Момент импульса

Момент импульса
<math>\vec L = \left[\vec r \times \vec p\,\right]</math>
Размерность	L2MT−1
Единицы измерения
СИ	м2·кг·с−1
СГС	см2·г·с−1
Примечания
псевдовектор

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется. Момент импульса является одним из трёх аддитивных (энергия, импульс, момент импульса) интегралов движения.

Момент импульса в классической механике

Определение

Момент импульса <math>\mathbf L</math> материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

<math>\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p},</math>

где <math>\mathbf r</math> — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, <math>\mathbf p</math> — импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

<math>\mathbf{L}=\sum_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i,</math>

где <math>\mathbf r_i, \mathbf p_i</math> — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как <math>\mathbf{L}=\int\mathbf{r}\times\mathbf{dp},</math> где <math>\mathbf{dp}</math> — импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

<math>\mathbf{L}_\Sigma = \sum\limits_i \mathbf{L}_i</math>.

• Замечание: в принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела и т.п.).

Вычисление момента

Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам <math>\mathbf r</math> и <math>\mathbf p</math>. Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.

<math>L = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin \theta_{r,\;p},</math>

где <math>\theta_{r,\;p}</math> — угол между <math>\mathbf r</math> и <math>\mathbf p</math>, определяемый так, чтобы поворот от <math>\mathbf r</math> к <math>\mathbf p</math> производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем <math>\mathbf r</math> в виде <math>\mathbf{r} = \mathbf{r_{\parallel}}+\mathbf{r_{\perp}}</math>, где <math>\mathbf{r_{\parallel}}</math> — составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а <math>\mathbf{r_{\perp}}</math> — аналогично, перпендикулярная ему. <math>\mathbf{r_{\perp}}</math> является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора <math>\mathbf p</math>, которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору <math>\mathbf{p_{\parallel}}</math> и перпендикулярную ему <math>\mathbf{p_{\perp}}</math>. Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить ещё два выражения для <math>L</math>.

<math>\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = (\mathbf{r_{\perp}}+\mathbf{r_{\parallel}})\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p} + \mathbf{r_{\parallel}}\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p}.</math>

<math>\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = \mathbf{r}\times (\mathbf{p_{\perp}}+\mathbf{p_{\parallel}}) = \mathbf{r}\times\mathbf{p_{\perp}}.</math>

Сохранение момента импульса

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	…4-импульса
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента): векторная сумма всех моментов импульса относительно любой неподвижной точки (или сумма моментов относительно любой неподвижной оси) для замкнутой системы остается постоянной со временем.

Производная момента импульса по времени есть момент силы:

<math>\tau = \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}, </math>

Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

<math>\mathbf{L}_{\mathrm{system}} = \mathrm{constant} \leftrightarrow \sum \tau_{\mathrm{ext}} = 0, </math>

где <math>\tau_{\rm ext}</math> — момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).

По теореме Нётер закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол <math>\delta \varphi</math>, радиус-вектор частицы с номером <math>i</math> изменятся на <math>\delta \mathbf{r}_i = \delta \varphi \times \mathbf{r}_i</math>, а скорости — <math>\delta \mathbf{v}_i = \delta \varphi \times \mathbf{v}_i</math>. Функция Лагранжа <math>\mathcal L</math> системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

<math>\delta \mathcal L = \mathcal L(\mathbf{r}_i + \delta\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i + \delta\mathbf{v}_i) - \mathcal L(\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i) = \sum \limits_i \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} \delta \varphi \times\mathbf r_i + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} \delta \varphi \times \mathbf v_i \right)= 0. </math>

С учетом <math>\frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf v_{i}}} = \mathbf {p_{i}},\; \frac{\partial \mathcal {L}}{\partial \mathbf {r_{i}}} = \mathbf {\dot p_{i}}</math>, где <math>\mathbf p_i</math> — обобщенный импульс <math>i</math>-той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде

<math>\dot {\mathbf p_i} \,\delta \varphi \times \mathbf r_i + \mathbf p_i\,\delta \varphi \times \mathbf {\dot r_i}.</math>

Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения, совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:

<math>\delta \mathcal L = \delta \varphi \sum \limits_i \left( \mathbf r_i \times \dot {\mathbf p_i} + \dot {\mathbf r_i} \times \mathbf p_i \right) = \delta \varphi \frac{d}{dt} \sum \limits_i (\mathbf r_i \times \mathbf p_i) = \delta \varphi \frac{d \mathbf L}{dt} = 0, </math>

где, <math>\mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i</math> — момент импульса системы. Ввиду произвольности <math>\delta \varphi</math>, из равенства <math>\delta \mathcal L = 0</math> следует <math>\frac{d \mathbf L}{dt} = 0</math>.

