Математическое ожидание

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Ожидаемая ценность»)
Перейти к: навигация, поиск

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины (распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей)[1].

  • В англоязычной литературе обозначается через <math>\mathbb{E}[X]</math>[2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert),
  • в русской — <math>M[X]</math> (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»).
  • В статистике часто используют обозначение <math>\mu</math>.




Определение

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Пусть задано вероятностное пространство <math>(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})</math> и определённая на нём случайная величина <math>X</math>. То есть, по определению, <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от <math>X</math> по пространству <math>\Omega</math>, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается <math>M[X]</math> или <math>\mathbb{E}[X]</math>.

<math>M[X]=\int\limits_{\Omega}\! X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega).</math>

Основные формулы для математического ожидания

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)
<math>M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x\, dF_X(x); x \in \mathbb R</math>.

Математическое ожидание дискретного распределения

<math>\mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1</math>,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

<math>M[X]=\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i</math>.

Математическое ожидание целочисленной величины

  • Если <math>X</math> — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей
<math>\mathbb{P}(X=j) = p_j,\; j=0,1,...;\quad \sum\limits_{j=0}^{\infty} p_j = 1</math>

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности <math>\{p_i\}</math>

<math>P(s)=\sum_{k=0}^\infty\;p_k s^k </math>

как значение первой производной в единице: <math>M[X] = P'(1)</math>. Если математическое ожидание <math>X</math> бесконечно, то <math>\lim_{s\to 1}P'(s)=\infty</math> и мы будем писать <math>P'(1)=M[X]=\infty</math>

Теперь возьмём производящую функцию <math>Q(s)</math> последовательности «хвостов» распределения <math>\{q_k\}</math>

<math>q_k=\mathbb{P}(X>k)=\sum_{j=k+1}^\infty{p_j};\quad Q(s)=\sum_{k=0}^\infty\;q_k s^k.</math>

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией <math>P(s)</math> свойством: <math>Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s}</math> при <math>|s|<1</math>. Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

<math>M[X]=P'(1)=Q(1)</math>

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

<math>M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\! x f_X(x)\, dx</math>.

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть <math>X=(X_1,\dots,X_n)^{\top}\colon\Omega \to \mathbb{R}^n</math> — случайный вектор. Тогда по определению

<math>M[X]=(M[X_1],\dots,M[X_n])^{\top}</math>,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть <math>g\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> — борелевская функция, такая что случайная величина <math>Y = g(X)</math> имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

<math>M\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i</math>,

если <math>X</math> имеет дискретное распределение;

<math>M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x) f_X(x)\, dx</math>,

если <math>X</math> имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение <math>\mathbb{P}^X</math> случайной величины <math>X</math> общего вида, то

<math>M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x)\, \mathbb{P}^X(dx)</math>.

В специальном случае, когда <math>g(X)=X^k</math>, Математическое ожидание <math>M\left[g(X)\right]=M[X^k]</math> называется <math>k</math>-тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)
  • Математическое ожидание числа есть само число.
<math>M[a] = a</math>
<math>a \in \mathbb{R}</math> — константа;
  • Математическое ожидание линейно, то есть
<math>M[aX+bY] = aM[X]+bM[Y]</math>,
где <math>X,Y</math> — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а <math>a,b\in \mathbb{R}</math> — произвольные константы;
  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если <math>0 \leqslant X \leqslant Y</math> почти наверное, и <math>Y</math> — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины <math>X</math> также конечно, и более того
<math>0 \leqslant M[X] \leqslant M[Y]</math>;
  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если <math>X = Y</math> почти наверное, то
<math>M[X]=M[Y]</math>.
  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин <math>X,Y</math> равно произведению их математических ожиданий
<math>M[XY] = M[X]M[Y]</math>.

Дополнительные свойства математического ожидания

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Примеры

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)
<math>M[X] = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i</math>

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

  • Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале <math>[a,b]</math>, где <math>a<b</math>. Тогда её плотность имеет вид <math>f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(x)</math> и математическое ожидание равно
<math>M[X] = \int\limits_{a}^b\!\frac{x}{b-a}\, dx = \frac{a+b}{2}</math>.
<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!xf_X(x)\, dx = \infty</math>,

то есть математическое ожидание <math>X</math> не определено.

Напишите отзыв о статье "Математическое ожидание"

Примечания

  1. «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
  2. А. Н. Ширяев. 1 // «Вероятность». — М.: МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.

См. также

Литература

  • В.Феллер. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.

Отрывок, характеризующий Математическое ожидание

Балашев обедал в этот день с маршалом в том же сарае, на той же доске на бочках.
На другой день Даву выехал рано утром и, пригласив к себе Балашева, внушительно сказал ему, что он просит его оставаться здесь, подвигаться вместе с багажами, ежели они будут иметь на то приказания, и не разговаривать ни с кем, кроме как с господином де Кастро.
После четырехдневного уединения, скуки, сознания подвластности и ничтожества, особенно ощутительного после той среды могущества, в которой он так недавно находился, после нескольких переходов вместе с багажами маршала, с французскими войсками, занимавшими всю местность, Балашев привезен был в Вильну, занятую теперь французами, в ту же заставу, на которой он выехал четыре дня тому назад.
На другой день императорский камергер, monsieur de Turenne, приехал к Балашеву и передал ему желание императора Наполеона удостоить его аудиенции.
Четыре дня тому назад у того дома, к которому подвезли Балашева, стояли Преображенского полка часовые, теперь же стояли два французских гренадера в раскрытых на груди синих мундирах и в мохнатых шапках, конвой гусаров и улан и блестящая свита адъютантов, пажей и генералов, ожидавших выхода Наполеона вокруг стоявшей у крыльца верховой лошади и его мамелюка Рустава. Наполеон принимал Балашева в том самом доме в Вильве, из которого отправлял его Александр.


