Оператор набла

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Обозначается символом <math>\nabla</math> (набла) (в Юникоде U+2207, ∇).

Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат (ПДСК) оператор набла определяется следующим образом:

<math>\nabla={\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k}</math>,

где <math>\vec i, \vec j, \vec k</math> — единичные векторы по осям <math>x, y, z</math> соответственно.

Также используется следующая запись оператора набла через компоненты:

<math>\nabla= \left\{ {\partial\over\partial x}, {\partial\over\partial y}, {\partial\over\partial z} \right\}</math>.

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ <math>\nabla</math> используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далеких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).

Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор в n-мерном пространстве следующего вида:

<math>\nabla={\partial\over\partial x_1}\vec{e}_1+{\partial\over\partial x_2}\vec{e}_2+...+{\partial\over\partial x_n}\vec{e}_n</math>,

где <math>\vec{e}_1, \vec{e}_2, ..., \vec{e}_n</math> — единичные векторы по осям <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> соответственно.

Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: <math>\vec \nabla</math> — чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного <math>\nabla</math>.

• Иногда (особенно когда речь идет только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.

• Замечание: в физике в наше время название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.

Свойства оператора набла

Этот оператор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если скалярно умножить вектор <math>\nabla</math> на функцию <math>\phi</math>, то получится вектор

<math>\nabla\phi={\partial\phi\over\partial x}\vec{i}+{\partial\phi\over\partial y}\vec{j}+{\partial\phi\over\partial z}\vec{k} = \mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi</math>,

который представляет собой градиент функции <math>\phi</math>.

Если вектор <math>\nabla</math> скалярно умножить на вектор <math>\vec{a}</math>, получится скаляр

<math>\nabla\cdot\vec{a} = \nabla_xa_x+\nabla_ya_y+\nabla_za_z={\partial a_x\over\partial x}+{\partial a_y\over\partial y}+{\partial a_z\over\partial z} = \mathbf{\operatorname{div}}\,\vec a</math>,

то есть дивергенция вектора <math>\vec{a}</math>.

Если <math>\nabla</math> умножить на <math>\vec{a}</math> векторно, то получится ротор вектора <math>\vec{a}</math>:

<math>\nabla \times \vec a = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ {\partial\over\partial x} & {\partial\over\partial y} & {\partial\over\partial z} \\ a_x & a_y & a_z\end{vmatrix} = \left( {\partial{a_z}\over\partial y} - {\partial{a_y}\over\partial z} \right)\vec{i} \ + \ \left( {\partial{a_x}\over\partial z} - {\partial{a_z}\over\partial x} \right)\vec{j} \ + \ \left( {\partial{a_y}\over\partial x} - {\partial{a_x}\over\partial y} \right)\vec{k} = \mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec a</math>

• Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо <math>\nabla \cdot \vec a</math> нередко пишут <math>(\nabla, \vec a)</math>, а вместо <math>\nabla \times \vec a</math> пишут <math>[\nabla,\vec a]</math>; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение <math>\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math> есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также <math>\ \Delta</math>. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

<math>\Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}</math>.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

<math>\mathbf{\operatorname{grad}}(\phi\psi)=\mathbf{\nabla}(\phi\psi)=\psi\mathbf{\nabla}\phi+\phi\mathbf{\nabla}\psi=\psi\,

\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi+\phi \, \mathbf{\operatorname{grad}}\,\psi</math>

<math>\operatorname{div}(\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi)=\nabla\cdot(\nabla\phi)=(\nabla\cdot\nabla)\phi=\nabla^2\phi = \Delta\phi</math>

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

<math>\nabla \cdot \vec v = \stackrel{\downarrow}{\vec v} \cdot \nabla</math>

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

<math>\mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \cdot (\nabla f)</math>

<math>\mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \times (\nabla f)</math>

<math>\Delta f = \nabla^2 f</math>

<math>\mathbf{\operatorname{grad}}\,(\mathbf{\operatorname{div}}\, \vec v ) = \nabla (\nabla \cdot \vec v)</math>

<math>\mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec v)</math>

<math>\mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \times (\nabla \times \vec v)</math>

<math>\Delta \vec v = \nabla^2 \vec v</math>

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

<math>\mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \times (\nabla f) = (\nabla \times \nabla) f = 0</math>

