шагов, быть точно. так же убитыми.
Каждые десять секунд, нагнетая воздух, шлепало ядро или разрывалась граната в средине этой густой толпы, убивая и обрызгивая кровью тех, которые стояли близко. Долохов, раненый в руку, пешком с десятком солдат своей роты (он был уже офицер) и его полковой командир, верхом, представляли из себя остатки всего полка. Влекомые толпой, они втеснились во вход к плотине и, сжатые со всех сторон, остановились, потому что впереди упала лошадь под пушкой, и толпа вытаскивала ее. Одно ядро убило кого то сзади их, другое ударилось впереди и забрызгало кровью Долохова. Толпа отчаянно надвинулась, сжалась, тронулась несколько шагов и опять остановилась.
Пройти эти сто шагов, и, наверное, спасен; простоять еще две минуты, и погиб, наверное, думал каждый. Долохов, стоявший в середине толпы, рванулся к краю плотины, сбив с ног двух солдат, и сбежал на скользкий лед, покрывший пруд.
– Сворачивай, – закричал он, подпрыгивая по льду, который трещал под ним, – сворачивай! – кричал он на орудие. – Держит!…
Лед держал его, но гнулся и трещал, и очевидно было, что не только под орудием или толпой народа, но под ним одним он сейчас рухнется. На него смотрели и жались к берегу, не решаясь еще ступить на лед. Командир полка, стоявший верхом у въезда, поднял руку и раскрыл рот, обращаясь к Долохову. Вдруг одно из ядер так низко засвистело над толпой, что все нагнулись. Что то шлепнулось в мокрое, и генерал упал с лошадью в лужу крови. Никто не взглянул на генерала, не подумал поднять его.
– Пошел на лед! пошел по льду! Пошел! вороти! аль не слышишь! Пошел! – вдруг после ядра, попавшего в генерала, послышались бесчисленные голоса, сами не зная, что и зачем кричавшие.
Одно из задних орудий, вступавшее на плотину, своротило на лед. Толпы солдат с плотины стали сбегать на замерзший пруд. Под одним из передних солдат треснул лед, и одна нога ушла в воду; он хотел оправиться и провалился по пояс.
Ближайшие солдаты замялись, орудийный ездовой остановил свою лошадь, но сзади всё еще слышались крики: «Пошел на лед, что стал, пошел! пошел!» И крики ужаса послышались в толпе. Солдаты, окружавшие орудие, махали на лошадей и били их, чтобы они сворачивали и подвигались. Лошади тронулись с берега. Лед, державший пеших, рухнулся огромным куском, и человек сорок, бывших на льду, бросились кто вперед, кто назад, потопляя один другого.
Ядра всё так же равномерно свистели и шлепались на лед, в воду и чаще всего в толпу, покрывавшую плотину, пруды и берег.


На Праценской горе, на том самом месте, где он упал с древком знамени в руках, лежал князь Андрей Болконский, истекая кровью, и, сам не зная того, стонал тихим, жалостным и детским стоном.
К вечеру он перестал стонать и совершенно затих. Он не знал, как долго продолжалось его забытье. Вдруг он опять чувствовал себя живым и страдающим от жгучей и разрывающей что то боли в голове.
«Где оно, это высокое небо, которое я не знал до сих пор и увидал нынче?» было первою его мыслью. «И страдания этого я не знал также, – подумал он. – Да, я ничего, ничего не знал до сих пор. Но где я?»
Он стал прислушиваться и услыхал звуки приближающегося топота лошадей и звуки голосов, говоривших по французски. Он раскрыл глаза. Над ним было опять всё то же высокое небо с еще выше поднявшимися плывущими облаками, сквозь которые виднелась синеющая бесконечность. Он не поворачивал головы и не видал тех, которые, судя по звуку копыт и голосов, подъехали к нему и остановились.
Подъехавшие верховые были Наполеон, сопутствуемый двумя адъютантами. Бонапарте, объезжая поле сражения, отдавал последние приказания об усилении батарей стреляющих по плотине Аугеста и рассматривал убитых и раненых, оставшихся на поле сражения.
– De beaux hommes! [Красавцы!] – сказал Наполеон, глядя на убитого русского гренадера, который с уткнутым в землю лицом и почернелым затылком лежал на животе, откинув далеко одну уже закоченевшую руку.
– Les munitions des pieces de position sont epuisees, sire! [Батарейных зарядов больше нет, ваше величество!] – сказал в это время адъютант, приехавший с батарей, стрелявших по Аугесту.
– Faites avancer celles de la reserve, [Велите привезти из резервов,] – сказал Наполеон, и, отъехав несколько шагов, он остановился над князем Андреем, лежавшим навзничь с брошенным подле него древком знамени (знамя уже, как трофей, было взято французами).
– Voila une belle mort, [Вот прекрасная смерть,] – сказал Наполеон, глядя на Болконского.