На орбите момент импульса распределяется между моментами импульса собственного вращения планеты и её орбитального движения:

<math>\mathbf{L}_{\mathrm{total}} = \mathbf{L}_{\mathrm{spin}} + \mathbf{L}_{\mathrm{orbit}}

.</math>

Импульс момента силы

От момента импульса нужно отличать импульс момента силы. Во вращательном движении момент силы, действуя в течение определённого времени, создаёт импульс момента силы (единица измерения — Н·м·с). Импульс момента силы — это мера воздействия момента силы относительно данной оси за данный промежуток времени (во вращательном движении):

<math>\vec M = \int\limits_{t_0}^t [\vec r ; \vec{F}(t)] \; \mathrm{d}\,t</math>

где <math>[\cdot;\cdot]</math> — векторное произведение.

Момент импульса в электродинамике

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле, канонический импульс <math>p</math> не является инвариантным. Как следствие, канонический момент импульса <math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} </math> тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:

<math>\mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c},</math>

где <math>e</math> — электрический заряд, <math>c</math> — скорость света, <math>A</math> — векторный потенциал. Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы <math>m</math> в электромагнитном поле:

<math> H =\frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right)^2 + e\varphi,</math>

где <math>\varphi</math> — скалярный потенциал. Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса или «кинетический момент импульса» определяется:

<math>K= \mathbf{r} \times \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right).</math>

Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента

В квантовой механике момент импульса квантуется, то есть он может изменяться только по «квантовым уровням» между точно определенными значениями. Проекция на любую ось момента импульса частиц, обусловленного их пространственным движением, должна быть целым числом, умноженным на <math>\hbar</math> (<math>h</math> с чертой), определяемой, как постоянная Планка, поделенная на <math>2 \pi </math>. Эксперименты показывают, что большинство частиц имеют постоянный внутренний момент импульса, который не зависит от их движения через пространство. Этот спиновой момент импульса всегда кратен <math>\hbar/2</math>. Например, электрон в состоянии покоя имеет момент импульса <math>\hbar/2</math>.

В классическом определении момент импульса зависит от 6 переменных <math>r_x</math>, <math>r_y</math>, <math>r_z</math>, <math>p_x</math>, <math>p_y</math>, и <math>p_z</math>. Переводя это на квантовомеханические определения, используя принцип неопределенности Гейзенберга, получаем, что невозможно вычислить все шесть переменных одновременно с любой точностью. Поэтому есть ограничение на то, что мы можем узнать или подсчитать о практическом моменте импульса. Это значит, что лучшее, что мы можем сделать — это подсчитать одновременно величину вектора момента импульса и какой-либо одной его компоненты (проекции).

Математически полный момент импульса в квантовой механике определяется как оператор физической величины из суммы двух частей, связанных с пространственным движением — в атомной физике такой момент называют орбитальным, и внутренним спином частицы — соответственно, спиновым. Первый оператор действует на пространственные зависимости волновой функции:

<math>\hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}},</math>

где <math>\hat{\mathbf{r}}</math> и <math>\hat{\mathbf{p}}</math> — координатный и импульсный оператор, соответственно, а второй — на внутренние, спиновые. В частности, для одной частицы без электрического заряда и без спина, оператор углового момента может быть записан как:

<math>\hat{\mathbf{L}}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla),</math>

где <math>\nabla</math> — оператор набла. Это часто встречающаяся форма оператора момента импульса, но не самая главная, она имеет следующие свойства:

<math>[L_i,\; L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k, \quad\left[L_i,\; \mathbf{L}^2 \right] = 0</math>, где <math>\varepsilon_{ijk}</math> — Символ Леви-Чивиты;

и даже более важные подстановки с гамильтонианом частицы без заряда и спина:

