Окружность

Окру́жность — это фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, иногда этот случай исключается из определения.

Обозначение

Если окружность проходит, например, через точки A, B, C, то её обозначают указанием этих точек в круглых скобках: (A, B, C). Тогда дугу окружности, проходящую через точки A, B, C, обозначают как дуга ABC (или дуга AC), а так же ^υ ABC (или ^υ AC).

Другие определения

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом (Определение через угол, опирающийся на диаметр окружности).

• Окружность с хордой AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под постоянным углом с одной стороны, равным вписанному углу дуги AB, и под другим постоянным углом с другой стороны, равным 180 градусов минус вписанный угол дуги AB, указанный выше (Определение через вписанный угол).
• Фигура состоящая из таких точек <math>X,</math> что отношение длин отрезков AX и BX постоянно: <math>\frac{AX}{BX}=c\neq 1,</math> является окружностью (Определение через окружность Аполлония).
• Фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками, также является окружностью (Определение через теорему Пифагора для произвольного прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, с гипотенузой, являющейся диаметром окружности).
• Окружность — замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Если через произвольную точку M внутри неё провести любые хорды AB, CD, EF и т. д., тогда справедливы равенства: AM·MB=CM·MD=EM·MF и т. д. Равенства всегда будут выполняться независимо от выбора точки M и направлений проведенных через неё хорд (Определение через пересекающиеся хорды).
• Окружность — замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Если через произвольную точку M вне её провести две касательные до точек их касания с окружностью, например, A и B, тогда их длины всегда будут равны: MA=MB. Равенство всегда будет выполняться независимо от выбора точки M (Определение через равные касательные).
• Окружность — замкнутая, самонепересекающаяся фигура, обладающая следующим свойством. Отношение длины любой её хорды к синусу любого её вписанного угла, опирающегося на эту хорду, есть величина постоянная, равная диаметру этой окружности (Определение через теорему синусов).
• Окружность — это частный случай эллипса, у которого расстояние между фокусами равно нулю (Определение через вырожденный эллипс).

Связанные определения для одной окружности

• Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом.
• Радиус — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек. Радиус всегда равен половине диаметра окружности.
• Радиус всегда перпендикулярен к касательной прямой, проведенной к окружности в его общей точке с окружностью. То есть радиус является одновременно и нормалью к окружности.
• Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.
• Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
• Любые две не совпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
• Длина единичной полуокружности обозначается через π.

• Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
• Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу (и диаметру), проведенному в точке касания, который является нормалью, проведенной в данной точке.
• Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей.

Определение треугольников для одной окружности

• Треугольник ABC называется вписанным в окружность (A,B,C), если все три его вершины A, B и C лежат на этой окружности. При этом окружность называется описанной окружностью треугольника ABC (См. Описанная окружность).
• Касательная к окружности, проведенная через любую вершину вписанного в неё треугольника антипараллельна стороне треугольника, противоположной данной вершине.
• Треугольник ABC называется описанным около окружности (A',B',C'), если все три его стороны AB, BC и CA касаются этой окружности в некоторых точках соответственно C', A' и B'. При этом окружность называется вписанной окружностью треугольника ABC (См. Вписанная окружность).

Определения углов для одной окружности

• Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.

• Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен радианной/градусной мере дуги, на которую опирается (см. рис.).
• Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается (см. рис.).
• Внешний угол для Вписанного угла — угол, образованный одной стороной и продолжением другой стороны вписанного угла (см. рис. угол θ коричневого цвета). Внешний угол для вписанного с другой стороны угла окружности имеет ту же величину θ.
• Угол между окружностью и прямой — угол между прямой и касательной к окружности в точке пересечения прямой и окружности. Оба угла между пересекающимися окружностью и прямой равны.
• Угол, опирающийся на диаметр окружности — угол вписанный в эту окружность, стороны которого содержат конца диаметра. Он всегда является прямым.

Связанные определения для двух окружностей

• Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
• Две окружности, имеющие лишь одну общую точку, называются касающимися внешним образом, если их круги не имеют других общих точек, и внутренним образом, если их круги лежат один внутри другого.
• Две окружности, имеющие две общие точки, называются пересекающимися. Их круги (ими ограниченные) пересекаются по области, называемой двойным круговым сегментом.
• Углом между двумя пересекающимися (или касающимися) окружностями называется угол между их касательными, проведенными в общей точке пересечения (или касания).
• Также углом между двумя пересекающимися (или касающимися) окружностями можно считать угол между их радиусами (диаметрами), проведенными в общей точке пересечения (или касания).
• Поскольку для любой окружности её радиус (или диаметр) и касательная, проведенные через любую точку окружности, взаимно перпендикулярны, то радиус (или диаметр) можно считать нормалью к окружности, построенной в данной её точке. Следовательно, два типа углов, определенных в двух предыдущих двух пунктах, всегда будут равны между собой, как углы со взаимно перпендикуярными сторонами.
• Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом.
• Радикальная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырех касательных, проведенных к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек.