Князь Андрей понял, что это было сказано о нем, и что говорит это Наполеон. Он слышал, как называли sire того, кто сказал эти слова. Но он слышал эти слова, как бы он слышал жужжание мухи. Он не только не интересовался ими, но он и не заметил, а тотчас же забыл их. Ему жгло голову; он чувствовал, что он исходит кровью, и он видел над собою далекое, высокое и вечное небо. Он знал, что это был Наполеон – его герой, но в эту минуту Наполеон казался ему столь маленьким, ничтожным человеком в сравнении с тем, что происходило теперь между его душой и этим высоким, бесконечным небом с бегущими по нем облаками. Ему было совершенно всё равно в эту минуту, кто бы ни стоял над ним, что бы ни говорил об нем; он рад был только тому, что остановились над ним люди, и желал только, чтоб эти люди помогли ему и возвратили бы его к жизни, которая казалась ему столь прекрасною, потому что он так иначе понимал ее теперь. Он собрал все свои силы, чтобы пошевелиться и произвести какой нибудь звук. Он слабо пошевелил ногою и произвел самого его разжалобивший, слабый, болезненный стон.
– А! он жив, – сказал Наполеон. – Поднять этого молодого человека, ce jeune homme, и свезти на перевязочный пункт!
Сказав это, Наполеон поехал дальше навстречу к маршалу Лану, который, сняв шляпу, улыбаясь и поздравляя с победой, подъезжал к императору.
Князь Андрей не помнил ничего дальше: он потерял сознание от страшной боли, которую причинили ему укладывание на носилки, толчки во время движения и сондирование раны на перевязочном пункте. Он очнулся уже только в конце дня, когда его, соединив с другими русскими ранеными и пленными офицерами, понесли в госпиталь. На этом передвижении он чувствовал себя несколько свежее и мог оглядываться и даже говорить.
Первые слова, которые он услыхал, когда очнулся, – были слова французского конвойного офицера, который поспешно говорил:
– Надо здесь остановиться: император сейчас проедет; ему доставит удовольствие видеть этих пленных господ.
– Нынче так много пленных, чуть не вся русская армия, что ему, вероятно, это наскучило, – сказал другой офицер.
– Ну, однако! Этот, говорят, командир всей гвардии императора Александра, – сказал первый, указывая на раненого русского офицера в белом кавалергардском мундире.
Болконский узнал князя Репнина, которого он встречал в петербургском свете. Рядом с ним стоял другой, 19 летний мальчик, тоже раненый кавалергардский офицер.
Бонапарте, подъехав галопом, остановил лошадь.
– Кто старший? – сказал он, увидав пленных.
Назвали полковника, князя Репнина.
– Вы командир кавалергардского полка императора Александра? – спросил Наполеон.
– Я командовал эскадроном, – отвечал Репнин.
– Ваш полк честно исполнил долг свой, – сказал Наполеон.
– Похвала великого полководца есть лучшая награда cолдату, – сказал Репнин.
– С удовольствием отдаю ее вам, – сказал Наполеон. – Кто этот молодой человек подле вас?
Князь Репнин назвал поручика Сухтелена.
Посмотрев на него, Наполеон сказал, улыбаясь:
– II est venu bien jeune se frotter a nous. [Молод же явился он состязаться с нами.]
– Молодость не мешает быть храбрым, – проговорил обрывающимся голосом Сухтелен.
– Прекрасный ответ, – сказал Наполеон. – Молодой человек, вы далеко пойдете!
Князь Андрей, для полноты трофея пленников выставленный также вперед, на глаза императору, не мог не привлечь его внимания. Наполеон, видимо, вспомнил, что он видел его на поле и, обращаясь к нему, употребил то самое наименование молодого человека – jeune homme, под которым Болконский в первый раз отразился в его памяти.
– Et vous, jeune homme? Ну, а вы, молодой человек? – обратился он к нему, – как вы себя чувствуете, mon brave?
Несмотря на то, что за пять минут перед этим князь Андрей мог сказать несколько слов солдатам, переносившим его, он теперь, прямо устремив свои глаза на Наполеона, молчал… Ему так ничтожны казались в эту минуту все интересы, занимавшие Наполеона, так мелочен казался ему сам герой его, с этим мелким тщеславием и радостью победы, в сравнении с тем высоким, справедливым и добрым небом, которое он видел и понял, – что он не мог отвечать ему.
Да и всё казалось так бесполезно и ничтожно в сравнении с тем строгим и величественным строем мысли, который вызывали в нем ослабление сил от истекшей крови, страдание и близкое ожидание смерти. Глядя в глаза Наполеону, князь Андрей думал о ничтожности величия, о ничтожности жизни, которой никто не мог понять значения, и о еще большем ничтожестве смерти, смысл которой никто не мог понять и объяснить из живущих.
Император, не дождавшись ответа, отвернулся и, отъезжая, обратился к одному из начальников:
– Пусть позаботятся об этих господах и свезут их в мой бивуак; пускай мой доктор Ларрей осмотрит их раны. До свидания, князь Репнин, – и он, тронув лошадь, галопом поехал дальше.
На лице его было сиянье самодовольства и счастия.
Солдаты, принесшие князя Андрея и снявшие с него попавшийся им золотой образок, навешенный на брата княжною Марьею, увидав ласковость, с которою обращался император с пленными, поспешили возвратить образок.
Князь Андрей не видал, кто и как надел его опять, но на груди его сверх мундира вдруг очутился образок на мелкой золотой цепочке.
«Хорошо бы это было, – подумал князь Андрей, взглянув на этот образок, который с таким чувством и благоговением навесила на него сестра, – хорошо бы это было, ежели бы всё было так ясно и просто, как оно кажется княжне Марье. Как хорошо бы было знать, где искать помощи в этой жизни и чего ждать после нее, там, за гробом! Как бы счастлив и спокоен я был, ежели бы мог сказать теперь: Господи, помилуй меня!… Но кому я скажу это! Или сила – неопределенная, непостижимая, к которой я не только не могу обращаться, но которой не могу выразить словами, – великое всё или ничего, – говорил он сам себе, – или это тот Бог, который вот здесь зашит, в этой ладонке, княжной Марьей? Ничего, ничего нет верного, кроме ничтожества всего того, что мне понятно, и величия чего то непонятного, но важнейшего!»
