Алгебра Кэли

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Октава (число)»)
Перейти к: навигация, поиск

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается <math>\mathbb{O}</math>, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.





История

Впервые рассмотрена в 1843 Грейвсом, приятелем[1] Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли.

Конструкция

Число Кэли — это линейная комбинация элементов <math>\{1, i, j, k, l, il, jl, kl\}</math>. Каждая октава x может быть записана в форме

<math>x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl.</math>

с вещественными коэффициентами <math>x_i</math>. Октонионы находят применение в физике: например, в СТО и теории струн[2]. Таблица умножения элементов октавы:

1 i (e1) j (e2) k (e3) l (e4) il (e5) jl (e6) kl (e7)
i (e1) −1 k −j il −l −kl jl
j (e2) −k −1 i jl kl −l −il
k (e3) j −i −1 kl −jl il −l
l (e4) −il −jl −kl −1 i j k
il (e5) l −kl jl −i −1 −k j
jl (e6) kl l −il −j k −1 −i
kl (e7) −jl il l −k −j i −1

Таблица (Кэли) умножения октонионов[3]

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 -1 e3 −e2 e5 −e4 −e7 e6
e2 −e3 -1 e1 e6 e7 −e4 −e5
e3 e2 −e1 -1 e7 −e6 e5 −e4
e4 −e5 −e6 −e7 -1 e1 e2 e3
e5 e4 −e7 e6 −e1 -1 −e3 e2
e6 e7 e4 −e5 −e2 e3 -1 −e1
e7 −e6 e5 e4 −e3 −e2 e1 -1

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Номер 1 2 3 4 5 6 7
Буквы i j k l il jl kl
Замена i j k l m n o

Свойства

Сопряжение и норма

Пусть дан октонион

<math>x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl</math>

Операция сопряжения октониона <math>x</math> определена равенством

<math>x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.</math>

Операция сопряжения удовлетворяет равенствам

<math>( xy)^*=y^* x^* </math>
<math> x^* =-\frac 16 (x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl))

</math>

Вещественная часть октониона <math>x</math> определена равенством

<math> \frac 12(x + x^*) = x_0 </math>

и мнимая часть октониона <math>x</math> определена равенством

<math> \frac 12(x - x^*) </math>

Норма октониона <math>x</math> определена равенством

<math>\|x\| = \sqrt{x^* x}</math>.

Легко убедиться, что норма неотрицательное вещественное число

<math>\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2.</math>

Следовательно, <math>\|x\|=0</math> тогда и только тогда, когда <math>x=0</math>.

Из определения нормы следует, что октонион <math>x\ne 0</math> обратим и

<math>x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}.</math>

См. также

Напишите отзыв о статье "Алгебра Кэли"

Ссылки

  1. ↑ [www.kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_179.htm Куда же спряталась самая свободная алгебра?] (HTML) (26-01-2003). [www.webcitation.org/65OgWHJSK Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012].
  2. ↑ [www.incunabula.org/blog/articles/stewart.html Ian Stewart: The Missing Link] (недоступная ссылка с 19-05-2013 (3988 дней) — история) (англ.). Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010.
    [tech.groups.yahoo.com/group/cph_theory/message/6401 Статья The missing link] на yahoo.com, [www.scientific.ru/journal/western/mislink.html русский перевод] на scientific.ru.
  3. ↑ Антисимметрия по диагонали для −1
  • Джон С. Баэс «Октонионы», см. [hypercomplex.xpsweb.com/articles/286/ru/pdf/main-05.pdf «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» № 1(5), Vol 3(2006)] с.120-176.


Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.
</math>) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |заголовок2=
Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные[en]

|заголовок3=
Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица

|заголовок4=
Иерархия чисел
|список4=
<center>
<math>1,\;2,\;\ldots</math> Натуральные числа
<math>-1,\;0,\;1,\;\ldots</math> Целые числа
<math>-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots</math> Рациональные числа
<math>-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> Вещественные числа
<math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> Комплексные числа
<math>1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> Кватернионы
<math>1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots</math> Октонионы
<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math> Седенионы
</center> |заголовок5=
Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа

|заголовок6=
См. также

|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион

}}

Производные латинской буквы O, o
Буквы

Òò • Óó • Ôô • Ô͘ô͘ • Ô̆ô̆ • Õõ • Ṍṍ • Õ̀õ̀ • Ṏṏ • Ȭȭ • O̰o̰ • Öö • Ö́ö́ • Ö̀ö̀ • Ö̂ö̂ • Ȫȫ • Øø • Ǿǿ • Ø̀ø̀ • Ø̂ø • Ø̌ø̌ • Ø̄ø̄ • Ø̃ø̃ • Oͤoͤ • Ōō • Ṓṓ • Ṑṑ • Ō̂ō̂ • Ō̌ō̌ • Ō̆ō̆ • Ō͘ō͘ • Ŏŏ • Őő • Ɔɔ • Ɔ́ɔ́ • Ɔ̀ɔ̀ • Ɔ̂ɔ̂ • Ɔ̌ɔ̌ • Ɔ̍ɔ̍ • Ɔ̄ɔ̄ • Ɔ᷆ɔ᷆ • Ɔ᷇ɔ᷇ • Ɔ̃ɔ̃ • Ɔ̃́ɔ̃́ • Ɔ̃̀ɔ̃̀ • Ɔ̃̂ɔ̃̂ • Ɔ̃̌ɔ̃̌ • Ɔ̃̍ɔ̃̍ • Ɔ̰ɔ̰ • Ɔ̰́ɔ̰́ • Ɔ̰̀ɔ̰̀ • Ɔ̰̄ɔ̰̄ • Ɔ̈ɔ̈ • Ɔ̧ɔ̧ • Ɔ̧́ɔ̧́ • Ɔ̧̀ɔ̧̀ • Ɔ̧̂ɔ̧̂ • Ɔ̧̌ɔ̧̌ • Ɔ̱ɔ̱ • ᴐ • ᴒ • ꬿ • ᶗ •  • Ɵɵ • Ɵ́ɵ́ • Ɵ̀ɵ̀ • Ɵ̂ɵ̂ • Ơơ • Ớớ • Ờờ • Ởở • Ỡỡ • Ợợ • Ơ̆ơ̆ • Ǒǒ • Ǫǫ • Ǭǭ • Ǭ́ǭ́ • Ǭ̀ǭ̀ • Ǭ̂ǭ̂ • Ǭ̌ǭ̌ • Ȍȍ • Ȏȏ • Ȯȯ • Ȱȱ • Ọọ • Ỏỏ • Ốố • Ồồ • Ổổ • Ỗỗ • Ộộ • O̍o̍ • O͘o͘ • Ó͘ó͘ • Ò͘ò͘ • O̍͘o̍͘ • O̊o̊ • O̐o̐ • O̭o̭ • O̧o̧ • O̱o̱ • O̲o̲ • O̤o̤ • Ó̧ó̧ • Ò̧ò̧ • Ô̧ô̧ • Ǒ̧ǒ̧ • Ó̱ó̱ • Ò̱ò̱ • Ô̱ô̱ • Ō̱ō̱ • Ṓ̱ṓ̱ • Ṑ̱ṑ̱ • Ō̱̂ō̱̂ • Ö̱ö̱ • Ǫ́ǫ́ • Ǫ̀ǫ̀ • Ǫ̂ǫ̂ • Ǫ̌ǫ̌ • Ọ́ọ́ • Ọ̀ọ̀ • Ọ̄ọ̄ • Ọ̈ọ̈ • Ó̤ó̤ • Ô̤ô̤ • Ō̤ō̤ • O̤̍o̤̍ • Ò̤ò̤ • Ŏ̤ŏ̤ • O̤̱o̤̱ • O̤̣o̤̣ • O᷆o᷆ • O᷇o᷇ • Ꝋꝋ • Ꝍꝍ • ⱺ • ɶ • ᴏ • ᴑ • ᴓ • ᴖ • ᴗ •  • ꬽ • ꬾ • Ꞝꞝ • Œœ • Œ́œ́ • Œ̀œ̀ • Œ̂œ̂ • Œ̌œ̌ • Œ̄œ̄ • Œ̈œ̈ • ᴔ • ꭀ • ꭁ • ꭂ • ꭣ • Ꝏꝏ • ꭃ • ꭄ • Ȣȣ • ᴕ • Ꜵꜵ • ꭢ