<math>\mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{v}) = (\nabla \times \nabla) \cdot \vec{v} = 0</math>

Два всегда совпадают:

<math> \mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \cdot(\nabla f) = (\nabla \cdot \nabla) f = \nabla^2 f = \Delta f </math>

Три оставшихся связаны соотношением:

<math>(\nabla \times ( \nabla \times \vec{v} ) ) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}</math>

Еще одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

<math>\nabla ( \nabla \cdot \vec{v} ) = \nabla \cdot (\nabla \otimes \vec{v})</math>

Отличия оператора набла от обычного вектора

Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Оператор набла не принадлежит тому же пространству, что и обычные векторы, а говоря точнее, скалярное и векторное произведение для него определено с некоторыми отличиями (в основном сводящимися к тому, что — как это обычно подразумевается — оператор действует на те поля, что стоят от него справа, и не действует на стоящие от него слева, из-за чего скалярное и векторное произведение с участием <math>\nabla</math> не коммутативны и не антикоммутативны, как это свойственно для таких произведений обычных векторов), таким образом, оператор набла не обладает некоторыми свойствами обычных векторов, и следовательно не во всём может вести себя в соответствии с геометрическими свойствами обычного вектора. В частности,

он не коммутирует с векторами:

<math>\nabla \cdot \vec v \ne \vec v \cdot \nabla</math>,

ведь <math>\nabla \cdot \vec v</math> — это дивергенция, то есть в конечном итоге просто скалярная функция координат, а <math>\vec v \cdot \nabla</math> представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля <math>\vec {v}</math>.

Можно дополнительно убедиться в том, что они не совпадают, применив оба выражения к скалярной функции f:

<math>(\nabla \cdot \vec v) f \ne (\vec v \cdot \nabla) f</math>

так как

<math>(\nabla \cdot \vec v) f = \left( \frac{\part v_x}{\part x}+\frac{\part v_y}{\part y}+\frac{\part v_z}{\part z} \right)f = \frac{\part v_x}{\part x}f+\frac{\part v_y}{\part y}f+\frac{\part v_z}{\part z}f </math>

<math>(\vec v \cdot \nabla) f = \left( v_x \frac{\part}{\part x}+v_y \frac{\part}{\part y}+v_z \frac{\part}{\part z} \right) f = v_x \frac{\part f}{\part x}+v_y \frac{\part f}{\part y}+v_z \frac{\part f}{\part z} </math>

Если бы набла был вектором, то смешанное произведение <math>(\vec v,\ \nabla,\ \vec v) \equiv \vec v \cdot (\nabla \times \vec v)</math> было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.

Кроме того, необходимо помнить, на какие векторы и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле, например:

<math>(\nabla x) \times (\nabla y) = \left( \vec i \, \frac{\part x}{\part x}+\vec j \, \frac{\part x}{\part y}+\vec k \, \frac{\part x}{\part z} \right) \times \left( \vec i \, \frac{\part y}{\part x}+\vec j \, \frac{\part y}{\part y}+\vec k \, \frac{\part y}{\part z} \right) = </math>

<math> = (\vec i \cdot 1 +\vec j \cdot 0+\vec k \cdot 0) \times (\vec i \cdot 0+\vec j \cdot 1+\vec k \cdot 0) = \vec i \times \vec j = \vec {k}</math>

(здесь первый оператор набла действует только на поле x, а второй — только на 'y', что как бы жестко фиксирует порядок действий). Тогда как для обычных векторов:

<math>(\vec u x )\times (\vec u y) = x y (\vec u \times \vec u) = x y \vec 0 = \vec {0}</math>

поскольку здесь x и y легко выносятся.

Поэтому для удобства, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой:

<math>(\nabla ; [\vec u; \vec v]) =

(\nabla ; [\stackrel{\downarrow}{\vec u}; \vec v]) + (\nabla ; [\vec u; \stackrel{\downarrow}{\vec v}]) = (\vec v ; [\nabla ; \stackrel{\downarrow}{\vec u}]) - (\vec u ; [\nabla ; \stackrel{\downarrow}{\vec v}]) = \vec v \cdot \mbox{rot} \, \vec u - \vec u \cdot \mbox{rot} \, \vec v</math>

Если оператор не действует на некоторое поле, то частные производные коммутируют во всех выражениях с компонентами этого поля, поэтому поле и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют) во всех выражениях и можно производить чисто алгебраические преобразования.