Носилки тронулись. При каждом толчке он опять чувствовал невыносимую боль; лихорадочное состояние усилилось, и он начинал бредить. Те мечтания об отце, жене, сестре и будущем сыне и нежность, которую он испытывал в ночь накануне сражения, фигура маленького, ничтожного Наполеона и над всем этим высокое небо, составляли главное основание его горячечных представлений.
Тихая жизнь и спокойное семейное счастие в Лысых Горах представлялись ему. Он уже наслаждался этим счастием, когда вдруг являлся маленький Напoлеон с своим безучастным, ограниченным и счастливым от несчастия других взглядом, и начинались сомнения, муки, и только небо обещало успокоение. К утру все мечтания смешались и слились в хаос и мрак беспамятства и забвения, которые гораздо вероятнее, по мнению самого Ларрея, доктора Наполеона, должны были разрешиться смертью, чем выздоровлением.
– C'est un sujet nerveux et bilieux, – сказал Ларрей, – il n'en rechappera pas. [Это человек нервный и желчный, он не выздоровеет.]
Князь Андрей, в числе других безнадежных раненых, был сдан на попечение жителей.


В начале 1806 года Николай Ростов вернулся в отпуск. Денисов ехал тоже домой в Воронеж, и Ростов уговорил его ехать с собой до Москвы и остановиться у них в доме. На предпоследней станции, встретив товарища, Денисов выпил с ним три бутылки вина и подъезжая к Москве, несмотря на ухабы дороги, не просыпался, лежа на дне перекладных саней, подле Ростова, который, по мере приближения к Москве, приходил все более и более в нетерпение.
«Скоро ли? Скоро ли? О, эти несносные улицы, лавки, калачи, фонари, извозчики!» думал Ростов, когда уже они записали свои отпуски на заставе и въехали в Москву.
– Денисов, приехали! Спит! – говорил он, всем телом подаваясь вперед, как будто он этим положением надеялся ускорить движение саней. Денисов не откликался.
– Вот он угол перекресток, где Захар извозчик стоит; вот он и Захар, и всё та же лошадь. Вот и лавочка, где пряники покупали. Скоро ли? Ну!
– К какому дому то? – спросил ямщик.
– Да вон на конце, к большому, как ты не видишь! Это наш дом, – говорил Ростов, – ведь это наш дом! Денисов! Денисов! Сейчас приедем.
Денисов поднял голову, откашлялся и ничего не ответил.
– Дмитрий, – обратился Ростов к лакею на облучке. – Ведь это у нас огонь?
– Так точно с и у папеньки в кабинете светится.
– Еще не ложились? А? как ты думаешь? Смотри же не забудь, тотчас достань мне новую венгерку, – прибавил Ростов, ощупывая новые усы. – Ну же пошел, – кричал он ямщику. – Да проснись же, Вася, – обращался он к Денисову, который опять опустил голову. – Да ну же, пошел, три целковых на водку, пошел! – закричал Ростов, когда уже сани были за три дома от подъезда. Ему казалось, что лошади не двигаются. Наконец сани взяли вправо к подъезду; над головой своей Ростов увидал знакомый карниз с отбитой штукатуркой, крыльцо, тротуарный столб. Он на ходу выскочил из саней и побежал в сени. Дом также стоял неподвижно, нерадушно, как будто ему дела не было до того, кто приехал в него. В сенях никого не было. «Боже мой! все ли благополучно?» подумал Ростов, с замиранием сердца останавливаясь на минуту и тотчас пускаясь бежать дальше по сеням и знакомым, покривившимся ступеням. Всё та же дверная ручка замка, за нечистоту которой сердилась графиня, также слабо отворялась. В передней горела одна сальная свеча.
Старик Михайла спал на ларе. Прокофий, выездной лакей, тот, который был так силен, что за задок поднимал карету, сидел и вязал из покромок лапти. Он взглянул на отворившуюся дверь, и равнодушное, сонное выражение его вдруг преобразилось в восторженно испуганное.
– Батюшки, светы! Граф молодой! – вскрикнул он, узнав молодого барина. – Что ж это? Голубчик мой! – И Прокофий, трясясь от волненья, бросился к двери в гостиную, вероятно для того, чтобы объявить, но видно опять раздумал, вернулся назад и припал к плечу молодого барина.
– Здоровы? – спросил Ростов, выдергивая у него свою руку.
– Слава Богу! Всё слава Богу! сейчас только покушали! Дай на себя посмотреть, ваше сиятельство!
– Всё совсем благополучно?
– Слава Богу, слава Богу!
Ростов, забыв совершенно о Денисове, не желая никому дать предупредить себя, скинул шубу и на цыпочках побежал в темную, большую залу. Всё то же, те же ломберные столы, та же люстра в чехле; но кто то уж видел молодого барина, и не успел он добежать до гостиной, как что то стремительно, как буря, вылетело из боковой двери и обняло и стало целовать его. Еще другое, третье такое же существо выскочило из другой, третьей двери; еще объятия, еще поцелуи, еще крики, слезы радости. Он не мог разобрать, где и кто папа, кто Наташа, кто Петя. Все кричали, говорили и целовали его в одно и то же время. Только матери не было в числе их – это он помнил.