Определения углов для двух окружностей

• Угол между двумя пересекающимися окружностями — угол между касательными к окружностям в точке пересечения этих окружностей. Оба угла между двумя пересекающимися окружностями равны.
• Угол между двумя непересекающимися окружностями — угол между двумя общимикасательными к двум окружностям, образуемый в точке пересечения этих двух касательных. Точка пересечения этих двух касательных должна лежать между двумя окружностями, а не со стороны одной из них (этот угол не рассматривается). Оба вертикальных угла между двумя непересекающимися окружностями равны.

Ортогональность

• Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом.
• Две пересекающиеся в точках A и B окружности с центрами O и O' называются ортогональными, если являются прямыми углы OAO' и OBO'. Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведенному в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
• Возможно другое дополнительное условие. Пусть две пересекающиеся в точках A и B окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках C и D, то есть дуга AС равна дуге СB, дуга AD равна дуге DB. Тогда эти окружности называются ортогональными, если являются прямыми углы СAD и СBD.

Связанные определения для трех окружностей

• Три окружности называются взаимно касающимися (пресекающимися), если любые две из них касаются (пресекаются) друг друга.
• В геометрии радикальный центр трёх окружностей — это точка пересечения трёх радикальных осей пар окружностей. Если радикальный центр лежит вне всех трёх окружностей, то он является центром единственной окружности (радикальной окружности), которая пересекает три данные окружности ортогонально.

Лемма Архимеда

Лемма Архимеда. Если окружность вписана в сегмент окружности, стягиваемый хордой <math>BC</math>, и касается дуги в точке <math>A_1</math>, а хорды — в точке <math>A_2</math>, то прямая <math>A_1A_2</math> является биссектрисой угла <math>BA_1C</math>. Лемма Архимеда играет важную роль при построении изоциркулярного преобразования.

Теорема Декарта для радиусов четырех попарно касающихся окружностей

Теорема Декарта' утверждает, что радиусы любых четырёх взаимно касающихся окружностей удовлетворяют некоторому квадратному уравнению. Их иногда называют окружностями Содди.

Свойства

• Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.
• Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
• Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу, проведённому в точку касания.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
• Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.
• Длину дуги окружности радиуса <math>R</math>, образованной центральным углом <math>\varphi</math>, измеренным в радианах, можно вычислить по формуле <math>L= \varphi R</math>.
  • Длину окружности с радиусом <math>R</math> можно вычислить по формуле <math>\ C= 2\pi R</math>.
• Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
  • Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  • Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
• Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
• Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги, лежащей в угле, и дуги напротив неё.
• Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
• Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
• При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.
• Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей, проходящей через выбранную точку, не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.
  • Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.
• Окружность является простой плоской алгебраической кривой второго порядка.
• Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.
• Любая окружность подобна любой окружности.
• Любая нормаль, проведенная внутрь окружности к любой её касательной, всегда постоянна по длине и совпадает с диаметром этой окружности как по направлению, так и по длине. Из последнего свойства вытекает следующее оптическое свойство окружности:
• Если источник света находится в центре окружности, а окружность является зеркалом, то после отражения от окружности-зеркала лучи снова соберутся в её центре (Собирающее оптическое свойство окружности).

Основные формулы

Длина окружности:

<math>L = 2 \pi R = \pi D.</math>

Радиус окружности:

<math>R = \frac{C}{2 \pi} = \frac{D}{2}.</math>

Диаметр окружности:

<math>D = \frac{C}{\pi} = 2 R.</math>

Площадь круга радиуса R:

<math>S= \pi R^2 = \frac{\pi D^2}{4}.</math>

Площадь сектора, ограниченного центральным углом α, измеряемым в градусах, радиусом R:

<math>S= \pi R^2 \frac{\alpha}{360^\circ}.</math>

Площадь сегмента, ограниченного дугой окружности, центральным углом α, хордой:

<math>S= \pi R^2 \frac{\alpha}{360^\circ}-\frac{R^2 \sin \alpha}{2}.</math>

Уравнения

Декартовы координаты

Общее уравнение окружности записывается как:

<math>x^2+y^2+Ax+By+C=0,</math>

или

<math>\left(x-x_0\right)^2 + \left(y-y_0\right)^2 = R^2,</math>

где

<math>2x_0=-A,\; 2y_0=-B,\; 2R = \sqrt{A^2+B^2-4C}.</math>

Точка <math>\left(x_0, y_0\right)</math> — центр окружности, <math>R</math> — её радиус.