История

В 1853 году В. Р. Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ <math>\nabla</math> в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах П. Г. Тэта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот), однако позднее английские учёные, в том числе О. Хевисайд, стали называть этот символ «на́бла» из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента наблы, а оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла.

Существует мнение, что <math>\nabla</math> — буква финикийского алфавита, происхождение которой связано с музыкальным инструментом типа арфы. «ναβλα» (набла) на древнегреческом означает «арфа».

Примеры

1. <math>z = xy, \nabla z = {\partial z\over\partial x}\vec{i}+{\partial z\over\partial y}\vec{j} = y\vec{i} + x\vec{j} </math>
2. <math>z = 30yx^3, \nabla z = {\partial z\over\partial x}\vec{i}+{\partial z\over\partial y}\vec{j} = 90yx^2\vec{i} + 30x^3\vec{j}</math>

См. также

• Оператор набла в различных системах координат

Отрывок, характеризующий Оператор набла

На прежнем месте ни чиновника, ни его жены уже не было. Пьер быстрыми шагами ходил между народом, оглядывая разные лица, попадавшиеся ему. Невольно он заметил грузинское или армянское семейство, состоявшее из красивого, с восточным типом лица, очень старого человека, одетого в новый крытый тулуп и новые сапоги, старухи такого же типа и молодой женщины. Очень молодая женщина эта показалась Пьеру совершенством восточной красоты, с ее резкими, дугами очерченными черными бровями и длинным, необыкновенно нежно румяным и красивым лицом без всякого выражения. Среди раскиданных пожитков, в толпе на площади, она, в своем богатом атласном салопе и ярко лиловом платке, накрывавшем ее голову, напоминала нежное тепличное растение, выброшенное на снег. Она сидела на узлах несколько позади старухи и неподвижно большими черными продолговатыми, с длинными ресницами, глазами смотрела в землю. Видимо, она знала свою красоту и боялась за нее. Лицо это поразило Пьера, и он, в своей поспешности, проходя вдоль забора, несколько раз оглянулся на нее. Дойдя до забора и все таки не найдя тех, кого ему было нужно, Пьер остановился, оглядываясь.
Фигура Пьера с ребенком на руках теперь была еще более замечательна, чем прежде, и около него собралось несколько человек русских мужчин и женщин.
– Или потерял кого, милый человек? Сами вы из благородных, что ли? Чей ребенок то? – спрашивали у него.
Пьер отвечал, что ребенок принадлежал женщине и черном салопе, которая сидела с детьми на этом месте, и спрашивал, не знает ли кто ее и куда она перешла.
– Ведь это Анферовы должны быть, – сказал старый дьякон, обращаясь к рябой бабе. – Господи помилуй, господи помилуй, – прибавил он привычным басом.
– Где Анферовы! – сказала баба. – Анферовы еще с утра уехали. А это либо Марьи Николавны, либо Ивановы.
– Он говорит – женщина, а Марья Николавна – барыня, – сказал дворовый человек.
– Да вы знаете ее, зубы длинные, худая, – говорил Пьер.
– И есть Марья Николавна. Они ушли в сад, как тут волки то эти налетели, – сказала баба, указывая на французских солдат.
– О, господи помилуй, – прибавил опять дьякон.
– Вы пройдите вот туда то, они там. Она и есть. Все убивалась, плакала, – сказала опять баба. – Она и есть. Вот сюда то.
Но Пьер не слушал бабу. Он уже несколько секунд, не спуская глаз, смотрел на то, что делалось в нескольких шагах от него. Он смотрел на армянское семейство и двух французских солдат, подошедших к армянам. Один из этих солдат, маленький вертлявый человечек, был одет в синюю шинель, подпоясанную веревкой. На голове его был колпак, и ноги были босые. Другой, который особенно поразил Пьера, был длинный, сутуловатый, белокурый, худой человек с медлительными движениями и идиотическим выражением лица. Этот был одет в фризовый капот, в синие штаны и большие рваные ботфорты. Маленький француз, без сапог, в синей шипели, подойдя к армянам, тотчас же, сказав что то, взялся за ноги старика, и старик тотчас же поспешно стал снимать сапоги. Другой, в капоте, остановился против красавицы армянки и молча, неподвижно, держа руки в карманах, смотрел на нее.
– Возьми, возьми ребенка, – проговорил Пьер, подавая девочку и повелительно и поспешно обращаясь к бабе. – Ты отдай им, отдай! – закричал он почти на бабу, сажая закричавшую девочку на землю, и опять оглянулся на французов и на армянское семейство. Старик уже сидел босой. Маленький француз снял с него последний сапог и похлопывал сапогами один о другой. Старик, всхлипывая, говорил что то, но Пьер только мельком видел это; все внимание его было обращено на француза в капоте, который в это время, медлительно раскачиваясь, подвинулся к молодой женщине и, вынув руки из карманов, взялся за ее шею.