– А я то, не знал… Николушка… друг мой!
– Вот он… наш то… Друг мой, Коля… Переменился! Нет свечей! Чаю!
– Да меня то поцелуй!
– Душенька… а меня то.
Соня, Наташа, Петя, Анна Михайловна, Вера, старый граф, обнимали его; и люди и горничные, наполнив комнаты, приговаривали и ахали.
Петя повис на его ногах. – А меня то! – кричал он. Наташа, после того, как она, пригнув его к себе, расцеловала всё его лицо, отскочила от него и держась за полу его венгерки, прыгала как коза всё на одном месте и пронзительно визжала.
Со всех сторон были блестящие слезами радости, любящие глаза, со всех сторон были губы, искавшие поцелуя.
Соня красная, как кумач, тоже держалась за его руку и вся сияла в блаженном взгляде, устремленном в его глаза, которых она ждала. Соне минуло уже 16 лет, и она была очень красива, особенно в эту минуту счастливого, восторженного оживления. Она смотрела на него, не спуская глаз, улыбаясь и задерживая дыхание. Он благодарно взглянул на нее; но всё еще ждал и искал кого то. Старая графиня еще не выходила. И вот послышались шаги в дверях. Шаги такие быстрые, что это не могли быть шаги его матери.
Но это была она в новом, незнакомом еще ему, сшитом без него платье. Все оставили его, и он побежал к ней. Когда они сошлись, она упала на его грудь рыдая. Она не могла поднять лица и только прижимала его к холодным снуркам его венгерки. Денисов, никем не замеченный, войдя в комнату, стоял тут же и, глядя на них, тер себе глаза.
– Василий Денисов, друг вашего сына, – сказал он, рекомендуясь графу, вопросительно смотревшему на него.
– Милости прошу. Знаю, знаю, – сказал граф, целуя и обнимая Денисова. – Николушка писал… Наташа, Вера, вот он Денисов.
Те же счастливые, восторженные лица обратились на мохнатую фигуру Денисова и окружили его.
– Голубчик, Денисов! – визгнула Наташа, не помнившая себя от восторга, подскочила к нему, обняла и поцеловала его. Все смутились поступком Наташи. Денисов тоже покраснел, но улыбнулся и взяв руку Наташи, поцеловал ее.
Денисова отвели в приготовленную для него комнату, а Ростовы все собрались в диванную около Николушки.
Старая графиня, не выпуская его руки, которую она всякую минуту целовала, сидела с ним рядом; остальные, столпившись вокруг них, ловили каждое его движенье, слово, взгляд, и не спускали с него восторженно влюбленных глаз. Брат и сестры спорили и перехватывали места друг у друга поближе к нему, и дрались за то, кому принести ему чай, платок, трубку.
Ростов был очень счастлив любовью, которую ему выказывали; но первая минута его встречи была так блаженна, что теперешнего его счастия ему казалось мало, и он всё ждал чего то еще, и еще, и еще.
На другое утро приезжие спали с дороги до 10 го часа.
В предшествующей комнате валялись сабли, сумки, ташки, раскрытые чемоданы, грязные сапоги. Вычищенные две пары со шпорами были только что поставлены у стенки. Слуги приносили умывальники, горячую воду для бритья и вычищенные платья. Пахло табаком и мужчинами.
– Гей, Г'ишка, т'убку! – крикнул хриплый голос Васьки Денисова. – Ростов, вставай!
Ростов, протирая слипавшиеся глаза, поднял спутанную голову с жаркой подушки.
– А что поздно? – Поздно, 10 й час, – отвечал Наташин голос, и в соседней комнате послышалось шуршанье крахмаленных платьев, шопот и смех девичьих голосов, и в чуть растворенную дверь мелькнуло что то голубое, ленты, черные волоса и веселые лица. Это была Наташа с Соней и Петей, которые пришли наведаться, не встал ли.
– Николенька, вставай! – опять послышался голос Наташи у двери.
– Сейчас!
В это время Петя, в первой комнате, увидав и схватив сабли, и испытывая тот восторг, который испытывают мальчики, при виде воинственного старшего брата, и забыв, что сестрам неприлично видеть раздетых мужчин, отворил дверь.
– Это твоя сабля? – кричал он. Девочки отскочили. Денисов с испуганными глазами спрятал свои мохнатые ноги в одеяло, оглядываясь за помощью на товарища. Дверь пропустила Петю и опять затворилась. За дверью послышался смех.
– Николенька, выходи в халате, – проговорил голос Наташи.
– Это твоя сабля? – спросил Петя, – или это ваша? – с подобострастным уважением обратился он к усатому, черному Денисову.
Ростов поспешно обулся, надел халат и вышел. Наташа надела один сапог с шпорой и влезала в другой. Соня кружилась и только что хотела раздуть платье и присесть, когда он вышел. Обе были в одинаковых, новеньких, голубых платьях – свежие, румяные, веселые. Соня убежала, а Наташа, взяв брата под руку, повела его в диванную, и у них начался разговор. Они не успевали спрашивать друг друга и отвечать на вопросы о тысячах мелочей, которые могли интересовать только их одних. Наташа смеялась при всяком слове, которое он говорил и которое она говорила, не потому, чтобы было смешно то, что они говорили, но потому, что ей было весело и она не в силах была удерживать своей радости, выражавшейся смехом.