Несмотря на привычку Балашева к придворной торжественности, роскошь и пышность двора императора Наполеона поразили его.
Граф Тюрен ввел его в большую приемную, где дожидалось много генералов, камергеров и польских магнатов, из которых многих Балашев видал при дворе русского императора. Дюрок сказал, что император Наполеон примет русского генерала перед своей прогулкой.
После нескольких минут ожидания дежурный камергер вышел в большую приемную и, учтиво поклонившись Балашеву, пригласил его идти за собой.
Балашев вошел в маленькую приемную, из которой была одна дверь в кабинет, в тот самый кабинет, из которого отправлял его русский император. Балашев простоял один минуты две, ожидая. За дверью послышались поспешные шаги. Быстро отворились обе половинки двери, камергер, отворивший, почтительно остановился, ожидая, все затихло, и из кабинета зазвучали другие, твердые, решительные шаги: это был Наполеон. Он только что окончил свой туалет для верховой езды. Он был в синем мундире, раскрытом над белым жилетом, спускавшимся на круглый живот, в белых лосинах, обтягивающих жирные ляжки коротких ног, и в ботфортах. Короткие волоса его, очевидно, только что были причесаны, но одна прядь волос спускалась книзу над серединой широкого лба. Белая пухлая шея его резко выступала из за черного воротника мундира; от него пахло одеколоном. На моложавом полном лице его с выступающим подбородком было выражение милостивого и величественного императорского приветствия.
Он вышел, быстро подрагивая на каждом шагу и откинув несколько назад голову. Вся его потолстевшая, короткая фигура с широкими толстыми плечами и невольно выставленным вперед животом и грудью имела тот представительный, осанистый вид, который имеют в холе живущие сорокалетние люди. Кроме того, видно было, что он в этот день находился в самом хорошем расположении духа.
Он кивнул головою, отвечая на низкий и почтительный поклон Балашева, и, подойдя к нему, тотчас же стал говорить как человек, дорожащий всякой минутой своего времени и не снисходящий до того, чтобы приготавливать свои речи, а уверенный в том, что он всегда скажет хорошо и что нужно сказать.
– Здравствуйте, генерал! – сказал он. – Я получил письмо императора Александра, которое вы доставили, и очень рад вас видеть. – Он взглянул в лицо Балашева своими большими глазами и тотчас же стал смотреть вперед мимо него.
Очевидно было, что его не интересовала нисколько личность Балашева. Видно было, что только то, что происходило в его душе, имело интерес для него. Все, что было вне его, не имело для него значения, потому что все в мире, как ему казалось, зависело только от его воли.
– Я не желаю и не желал войны, – сказал он, – но меня вынудили к ней. Я и теперь (он сказал это слово с ударением) готов принять все объяснения, которые вы можете дать мне. – И он ясно и коротко стал излагать причины своего неудовольствия против русского правительства.
Судя по умеренно спокойному и дружелюбному тону, с которым говорил французский император, Балашев был твердо убежден, что он желает мира и намерен вступить в переговоры.
– Sire! L'Empereur, mon maitre, [Ваше величество! Император, государь мой,] – начал Балашев давно приготовленную речь, когда Наполеон, окончив свою речь, вопросительно взглянул на русского посла; но взгляд устремленных на него глаз императора смутил его. «Вы смущены – оправьтесь», – как будто сказал Наполеон, с чуть заметной улыбкой оглядывая мундир и шпагу Балашева. Балашев оправился и начал говорить. Он сказал, что император Александр не считает достаточной причиной для войны требование паспортов Куракиным, что Куракин поступил так по своему произволу и без согласия на то государя, что император Александр не желает войны и что с Англией нет никаких сношений.
– Еще нет, – вставил Наполеон и, как будто боясь отдаться своему чувству, нахмурился и слегка кивнул головой, давая этим чувствовать Балашеву, что он может продолжать.
Высказав все, что ему было приказано, Балашев сказал, что император Александр желает мира, но не приступит к переговорам иначе, как с тем условием, чтобы… Тут Балашев замялся: он вспомнил те слова, которые император Александр не написал в письме, но которые непременно приказал вставить в рескрипт Салтыкову и которые приказал Балашеву передать Наполеону. Балашев помнил про эти слова: «пока ни один вооруженный неприятель не останется на земле русской», но какое то сложное чувство удержало его. Он не мог сказать этих слов, хотя и хотел это сделать. Он замялся и сказал: с условием, чтобы французские войска отступили за Неман.
Наполеон заметил смущение Балашева при высказывании последних слов; лицо его дрогнуло, левая икра ноги начала мерно дрожать. Не сходя с места, он голосом, более высоким и поспешным, чем прежде, начал говорить. Во время последующей речи Балашев, не раз опуская глаза, невольно наблюдал дрожанье икры в левой ноге Наполеона, которое тем более усиливалось, чем более он возвышал голос.
– Я желаю мира не менее императора Александра, – начал он. – Не я ли осьмнадцать месяцев делаю все, чтобы получить его? Я осьмнадцать месяцев жду объяснений. Но для того, чтобы начать переговоры, чего же требуют от меня? – сказал он, нахмурившись и делая энергически вопросительный жест своей маленькой белой и пухлой рукой.
– Отступления войск за Неман, государь, – сказал Балашев.
– За Неман? – повторил Наполеон. – Так теперь вы хотите, чтобы отступили за Неман – только за Неман? – повторил Наполеон, прямо взглянув на Балашева.
Балашев почтительно наклонил голову.
Вместо требования четыре месяца тому назад отступить из Номерании, теперь требовали отступить только за Неман. Наполеон быстро повернулся и стал ходить по комнате.