Уравнение окружности радиуса <math>R</math> с центром в начале координат:

<math>x^2 + y^2 = R^2.</math>

Уравнение окружности, проходящей через точки <math>\left(x_1, y_1\right), \left(x_2, y_2\right), \left(x_3, y_3\right),</math> не лежащие на одной прямой (с помощью определителя):

<math>\begin{vmatrix}

x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0.</math>

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

<math>\begin{cases} x = x_0 + R \cos \varphi \\ y = y_0 + R \sin \varphi \end{cases},\;\;\;0 \leqslant \varphi < 2 \pi.</math>

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

<math>y = y_0 \pm \sqrt{R^2 - (x - x_0 )^2}.</math>

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

<math>y = \pm \sqrt{R^2 - x^2 }.</math>

Полярные координаты

Окружность радиуса <math>R</math> с центром в точке <math>\left(\rho_0,\phi_0\right)</math>:

<math>\rho^2 - 2\rho\,\rho_0\cos\left(\phi-\phi_0\right) + \rho_0^2 = R^2.</math>

Если полярные координаты центра окружности <math>\rho_0 = R,\;\phi_0 = \alpha,</math> то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:

<math>\rho(\varphi)=2R\cos\,(\varphi-\alpha),\;\;\;\alpha-\frac\pi 2 \leqslant \varphi \leqslant \alpha+\frac\pi 2.</math>

Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид

<math>\rho=R.</math>

Комплексная плоскость

На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:

<math>\left|z - z_0\right| = R</math>

или в параметрическом виде

<math>z=z_0 + Re^{it},\,t\in\R.</math>

В пространстве

В пространстве окружность радиуса <math>R</math> с центром в точке <math>M_0(x_0,y_0,z_0)</math> можно определить как контур диаметрального сечения сферы

<math>(x-x_0)^2+ (y-y_0)^2+ (z-z_0)^2= R^2</math>

плоскостью

<math>a\cdot (x-x_0)+ b\cdot (y-y_0)+ c\cdot (z-z_0)= 0</math>,

где <math>a,b,c</math> — параметры, не равные одновременно нулю; то есть все точки, лежащие на данной окружности, есть решения системы

<math>\begin{cases}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2,\\ a{\cdot}(x-x_0)+b{\cdot}(y-y_0)+c{\cdot}(z-z_0) = 0.\end{cases}</math>

Например, при <math>a= c\ne 0</math> решения этой системы можно задать параметрически следующим образом:

<math>\begin{cases} x= x_0 + \dfrac{R}{\sqrt{a^2+c^2}}\cdot\!\left(c\cdot \cos t - \dfrac{a\cdot b\cdot \sin t}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)\!,\\[10pt] y= y_0 + \dfrac{R\cdot \sqrt{a^2 + c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot \sin t, \\[10pt] z= z_0 - \dfrac{R}{\sqrt{a^2+ c^2}}\cdot\!\left(a\cdot \cos t + \dfrac{b\cdot c\cdot \sin t}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)\!, \end{cases}t \in [0;2\pi).</math>

Касательные и нормали

Уравнение касательной к окружности в точке <math>\left(x_1,y_1\right)</math> определяется уравнением

<math>\left(\frac{A}{2}+x_1\right)x + \left(\frac{B}{2}+y_1\right)y + \left(\frac{A}{2}x_1+\frac{B}{2}y_1+C\right) = 0.</math>

Уравнение нормали в той же точке можно записать как

<math>\frac{x-x_1}{2x_1+A} = \frac{y-y_1}{2y_1+B}.</math>

Концентрические и ортогональные окружности

Две окружности, заданные уравнениями:

<math>x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0,\;\;\;x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0</math>

являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда <math>A_1=A_2</math> и <math>B_1=B_2 .</math>

Две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

<math>A_1A_2 + B_1B_2 = 2\left(C_1+C_2\right).</math>

См. также

• Вневписанная окружность
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Вписанная окружность
• Глоссарий планиметрии на слово "Окружность"
• Диаметр
• Круг
• Полукруг
• Полуокружность
• Описанная окружность
• Радиус
• Эллипс, как обобщенная окружность

Литература

• Математическая энциклопедия в пяти томах. — М.: Советская энциклопедия, 1983.
• Маркушевич А. И. [ilib.mirror1.mccme.ru/plm/ann/a04.htm Замечательные кривые, выпуск 4]. — М.: Гостехиздат, 1952. — 32 с.
• Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. и др. Дополнительные главы к учебнику 8 класса // Геометрия. — 3-е издание. — М.: Вита-Пресс, 2003.