– Ах, как хорошо, отлично! – приговаривала она ко всему. Ростов почувствовал, как под влиянием жарких лучей любви, в первый раз через полтора года, на душе его и на лице распускалась та детская улыбка, которою он ни разу не улыбался с тех пор, как выехал из дома.
– Нет, послушай, – сказала она, – ты теперь совсем мужчина? Я ужасно рада, что ты мой брат. – Она тронула его усы. – Мне хочется знать, какие вы мужчины? Такие ли, как мы? Нет?
– Отчего Соня убежала? – спрашивал Ростов.
– Да. Это еще целая история! Как ты будешь говорить с Соней? Ты или вы?
– Как случится, – сказал Ростов.
– Говори ей вы, пожалуйста, я тебе после скажу.
– Да что же?
– Ну я теперь скажу. Ты знаешь, что Соня мой друг, такой друг, что я руку сожгу для нее. Вот посмотри. – Она засучила свой кисейный рукав и показала на своей длинной, худой и нежной ручке под плечом, гораздо выше локтя (в том месте, которое закрыто бывает и бальными платьями) красную метину.
– Это я сожгла, чтобы доказать ей любовь. Просто линейку разожгла на огне, да и прижала.
Сидя в своей прежней классной комнате, на диване с подушечками на ручках, и глядя в эти отчаянно оживленные глаза Наташи, Ростов опять вошел в тот свой семейный, детский мир, который не имел ни для кого никакого смысла, кроме как для него, но который доставлял ему одни из лучших наслаждений в жизни; и сожжение руки линейкой, для показания любви, показалось ему не бесполезно: он понимал и не удивлялся этому.
– Так что же? только? – спросил он.
– Ну так дружны, так дружны! Это что, глупости – линейкой; но мы навсегда друзья. Она кого полюбит, так навсегда; а я этого не понимаю, я забуду сейчас.
– Ну так что же?
– Да, так она любит меня и тебя. – Наташа вдруг покраснела, – ну ты помнишь, перед отъездом… Так она говорит, что ты это всё забудь… Она сказала: я буду любить его всегда, а он пускай будет свободен. Ведь правда, что это отлично, благородно! – Да, да? очень благородно? да? – спрашивала Наташа так серьезно и взволнованно, что видно было, что то, что она говорила теперь, она прежде говорила со слезами.
Ростов задумался.
– Я ни в чем не беру назад своего слова, – сказал он. – И потом, Соня такая прелесть, что какой же дурак станет отказываться от своего счастия?
– Нет, нет, – закричала Наташа. – Мы про это уже с нею говорили. Мы знали, что ты это скажешь. Но это нельзя, потому что, понимаешь, ежели ты так говоришь – считаешь себя связанным словом, то выходит, что она как будто нарочно это сказала. Выходит, что ты всё таки насильно на ней женишься, и выходит совсем не то.
Ростов видел, что всё это было хорошо придумано ими. Соня и вчера поразила его своей красотой. Нынче, увидав ее мельком, она ему показалась еще лучше. Она была прелестная 16 тилетняя девочка, очевидно страстно его любящая (в этом он не сомневался ни на минуту). Отчего же ему было не любить ее теперь, и не жениться даже, думал Ростов, но теперь столько еще других радостей и занятий! «Да, они это прекрасно придумали», подумал он, «надо оставаться свободным».
– Ну и прекрасно, – сказал он, – после поговорим. Ах как я тебе рад! – прибавил он.
– Ну, а что же ты, Борису не изменила? – спросил брат.
– Вот глупости! – смеясь крикнула Наташа. – Ни об нем и ни о ком я не думаю и знать не хочу.
– Вот как! Так ты что же?
– Я? – переспросила Наташа, и счастливая улыбка осветила ее лицо. – Ты видел Duport'a?
– Нет.
– Знаменитого Дюпора, танцовщика не видал? Ну так ты не поймешь. Я вот что такое. – Наташа взяла, округлив руки, свою юбку, как танцуют, отбежала несколько шагов, перевернулась, сделала антраша, побила ножкой об ножку и, став на самые кончики носков, прошла несколько шагов.
– Ведь стою? ведь вот, – говорила она; но не удержалась на цыпочках. – Так вот я что такое! Никогда ни за кого не пойду замуж, а пойду в танцовщицы. Только никому не говори.
Ростов так громко и весело захохотал, что Денисову из своей комнаты стало завидно, и Наташа не могла удержаться, засмеялась с ним вместе. – Нет, ведь хорошо? – всё говорила она.
– Хорошо, за Бориса уже не хочешь выходить замуж?
Наташа вспыхнула. – Я не хочу ни за кого замуж итти. Я ему то же самое скажу, когда увижу.
– Вот как! – сказал Ростов.
– Ну, да, это всё пустяки, – продолжала болтать Наташа. – А что Денисов хороший? – спросила она.
– Хороший.
– Ну и прощай, одевайся. Он страшный, Денисов?
– Отчего страшный? – спросил Nicolas. – Нет. Васька славный.
– Ты его Васькой зовешь – странно. А, что он очень хорош?
– Очень хорош.
– Ну, приходи скорей чай пить. Все вместе.