Символы

𝕆 • №

Отрывок, характеризующий Алгебра Кэли

– И ты спокоен? – спросил Ростов…
Долохов остановился. – Вот видишь ли, я тебе в двух словах открою всю тайну дуэли. Ежели ты идешь на дуэль и пишешь завещания да нежные письма родителям, ежели ты думаешь о том, что тебя могут убить, ты – дурак и наверно пропал; а ты иди с твердым намерением его убить, как можно поскорее и повернее, тогда всё исправно. Как мне говаривал наш костромской медвежатник: медведя то, говорит, как не бояться? да как увидишь его, и страх прошел, как бы только не ушел! Ну так то и я. A demain, mon cher! [До завтра, мой милый!]
На другой день, в 8 часов утра, Пьер с Несвицким приехали в Сокольницкий лес и нашли там уже Долохова, Денисова и Ростова. Пьер имел вид человека, занятого какими то соображениями, вовсе не касающимися до предстоящего дела. Осунувшееся лицо его было желто. Он видимо не спал ту ночь. Он рассеянно оглядывался вокруг себя и морщился, как будто от яркого солнца. Два соображения исключительно занимали его: виновность его жены, в которой после бессонной ночи уже не оставалось ни малейшего сомнения, и невинность Долохова, не имевшего никакой причины беречь честь чужого для него человека. «Может быть, я бы то же самое сделал бы на его месте, думал Пьер. Даже наверное я бы сделал то же самое; к чему же эта дуэль, это убийство? Или я убью его, или он попадет мне в голову, в локоть, в коленку. Уйти отсюда, бежать, зарыться куда нибудь», приходило ему в голову. Но именно в те минуты, когда ему приходили такие мысли. он с особенно спокойным и рассеянным видом, внушавшим уважение смотревшим на него, спрашивал: «Скоро ли, и готово ли?»
Когда всё было готово, сабли воткнуты в снег, означая барьер, до которого следовало сходиться, и пистолеты заряжены, Несвицкий подошел к Пьеру.
– Я бы не исполнил своей обязанности, граф, – сказал он робким голосом, – и не оправдал бы того доверия и чести, которые вы мне сделали, выбрав меня своим секундантом, ежели бы я в эту важную минуту, очень важную минуту, не сказал вам всю правду. Я полагаю, что дело это не имеет достаточно причин, и что не стоит того, чтобы за него проливать кровь… Вы были неправы, не совсем правы, вы погорячились…
– Ах да, ужасно глупо… – сказал Пьер.
– Так позвольте мне передать ваше сожаление, и я уверен, что наши противники согласятся принять ваше извинение, – сказал Несвицкий (так же как и другие участники дела и как и все в подобных делах, не веря еще, чтобы дело дошло до действительной дуэли). – Вы знаете, граф, гораздо благороднее сознать свою ошибку, чем довести дело до непоправимого. Обиды ни с одной стороны не было. Позвольте мне переговорить…
– Нет, об чем же говорить! – сказал Пьер, – всё равно… Так готово? – прибавил он. – Вы мне скажите только, как куда ходить, и стрелять куда? – сказал он, неестественно кротко улыбаясь. – Он взял в руки пистолет, стал расспрашивать о способе спуска, так как он до сих пор не держал в руках пистолета, в чем он не хотел сознаваться. – Ах да, вот так, я знаю, я забыл только, – говорил он.
– Никаких извинений, ничего решительно, – говорил Долохов Денисову, который с своей стороны тоже сделал попытку примирения, и тоже подошел к назначенному месту.
Место для поединка было выбрано шагах в 80 ти от дороги, на которой остались сани, на небольшой полянке соснового леса, покрытой истаявшим от стоявших последние дни оттепелей снегом. Противники стояли шагах в 40 ка друг от друга, у краев поляны. Секунданты, размеряя шаги, проложили, отпечатавшиеся по мокрому, глубокому снегу, следы от того места, где они стояли, до сабель Несвицкого и Денисова, означавших барьер и воткнутых в 10 ти шагах друг от друга. Оттепель и туман продолжались; за 40 шагов ничего не было видно. Минуты три всё было уже готово, и всё таки медлили начинать, все молчали.


– Ну, начинать! – сказал Долохов.
– Что же, – сказал Пьер, всё так же улыбаясь. – Становилось страшно. Очевидно было, что дело, начавшееся так легко, уже ничем не могло быть предотвращено, что оно шло само собою, уже независимо от воли людей, и должно было совершиться. Денисов первый вышел вперед до барьера и провозгласил:
– Так как п'отивники отказались от п'ими'ения, то не угодно ли начинать: взять пистолеты и по слову т'и начинать сходиться.
– Г…'аз! Два! Т'и!… – сердито прокричал Денисов и отошел в сторону. Оба пошли по протоптанным дорожкам всё ближе и ближе, в тумане узнавая друг друга. Противники имели право, сходясь до барьера, стрелять, когда кто захочет. Долохов шел медленно, не поднимая пистолета, вглядываясь своими светлыми, блестящими, голубыми глазами в лицо своего противника. Рот его, как и всегда, имел на себе подобие улыбки.
– Так когда хочу – могу стрелять! – сказал Пьер, при слове три быстрыми шагами пошел вперед, сбиваясь с протоптанной дорожки и шагая по цельному снегу. Пьер держал пистолет, вытянув вперед правую руку, видимо боясь как бы из этого пистолета не убить самого себя. Левую руку он старательно отставлял назад, потому что ему хотелось поддержать ею правую руку, а он знал, что этого нельзя было. Пройдя шагов шесть и сбившись с дорожки в снег, Пьер оглянулся под ноги, опять быстро взглянул на Долохова, и потянув пальцем, как его учили, выстрелил. Никак не ожидая такого сильного звука, Пьер вздрогнул от своего выстрела, потом улыбнулся сам своему впечатлению и остановился. Дым, особенно густой от тумана, помешал ему видеть в первое мгновение; но другого выстрела, которого он ждал, не последовало. Только слышны были торопливые шаги Долохова, и из за дыма показалась его фигура. Одной рукой он держался за левый бок, другой сжимал опущенный пистолет. Лицо его было бледно. Ростов подбежал и что то сказал ему.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Алгебра_Кэли&oldid=79193948»