Красавица армянка продолжала сидеть в том же неподвижном положении, с опущенными длинными ресницами, и как будто не видала и не чувствовала того, что делал с нею солдат.
Пока Пьер пробежал те несколько шагов, которые отделяли его от французов, длинный мародер в капоте уж рвал с шеи армянки ожерелье, которое было на ней, и молодая женщина, хватаясь руками за шею, кричала пронзительным голосом.
– Laissez cette femme! [Оставьте эту женщину!] – бешеным голосом прохрипел Пьер, схватывая длинного, сутоловатого солдата за плечи и отбрасывая его. Солдат упал, приподнялся и побежал прочь. Но товарищ его, бросив сапоги, вынул тесак и грозно надвинулся на Пьера.
– Voyons, pas de betises! [Ну, ну! Не дури!] – крикнул он.
Пьер был в том восторге бешенства, в котором он ничего не помнил и в котором силы его удесятерялись. Он бросился на босого француза и, прежде чем тот успел вынуть свой тесак, уже сбил его с ног и молотил по нем кулаками. Послышался одобрительный крик окружавшей толпы, в то же время из за угла показался конный разъезд французских уланов. Уланы рысью подъехали к Пьеру и французу и окружили их. Пьер ничего не помнил из того, что было дальше. Он помнил, что он бил кого то, его били и что под конец он почувствовал, что руки его связаны, что толпа французских солдат стоит вокруг него и обыскивает его платье.
– Il a un poignard, lieutenant, [Поручик, у него кинжал,] – были первые слова, которые понял Пьер.
– Ah, une arme! [А, оружие!] – сказал офицер и обратился к босому солдату, который был взят с Пьером.
– C'est bon, vous direz tout cela au conseil de guerre, [Хорошо, хорошо, на суде все расскажешь,] – сказал офицер. И вслед за тем повернулся к Пьеру: – Parlez vous francais vous? [Говоришь ли по французски?]
Пьер оглядывался вокруг себя налившимися кровью глазами и не отвечал. Вероятно, лицо его показалось очень страшно, потому что офицер что то шепотом сказал, и еще четыре улана отделились от команды и стали по обеим сторонам Пьера.
– Parlez vous francais? – повторил ему вопрос офицер, держась вдали от него. – Faites venir l'interprete. [Позовите переводчика.] – Из за рядов выехал маленький человечек в штатском русском платье. Пьер по одеянию и говору его тотчас же узнал в нем француза одного из московских магазинов.
– Il n'a pas l'air d'un homme du peuple, [Он не похож на простолюдина,] – сказал переводчик, оглядев Пьера.
– Oh, oh! ca m'a bien l'air d'un des incendiaires, – смазал офицер. – Demandez lui ce qu'il est? [О, о! он очень похож на поджигателя. Спросите его, кто он?] – прибавил он.
– Ти кто? – спросил переводчик. – Ти должно отвечать начальство, – сказал он.
– Je ne vous dirai pas qui je suis. Je suis votre prisonnier. Emmenez moi, [Я не скажу вам, кто я. Я ваш пленный. Уводите меня,] – вдруг по французски сказал Пьер.
– Ah, Ah! – проговорил офицер, нахмурившись. – Marchons! [A! A! Ну, марш!]
Около улан собралась толпа. Ближе всех к Пьеру стояла рябая баба с девочкою; когда объезд тронулся, она подвинулась вперед.
– Куда же это ведут тебя, голубчик ты мой? – сказала она. – Девочку то, девочку то куда я дену, коли она не ихняя! – говорила баба.
– Qu'est ce qu'elle veut cette femme? [Чего ей нужно?] – спросил офицер.
Пьер был как пьяный. Восторженное состояние его еще усилилось при виде девочки, которую он спас.
– Ce qu'elle dit? – проговорил он. – Elle m'apporte ma fille que je viens de sauver des flammes, – проговорил он. – Adieu! [Чего ей нужно? Она несет дочь мою, которую я спас из огня. Прощай!] – и он, сам не зная, как вырвалась у него эта бесцельная ложь, решительным, торжественным шагом пошел между французами.
Разъезд французов был один из тех, которые были посланы по распоряжению Дюронеля по разным улицам Москвы для пресечения мародерства и в особенности для поимки поджигателей, которые, по общему, в тот день проявившемуся, мнению у французов высших чинов, были причиною пожаров. Объехав несколько улиц, разъезд забрал еще человек пять подозрительных русских, одного лавочника, двух семинаристов, мужика и дворового человека и нескольких мародеров. Но из всех подозрительных людей подозрительнее всех казался Пьер. Когда их всех привели на ночлег в большой дом на Зубовском валу, в котором была учреждена гауптвахта, то Пьера под строгим караулом поместили отдельно.