И Наташа встала на цыпочках и прошлась из комнаты так, как делают танцовщицы, но улыбаясь так, как только улыбаются счастливые 15 летние девочки. Встретившись в гостиной с Соней, Ростов покраснел. Он не знал, как обойтись с ней. Вчера они поцеловались в первую минуту радости свидания, но нынче они чувствовали, что нельзя было этого сделать; он чувствовал, что все, и мать и сестры, смотрели на него вопросительно и от него ожидали, как он поведет себя с нею. Он поцеловал ее руку и назвал ее вы – Соня . Но глаза их, встретившись, сказали друг другу «ты» и нежно поцеловались. Она просила своим взглядом у него прощения за то, что в посольстве Наташи она смела напомнить ему о его обещании и благодарила его за его любовь. Он своим взглядом благодарил ее за предложение свободы и говорил, что так ли, иначе ли, он никогда не перестанет любить ее, потому что нельзя не любить ее.
– Как однако странно, – сказала Вера, выбрав общую минуту молчания, – что Соня с Николенькой теперь встретились на вы и как чужие. – Замечание Веры было справедливо, как и все ее замечания; но как и от большей части ее замечаний всем сделалось неловко, и не только Соня, Николай и Наташа, но и старая графиня, которая боялась этой любви сына к Соне, могущей лишить его блестящей партии, тоже покраснела, как девочка. Денисов, к удивлению Ростова, в новом мундире, напомаженный и надушенный, явился в гостиную таким же щеголем, каким он был в сражениях, и таким любезным с дамами и кавалерами, каким Ростов никак не ожидал его видеть.


Вернувшись в Москву из армии, Николай Ростов был принят домашними как лучший сын, герой и ненаглядный Николушка; родными – как милый, приятный и почтительный молодой человек; знакомыми – как красивый гусарский поручик, ловкий танцор и один из лучших женихов Москвы.
Знакомство у Ростовых была вся Москва; денег в нынешний год у старого графа было достаточно, потому что были перезаложены все имения, и потому Николушка, заведя своего собственного рысака и самые модные рейтузы, особенные, каких ни у кого еще в Москве не было, и сапоги, самые модные, с самыми острыми носками и маленькими серебряными шпорами, проводил время очень весело. Ростов, вернувшись домой, испытал приятное чувство после некоторого промежутка времени примеривания себя к старым условиям жизни. Ему казалось, что он очень возмужал и вырос. Отчаяние за невыдержанный из закона Божьего экзамен, занимание денег у Гаврилы на извозчика, тайные поцелуи с Соней, он про всё это вспоминал, как про ребячество, от которого он неизмеримо был далек теперь. Теперь он – гусарский поручик в серебряном ментике, с солдатским Георгием, готовит своего рысака на бег, вместе с известными охотниками, пожилыми, почтенными. У него знакомая дама на бульваре, к которой он ездит вечером. Он дирижировал мазурку на бале у Архаровых, разговаривал о войне с фельдмаршалом Каменским, бывал в английском клубе, и был на ты с одним сорокалетним полковником, с которым познакомил его Денисов.
Страсть его к государю несколько ослабела в Москве, так как он за это время не видал его. Но он часто рассказывал о государе, о своей любви к нему, давая чувствовать, что он еще не всё рассказывает, что что то еще есть в его чувстве к государю, что не может быть всем понятно; и от всей души разделял общее в то время в Москве чувство обожания к императору Александру Павловичу, которому в Москве в то время было дано наименование ангела во плоти.
В это короткое пребывание Ростова в Москве, до отъезда в армию, он не сблизился, а напротив разошелся с Соней. Она была очень хороша, мила, и, очевидно, страстно влюблена в него; но он был в той поре молодости, когда кажется так много дела, что некогда этим заниматься, и молодой человек боится связываться – дорожит своей свободой, которая ему нужна на многое другое. Когда он думал о Соне в это новое пребывание в Москве, он говорил себе: Э! еще много, много таких будет и есть там, где то, мне еще неизвестных. Еще успею, когда захочу, заняться и любовью, а теперь некогда. Кроме того, ему казалось что то унизительное для своего мужества в женском обществе. Он ездил на балы и в женское общество, притворяясь, что делал это против воли. Бега, английский клуб, кутеж с Денисовым, поездка туда – это было другое дело: это было прилично молодцу гусару.
В начале марта, старый граф Илья Андреич Ростов был озабочен устройством обеда в английском клубе для приема князя Багратиона.
Граф в халате ходил по зале, отдавая приказания клубному эконому и знаменитому Феоктисту, старшему повару английского клуба, о спарже, свежих огурцах, землянике, теленке и рыбе для обеда князя Багратиона. Граф, со дня основания клуба, был его членом и старшиною. Ему было поручено от клуба устройство торжества для Багратиона, потому что редко кто умел так на широкую руку, хлебосольно устроить пир, особенно потому, что редко кто умел и хотел приложить свои деньги, если они понадобятся на устройство пира. Повар и эконом клуба с веселыми лицами слушали приказания графа, потому что они знали, что ни при ком, как при нем, нельзя было лучше поживиться на обеде, который стоил несколько тысяч.
– Так смотри же, гребешков, гребешков в тортю положи, знаешь! – Холодных стало быть три?… – спрашивал повар. Граф задумался. – Нельзя меньше, три… майонез раз, – сказал он, загибая палец…
– Так прикажете стерлядей больших взять? – спросил эконом. – Что ж делать, возьми, коли не уступают. Да, батюшка ты мой, я было и забыл. Ведь надо еще другую антре на стол. Ах, отцы мои! – Он схватился за голову. – Да кто же мне цветы привезет?
