Оконное преобразование Фурье

Оконное преобразование Фурье — это разновидность преобразования Фурье, определяемая следующим образом:

<math>F(t,\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,</math>

где <math>W(\tau-t)</math> — некоторая оконная функция. В случае дискретного преобразования оконная функция используется аналогично:

<math> F(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n]w[n-m]e^{-j \omega n} </math>

Существует множество математических формул визуально улучшающих частотный спектр на разрыве границ окна. Для этого применяются преобразования: прямоугольное (никакое), треугольное, сужающийся косинус, фрагмент синусоиды, синус в кубе, синус в 4-й степени, преобразование Парзена, Велша, Гаусса, Хеннинга, Хэмминга, Чебышёва, с пульсациями, Розенфилда, Блэкмана-Харриса, горизонтальное и с плоской вершиной. Также существует методика по взаимному перекрытию окон, при этом обычно можно выбрать сколько семплов из предыдущего окна будет усреднено с текущим окном.

Применение

В большинстве задач цифровой обработки нет возможности исследовать сигнал на бесконечном интервале. Нет возможности узнать, какой был сигнал до включения устройства и какой он будет в будущем. Также ограничение интервала исследования может быть обусловлено нестационарностью исследуемого сигнала.

Ограничение интервала анализа равносильно произведению исходного сигнала на оконную функцию. Таким образом, результатом оконного преобразования Фурье является не спектр исходного сигнала, а спектр произведения сигнала и оконной функции. Спектр, полученный при помощи оконного преобразования Фурье, является оценкой спектра исходного сигнала и принципиально допускает искажения.

Искажения, вносимые применением окон, определяются размером окна и его формой. Выделяют два основных свойства частотных характеристик окон: ширина главного лепестка и максимальный уровень боковых лепестков. Применение окон, отличных от прямоугольного, обусловлено желанием уменьшить влияние боковых лепестков за счет увеличения ширины главного.

Частотно-временное разрешение

При использовании оконного преобразования Фурье невозможно одновременно обеспечить хорошее разрешение по времени и по частоте. Чем уже окно, тем выше разрешение по времени и ниже разрешение по частоте.

Разрешение по осям является постоянным. Это нежелательно для ряда задач, в которых информация по частотам распределена неравномерно. В таких задачах в качестве альтернативы оконному преобразованию Фурье может использоваться вейвлет-преобразование, временное разрешение которого увеличивается с частотой (частотное снижается).

Типы оконных функций

Прямоугольное окно

<math>w(n)=\left\{ \begin{matrix}

  1 , & n\in[0,N-1] \\
  0, & n\notin[0,N-1]\\

\end{matrix} \right.</math>

Получается автоматически при ограничении выборки N отсчетами. Максимальный уровень боковых лепестков частотной характеристики: -13 дБ.

Окно Ханна (Хеннинга)

<math>w(n) = 0.5\; \left(1 - \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) \right)</math>

где N — ширина окна. Уровень боковых лепестков: -31.5 дБ.

Окно Хэмминга

<math>w(n)=0.53836 - 0.46164\; \cos \left ( \frac{2\pi n}{N-1} \right)</math>

Уровень боковых лепестков: -42 дБ.

Окно Блэкмана

<math>w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)</math>

<math>a_0=\frac{1-\alpha}{2};\quad a_1=\frac{1}{2};\quad a_2=\frac{\alpha}{2}</math>

Уровень боковых лепестков: -58 дБ (α=0.16).

Окно Кайзера

<math>w(n) = \frac { | I _0 \left ( \beta \sqrt {1 - \left ( \frac{2n-N+1}{N-1} \right )^2} \right ) | } { | I _0 (\beta) | } </math>

где <math>I_0</math> — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; <math>\beta</math> — коэффициент определяющий долю энергии, сосредоточенной в главном лепестке спектра оконной функции. Чем больше <math>\beta</math> тем больше доля энергии, и шире главный лепесток, и меньше уровень боковых лепестков. На практике используются значения от 4 до 9.