<math>\left[L_i,\; H \right] = 0</math>

Симметрия вращения

Операторы момента импульса обычно встречаются при решении задач сферической симметрии в сферических координатах. Тогда момент импульса в пространственном отображении:

<math> -\frac{1}{\hbar^2} \mathbf{L}^2 = \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} </math>

Когда находят собственные значения этого оператора, получают следующее:

<math> L^2 \mid l,\; m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) \mid l,\; m \rang </math>

<math> L_z \mid l,\; m \rang = \hbar m \mid l,\; m \rang, </math>

где <math>l</math>, <math>m</math> - целые числа, такие что <math>-l \le m \le l</math>, а

<math>\lang \theta ,\; \varphi \mid l,\; m \rang = Y_{l,\;m}(\theta,\;\varphi)</math>

— сферические функции.

Вычисление момента импульса в нерелятивистской механике

Если имеется материальная точка массой <math>m</math>, двигающаяся со скоростью <math>\mathbf{v}</math> и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором <math>\mathbf{r}</math>, то момент импульса вычисляется по формуле:

<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v},</math>

где <math>\times</math> — знак векторного произведения.

Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:

<math>\mathbf L = \int\limits_V {\mathbf{dL}} = \int\limits_V {\mathbf r\times \mathbf v \, dm}. </math>

Можно переписать это через плотность <math>\rho</math>:

<math>\mathbf L = \int\limits_V {\mathbf r\times \mathbf v \rho dV}. </math>

(Если считать, что <math>\rho(x,y,z)</math> — обобщенная функция, включающая, возможно, и дельтообразные члены, то последняя формула применима и к распределенным, и к дискретным системам).

Для систем, совершающих вращение как целое (как абсолютно твёрдое тело) вокруг одной из осей симметрии (или, в более общем виде — вокруг так называемых главных осей инерции тела), справедливо соотношение

<math>\mathbf{L}= I \boldsymbol{\omega},</math>

где <math>I</math> — момент инерции относительно оси вращения, <math>\boldsymbol\omega</math> — вектор угловой скорости.

В общем случае вектор момента связан с вектором угловой скорости через линейный оператор момента инерции (тензор инерции):

<math>\mathbf{L} = \hat I \boldsymbol{\omega}</math>

• За начало отсчета при вычислении моментов инерции или тензора инерции в принципе может быть взята любая ось или точка, при этом будут получены разные величины, связанные друг с другом через теорему Штейнера. Однако практически по умолчанию обычно выбирается центр масс или закрепленная ось (центр), что является чаще всего и более удобным.

См. также

• Момент инерции
• Момент силы
• Моменты инерции некоторых тел

Литература

• Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720 с.
• Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/VarshalovichMoskalevHersonskij1975ru.djvu Квантовая теория углового момента]. — Л.: Наука, 1975. — 441 с.
• Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М.: Мир, 1993. — 352 с.

Ссылки

• [www.youtube.com/watch?v=9pjB7Rq534c Момент импульса, «Кошка Конопаткина»]

Отрывок, характеризующий Момент импульса

«Что он теперь? Он сконфужен? Рассержен? Надо поправить это?» спрашивала она сама себя. Она не могла удержаться, чтобы не оглянуться. Она прямо в глаза взглянула ему, и его близость и уверенность, и добродушная ласковость улыбки победили ее. Она улыбнулась точно так же, как и он, глядя прямо в глаза ему. И опять она с ужасом чувствовала, что между ним и ею нет никакой преграды.
Опять поднялась занавесь. Анатоль вышел из ложи, спокойный и веселый. Наташа вернулась к отцу в ложу, совершенно уже подчиненная тому миру, в котором она находилась. Всё, что происходило перед ней, уже казалось ей вполне естественным; но за то все прежние мысли ее о женихе, о княжне Марье, о деревенской жизни ни разу не пришли ей в голову, как будто всё то было давно, давно прошедшее.
В четвертом акте был какой то чорт, который пел, махая рукою до тех пор, пока не выдвинули под ним доски, и он не опустился туда. Наташа только это и видела из четвертого акта: что то волновало и мучило ее, и причиной этого волнения был Курагин, за которым она невольно следила глазами. Когда они выходили из театра, Анатоль подошел к ним, вызвал их карету и подсаживал их. Подсаживая Наташу, он пожал ей руку выше локтя. Наташа, взволнованная и красная, оглянулась на него. Он, блестя своими глазами и нежно улыбаясь, смотрел на нее.