– Митинька! А Митинька! Скачи ты, Митинька, в подмосковную, – обратился он к вошедшему на его зов управляющему, – скачи ты в подмосковную и вели ты сейчас нарядить барщину Максимке садовнику. Скажи, чтобы все оранжереи сюда волок, укутывал бы войлоками. Да чтобы мне двести горшков тут к пятнице были.
Отдав еще и еще разные приказания, он вышел было отдохнуть к графинюшке, но вспомнил еще нужное, вернулся сам, вернул повара и эконома и опять стал приказывать. В дверях послышалась легкая, мужская походка, бряцанье шпор, и красивый, румяный, с чернеющимися усиками, видимо отдохнувший и выхолившийся на спокойном житье в Москве, вошел молодой граф.
– Ах, братец мой! Голова кругом идет, – сказал старик, как бы стыдясь, улыбаясь перед сыном. – Хоть вот ты бы помог! Надо ведь еще песенников. Музыка у меня есть, да цыган что ли позвать? Ваша братия военные это любят.
– Право, папенька, я думаю, князь Багратион, когда готовился к Шенграбенскому сражению, меньше хлопотал, чем вы теперь, – сказал сын, улыбаясь.
Старый граф притворился рассерженным. – Да, ты толкуй, ты попробуй!
И граф обратился к повару, который с умным и почтенным лицом, наблюдательно и ласково поглядывал на отца и сына.
– Какова молодежь то, а, Феоктист? – сказал он, – смеется над нашим братом стариками.
– Что ж, ваше сиятельство, им бы только покушать хорошо, а как всё собрать да сервировать , это не их дело.
– Так, так, – закричал граф, и весело схватив сына за обе руки, закричал: – Так вот же что, попался ты мне! Возьми ты сейчас сани парные и ступай ты к Безухову, и скажи, что граф, мол, Илья Андреич прислали просить у вас земляники и ананасов свежих. Больше ни у кого не достанешь. Самого то нет, так ты зайди, княжнам скажи, и оттуда, вот что, поезжай ты на Разгуляй – Ипатка кучер знает – найди ты там Ильюшку цыгана, вот что у графа Орлова тогда плясал, помнишь, в белом казакине, и притащи ты его сюда, ко мне.
– И с цыганками его сюда привести? – спросил Николай смеясь. – Ну, ну!…
В это время неслышными шагами, с деловым, озабоченным и вместе христиански кротким видом, никогда не покидавшим ее, вошла в комнату Анна Михайловна. Несмотря на то, что каждый день Анна Михайловна заставала графа в халате, всякий раз он конфузился при ней и просил извинения за свой костюм.
– Ничего, граф, голубчик, – сказала она, кротко закрывая глаза. – А к Безухому я съезжу, – сказала она. – Пьер приехал, и теперь мы всё достанем, граф, из его оранжерей. Мне и нужно было видеть его. Он мне прислал письмо от Бориса. Слава Богу, Боря теперь при штабе.
Граф обрадовался, что Анна Михайловна брала одну часть его поручений, и велел ей заложить маленькую карету.
– Вы Безухову скажите, чтоб он приезжал. Я его запишу. Что он с женой? – спросил он.
Анна Михайловна завела глаза, и на лице ее выразилась глубокая скорбь…
– Ах, мой друг, он очень несчастлив, – сказала она. – Ежели правда, что мы слышали, это ужасно. И думали ли мы, когда так радовались его счастию! И такая высокая, небесная душа, этот молодой Безухов! Да, я от души жалею его и постараюсь дать ему утешение, которое от меня будет зависеть.
– Да что ж такое? – спросили оба Ростова, старший и младший.
Анна Михайловна глубоко вздохнула: – Долохов, Марьи Ивановны сын, – сказала она таинственным шопотом, – говорят, совсем компрометировал ее. Он его вывел, пригласил к себе в дом в Петербурге, и вот… Она сюда приехала, и этот сорви голова за ней, – сказала Анна Михайловна, желая выразить свое сочувствие Пьеру, но в невольных интонациях и полуулыбкою выказывая сочувствие сорви голове, как она назвала Долохова. – Говорят, сам Пьер совсем убит своим горем.
– Ну, всё таки скажите ему, чтоб он приезжал в клуб, – всё рассеется. Пир горой будет.