См. также

• Вейвлет-преобразование
• Функции Бесселя

Внешние ссылки

• [dspsystem.narod.ru/add/win/win.html Некоторые оконные функции и их параметры]
• [www.dspsystem.narod.ru/content/winex/winex.html Использование оконных функций в задачах цифрового спектрального анализа. Примеры и рекомендации]

Отрывок, характеризующий Оконное преобразование Фурье

Взорванный словом интригантка , Николай, возвысив голос, сказал матери, что он никогда не думал, чтобы она заставляла его продавать свои чувства, и что ежели это так, то он последний раз говорит… Но он не успел сказать того решительного слова, которого, судя по выражению его лица, с ужасом ждала мать и которое может быть навсегда бы осталось жестоким воспоминанием между ними. Он не успел договорить, потому что Наташа с бледным и серьезным лицом вошла в комнату от двери, у которой она подслушивала.
– Николинька, ты говоришь пустяки, замолчи, замолчи! Я тебе говорю, замолчи!.. – почти кричала она, чтобы заглушить его голос.
– Мама, голубчик, это совсем не оттого… душечка моя, бедная, – обращалась она к матери, которая, чувствуя себя на краю разрыва, с ужасом смотрела на сына, но, вследствие упрямства и увлечения борьбы, не хотела и не могла сдаться.
– Николинька, я тебе растолкую, ты уйди – вы послушайте, мама голубушка, – говорила она матери.
Слова ее были бессмысленны; но они достигли того результата, к которому она стремилась.
Графиня тяжело захлипав спрятала лицо на груди дочери, а Николай встал, схватился за голову и вышел из комнаты.
Наташа взялась за дело примирения и довела его до того, что Николай получил обещание от матери в том, что Соню не будут притеснять, и сам дал обещание, что он ничего не предпримет тайно от родителей.
С твердым намерением, устроив в полку свои дела, выйти в отставку, приехать и жениться на Соне, Николай, грустный и серьезный, в разладе с родными, но как ему казалось, страстно влюбленный, в начале января уехал в полк.
После отъезда Николая в доме Ростовых стало грустнее чем когда нибудь. Графиня от душевного расстройства сделалась больна.
Соня была печальна и от разлуки с Николаем и еще более от того враждебного тона, с которым не могла не обращаться с ней графиня. Граф более чем когда нибудь был озабочен дурным положением дел, требовавших каких нибудь решительных мер. Необходимо было продать московский дом и подмосковную, а для продажи дома нужно было ехать в Москву. Но здоровье графини заставляло со дня на день откладывать отъезд.
Наташа, легко и даже весело переносившая первое время разлуки с своим женихом, теперь с каждым днем становилась взволнованнее и нетерпеливее. Мысль о том, что так, даром, ни для кого пропадает ее лучшее время, которое бы она употребила на любовь к нему, неотступно мучила ее. Письма его большей частью сердили ее. Ей оскорбительно было думать, что тогда как она живет только мыслью о нем, он живет настоящею жизнью, видит новые места, новых людей, которые для него интересны. Чем занимательнее были его письма, тем ей было досаднее. Ее же письма к нему не только не доставляли ей утешения, но представлялись скучной и фальшивой обязанностью. Она не умела писать, потому что не могла постигнуть возможности выразить в письме правдиво хоть одну тысячную долю того, что она привыкла выражать голосом, улыбкой и взглядом. Она писала ему классически однообразные, сухие письма, которым сама не приписывала никакого значения и в которых, по брульонам, графиня поправляла ей орфографические ошибки.
Здоровье графини все не поправлялось; но откладывать поездку в Москву уже не было возможности. Нужно было делать приданое, нужно было продать дом, и притом князя Андрея ждали сперва в Москву, где в эту зиму жил князь Николай Андреич, и Наташа была уверена, что он уже приехал.
Графиня осталась в деревне, а граф, взяв с собой Соню и Наташу, в конце января поехал в Москву.



Пьер после сватовства князя Андрея и Наташи, без всякой очевидной причины, вдруг почувствовал невозможность продолжать прежнюю жизнь. Как ни твердо он был убежден в истинах, открытых ему его благодетелем, как ни радостно ему было то первое время увлечения внутренней работой самосовершенствования, которой он предался с таким жаром, после помолвки князя Андрея с Наташей и после смерти Иосифа Алексеевича, о которой он получил известие почти в то же время, – вся прелесть этой прежней жизни вдруг пропала для него. Остался один остов жизни: его дом с блестящею женой, пользовавшеюся теперь милостями одного важного лица, знакомство со всем Петербургом и служба с скучными формальностями. И эта прежняя жизнь вдруг с неожиданной мерзостью представилась Пьеру. Он перестал писать свой дневник, избегал общества братьев, стал опять ездить в клуб, стал опять много пить, опять сблизился с холостыми компаниями и начал вести такую жизнь, что графиня Елена Васильевна сочла нужным сделать ему строгое замечание. Пьер почувствовав, что она была права, и чтобы не компрометировать свою жену, уехал в Москву.