Только приехав домой, Наташа могла ясно обдумать всё то, что с ней было, и вдруг вспомнив князя Андрея, она ужаснулась, и при всех за чаем, за который все сели после театра, громко ахнула и раскрасневшись выбежала из комнаты. – «Боже мой! Я погибла! сказала она себе. Как я могла допустить до этого?» думала она. Долго она сидела закрыв раскрасневшееся лицо руками, стараясь дать себе ясный отчет в том, что было с нею, и не могла ни понять того, что с ней было, ни того, что она чувствовала. Всё казалось ей темно, неясно и страшно. Там, в этой огромной, освещенной зале, где по мокрым доскам прыгал под музыку с голыми ногами Duport в курточке с блестками, и девицы, и старики, и голая с спокойной и гордой улыбкой Элен в восторге кричали браво, – там под тенью этой Элен, там это было всё ясно и просто; но теперь одной, самой с собой, это было непонятно. – «Что это такое? Что такое этот страх, который я испытывала к нему? Что такое эти угрызения совести, которые я испытываю теперь»? думала она.
Одной старой графине Наташа в состоянии была бы ночью в постели рассказать всё, что она думала. Соня, она знала, с своим строгим и цельным взглядом, или ничего бы не поняла, или ужаснулась бы ее признанию. Наташа одна сама с собой старалась разрешить то, что ее мучило.
«Погибла ли я для любви князя Андрея или нет? спрашивала она себя и с успокоительной усмешкой отвечала себе: Что я за дура, что я спрашиваю это? Что ж со мной было? Ничего. Я ничего не сделала, ничем не вызвала этого. Никто не узнает, и я его не увижу больше никогда, говорила она себе. Стало быть ясно, что ничего не случилось, что не в чем раскаиваться, что князь Андрей может любить меня и такою . Но какою такою ? Ах Боже, Боже мой! зачем его нет тут»! Наташа успокоивалась на мгновенье, но потом опять какой то инстинкт говорил ей, что хотя всё это и правда и хотя ничего не было – инстинкт говорил ей, что вся прежняя чистота любви ее к князю Андрею погибла. И она опять в своем воображении повторяла весь свой разговор с Курагиным и представляла себе лицо, жесты и нежную улыбку этого красивого и смелого человека, в то время как он пожал ее руку.