На другой день, 3 го марта, во 2 м часу по полудни, 250 человек членов Английского клуба и 50 человек гостей ожидали к обеду дорогого гостя и героя Австрийского похода, князя Багратиона. В первое время по получении известия об Аустерлицком сражении Москва пришла в недоумение. В то время русские так привыкли к победам, что, получив известие о поражении, одни просто не верили, другие искали объяснений такому странному событию в каких нибудь необыкновенных причинах. В Английском клубе, где собиралось всё, что было знатного, имеющего верные сведения и вес, в декабре месяце, когда стали приходить известия, ничего не говорили про войну и про последнее сражение, как будто все сговорились молчать о нем. Люди, дававшие направление разговорам, как то: граф Ростопчин, князь Юрий Владимирович Долгорукий, Валуев, гр. Марков, кн. Вяземский, не показывались в клубе, а собирались по домам, в своих интимных кружках, и москвичи, говорившие с чужих голосов (к которым принадлежал и Илья Андреич Ростов), оставались на короткое время без определенного суждения о деле войны и без руководителей. Москвичи чувствовали, что что то нехорошо и что обсуждать эти дурные вести трудно, и потому лучше молчать. Но через несколько времени, как присяжные выходят из совещательной комнаты, появились и тузы, дававшие мнение в клубе, и всё заговорило ясно и определенно. Были найдены причины тому неимоверному, неслыханному и невозможному событию, что русские были побиты, и все стало ясно, и во всех углах Москвы заговорили одно и то же. Причины эти были: измена австрийцев, дурное продовольствие войска, измена поляка Пшебышевского и француза Ланжерона, неспособность Кутузова, и (потихоньку говорили) молодость и неопытность государя, вверившегося дурным и ничтожным людям. Но войска, русские войска, говорили все, были необыкновенны и делали чудеса храбрости. Солдаты, офицеры, генералы – были герои. Но героем из героев был князь Багратион, прославившийся своим Шенграбенским делом и отступлением от Аустерлица, где он один провел свою колонну нерасстроенною и целый день отбивал вдвое сильнейшего неприятеля. Тому, что Багратион выбран был героем в Москве, содействовало и то, что он не имел связей в Москве, и был чужой. В лице его отдавалась должная честь боевому, простому, без связей и интриг, русскому солдату, еще связанному воспоминаниями Итальянского похода с именем Суворова. Кроме того в воздаянии ему таких почестей лучше всего показывалось нерасположение и неодобрение Кутузову.
– Ежели бы не было Багратиона, il faudrait l'inventer, [надо бы изобрести его.] – сказал шутник Шиншин, пародируя слова Вольтера. Про Кутузова никто не говорил, и некоторые шопотом бранили его, называя придворною вертушкой и старым сатиром. По всей Москве повторялись слова князя Долгорукова: «лепя, лепя и облепишься», утешавшегося в нашем поражении воспоминанием прежних побед, и повторялись слова Ростопчина про то, что французских солдат надо возбуждать к сражениям высокопарными фразами, что с Немцами надо логически рассуждать, убеждая их, что опаснее бежать, чем итти вперед; но что русских солдат надо только удерживать и просить: потише! Со всex сторон слышны были новые и новые рассказы об отдельных примерах мужества, оказанных нашими солдатами и офицерами при Аустерлице. Тот спас знамя, тот убил 5 ть французов, тот один заряжал 5 ть пушек. Говорили и про Берга, кто его не знал, что он, раненый в правую руку, взял шпагу в левую и пошел вперед. Про Болконского ничего не говорили, и только близко знавшие его жалели, что он рано умер, оставив беременную жену и чудака отца.


3 го марта во всех комнатах Английского клуба стоял стон разговаривающих голосов и, как пчелы на весеннем пролете, сновали взад и вперед, сидели, стояли, сходились и расходились, в мундирах, фраках и еще кое кто в пудре и кафтанах, члены и гости клуба. Пудренные, в чулках и башмаках ливрейные лакеи стояли у каждой двери и напряженно старались уловить каждое движение гостей и членов клуба, чтобы предложить свои услуги. Большинство присутствовавших были старые, почтенные люди с широкими, самоуверенными лицами, толстыми пальцами, твердыми движениями и голосами. Этого рода гости и члены сидели по известным, привычным местам и сходились в известных, привычных кружках. Малая часть присутствовавших состояла из случайных гостей – преимущественно молодежи, в числе которой были Денисов, Ростов и Долохов, который был опять семеновским офицером. На лицах молодежи, особенно военной, было выражение того чувства презрительной почтительности к старикам, которое как будто говорит старому поколению: уважать и почитать вас мы готовы, но помните, что всё таки за нами будущность.
Несвицкий был тут же, как старый член клуба. Пьер, по приказанию жены отпустивший волоса, снявший очки и одетый по модному, но с грустным и унылым видом, ходил по залам. Его, как и везде, окружала атмосфера людей, преклонявшихся перед его богатством, и он с привычкой царствования и рассеянной презрительностью обращался с ними.
По годам он бы должен был быть с молодыми, по богатству и связям он был членом кружков старых, почтенных гостей, и потому он переходил от одного кружка к другому.
Старики из самых значительных составляли центр кружков, к которым почтительно приближались даже незнакомые, чтобы послушать известных людей. Большие кружки составлялись около графа Ростопчина, Валуева и Нарышкина. Ростопчин рассказывал про то, как русские были смяты бежавшими австрийцами и должны были штыком прокладывать себе дорогу сквозь беглецов.
Валуев конфиденциально рассказывал, что Уваров был прислан из Петербурга, для того чтобы узнать мнение москвичей об Аустерлице.
В третьем кружке Нарышкин говорил о заседании австрийского военного совета, в котором Суворов закричал петухом в ответ на глупость австрийских генералов. Шиншин, стоявший тут же, хотел пошутить, сказав, что Кутузов, видно, и этому нетрудному искусству – кричать по петушиному – не мог выучиться у Суворова; но старички строго посмотрели на шутника, давая ему тем чувствовать, что здесь и в нынешний день так неприлично было говорить про Кутузова.
Граф Илья Андреич Ростов, озабоченно, торопливо похаживал в своих мягких сапогах из столовой в гостиную, поспешно и совершенно одинаково здороваясь с важными и неважными лицами, которых он всех знал, и изредка отыскивая глазами своего стройного молодца сына, радостно останавливал на нем свой взгляд и подмигивал ему. Молодой Ростов стоял у окна с Долоховым, с которым он недавно познакомился, и знакомством которого он дорожил. Старый граф подошел к ним и пожал руку Долохову.