В Петербурге в это время в высших кругах, с большим жаром чем когда нибудь, шла сложная борьба партий Румянцева, французов, Марии Феодоровны, цесаревича и других, заглушаемая, как всегда, трубением придворных трутней. Но спокойная, роскошная, озабоченная только призраками, отражениями жизни, петербургская жизнь шла по старому; и из за хода этой жизни надо было делать большие усилия, чтобы сознавать опасность и то трудное положение, в котором находился русский народ. Те же были выходы, балы, тот же французский театр, те же интересы дворов, те же интересы службы и интриги. Только в самых высших кругах делались усилия для того, чтобы напоминать трудность настоящего положения. Рассказывалось шепотом о том, как противоположно одна другой поступили, в столь трудных обстоятельствах, обе императрицы. Императрица Мария Феодоровна, озабоченная благосостоянием подведомственных ей богоугодных и воспитательных учреждений, сделала распоряжение об отправке всех институтов в Казань, и вещи этих заведений уже были уложены. Императрица же Елизавета Алексеевна на вопрос о том, какие ей угодно сделать распоряжения, с свойственным ей русским патриотизмом изволила ответить, что о государственных учреждениях она не может делать распоряжений, так как это касается государя; о том же, что лично зависит от нее, она изволила сказать, что она последняя выедет из Петербурга.
У Анны Павловны 26 го августа, в самый день Бородинского сражения, был вечер, цветком которого должно было быть чтение письма преосвященного, написанного при посылке государю образа преподобного угодника Сергия. Письмо это почиталось образцом патриотического духовного красноречия. Прочесть его должен был сам князь Василий, славившийся своим искусством чтения. (Он же читывал и у императрицы.) Искусство чтения считалось в том, чтобы громко, певуче, между отчаянным завыванием и нежным ропотом переливать слова, совершенно независимо от их значения, так что совершенно случайно на одно слово попадало завывание, на другие – ропот. Чтение это, как и все вечера Анны Павловны, имело политическое значение. На этом вечере должно было быть несколько важных лиц, которых надо было устыдить за их поездки во французский театр и воодушевить к патриотическому настроению. Уже довольно много собралось народа, но Анна Павловна еще не видела в гостиной всех тех, кого нужно было, и потому, не приступая еще к чтению, заводила общие разговоры.
Новостью дня в этот день в Петербурге была болезнь графини Безуховой. Графиня несколько дней тому назад неожиданно заболела, пропустила несколько собраний, которых она была украшением, и слышно было, что она никого не принимает и что вместо знаменитых петербургских докторов, обыкновенно лечивших ее, она вверилась какому то итальянскому доктору, лечившему ее каким то новым и необыкновенным способом.