Анатоль Курагин жил в Москве, потому что отец отослал его из Петербурга, где он проживал больше двадцати тысяч в год деньгами и столько же долгами, которые кредиторы требовали с отца.
Отец объявил сыну, что он в последний раз платит половину его долгов; но только с тем, чтобы он ехал в Москву в должность адъютанта главнокомандующего, которую он ему выхлопотал, и постарался бы там наконец сделать хорошую партию. Он указал ему на княжну Марью и Жюли Карагину.
Анатоль согласился и поехал в Москву, где остановился у Пьера. Пьер принял Анатоля сначала неохотно, но потом привык к нему, иногда ездил с ним на его кутежи и, под предлогом займа, давал ему деньги.
Анатоль, как справедливо говорил про него Шиншин, с тех пор как приехал в Москву, сводил с ума всех московских барынь в особенности тем, что он пренебрегал ими и очевидно предпочитал им цыганок и французских актрис, с главою которых – mademoiselle Georges, как говорили, он был в близких сношениях. Он не пропускал ни одного кутежа у Данилова и других весельчаков Москвы, напролет пил целые ночи, перепивая всех, и бывал на всех вечерах и балах высшего света. Рассказывали про несколько интриг его с московскими дамами, и на балах он ухаживал за некоторыми. Но с девицами, в особенности с богатыми невестами, которые были большей частью все дурны, он не сближался, тем более, что Анатоль, чего никто не знал, кроме самых близких друзей его, был два года тому назад женат. Два года тому назад, во время стоянки его полка в Польше, один польский небогатый помещик заставил Анатоля жениться на своей дочери.
Анатоль весьма скоро бросил свою жену и за деньги, которые он условился высылать тестю, выговорил себе право слыть за холостого человека.
Анатоль был всегда доволен своим положением, собою и другими. Он был инстинктивно всем существом своим убежден в том, что ему нельзя было жить иначе, чем как он жил, и что он никогда в жизни не сделал ничего дурного. Он не был в состоянии обдумать ни того, как его поступки могут отозваться на других, ни того, что может выйти из такого или такого его поступка. Он был убежден, что как утка сотворена так, что она всегда должна жить в воде, так и он сотворен Богом так, что должен жить в тридцать тысяч дохода и занимать всегда высшее положение в обществе. Он так твердо верил в это, что, глядя на него, и другие были убеждены в этом и не отказывали ему ни в высшем положении в свете, ни в деньгах, которые он, очевидно, без отдачи занимал у встречного и поперечного.
Он не был игрок, по крайней мере никогда не желал выигрыша. Он не был тщеславен. Ему было совершенно всё равно, что бы об нем ни думали. Еще менее он мог быть повинен в честолюбии. Он несколько раз дразнил отца, портя свою карьеру, и смеялся над всеми почестями. Он был не скуп и не отказывал никому, кто просил у него. Одно, что он любил, это было веселье и женщины, и так как по его понятиям в этих вкусах не было ничего неблагородного, а обдумать то, что выходило для других людей из удовлетворения его вкусов, он не мог, то в душе своей он считал себя безукоризненным человеком, искренно презирал подлецов и дурных людей и с спокойной совестью высоко носил голову.
У кутил, у этих мужских магдалин, есть тайное чувство сознания невинности, такое же, как и у магдалин женщин, основанное на той же надежде прощения. «Ей всё простится, потому что она много любила, и ему всё простится, потому что он много веселился».
Долохов, в этом году появившийся опять в Москве после своего изгнания и персидских похождений, и ведший роскошную игорную и кутежную жизнь, сблизился с старым петербургским товарищем Курагиным и пользовался им для своих целей.
Анатоль искренно любил Долохова за его ум и удальство. Долохов, которому были нужны имя, знатность, связи Анатоля Курагина для приманки в свое игорное общество богатых молодых людей, не давая ему этого чувствовать, пользовался и забавлялся Курагиным. Кроме расчета, по которому ему был нужен Анатоль, самый процесс управления чужою волей был наслаждением, привычкой и потребностью для Долохова.
Наташа произвела сильное впечатление на Курагина. Он за ужином после театра с приемами знатока разобрал перед Долоховым достоинство ее рук, плеч, ног и волос, и объявил свое решение приволокнуться за нею. Что могло выйти из этого ухаживанья – Анатоль не мог обдумать и знать, как он никогда не знал того, что выйдет из каждого его поступка.
– Хороша, брат, да не про нас, – сказал ему Долохов.
– Я скажу сестре, чтобы она позвала ее обедать, – сказал Анатоль. – А?
– Ты подожди лучше, когда замуж выйдет…
– Ты знаешь, – сказал Анатоль, – j'adore les petites filles: [обожаю девочек:] – сейчас потеряется.
– Ты уж попался раз на petite fille [девочке], – сказал Долохов, знавший про женитьбу Анатоля. – Смотри!
– Ну уж два раза нельзя! А? – сказал Анатоль, добродушно смеясь.


Следующий после театра день Ростовы никуда не ездили и никто не приезжал к ним. Марья Дмитриевна о чем то, скрывая от Наташи, переговаривалась с ее отцом. Наташа догадывалась, что они говорили о старом князе и что то придумывали, и ее беспокоило и оскорбляло это. Она всякую минуту ждала князя Андрея, и два раза в этот день посылала дворника на Вздвиженку узнавать, не приехал ли он. Он не приезжал. Ей было теперь тяжеле, чем первые дни своего приезда. К нетерпению и грусти ее о нем присоединились неприятное воспоминание о свидании с княжной Марьей и с старым князем, и страх и беспокойство, которым она не знала причины. Ей всё казалось, что или он никогда не приедет, или что прежде, чем он приедет, с ней случится что нибудь. Она не могла, как прежде, спокойно и продолжительно, одна сама с собой думать о нем. Как только она начинала думать о нем, к воспоминанию о нем присоединялось воспоминание о старом князе, о княжне Марье и о последнем спектакле, и о Курагине. Ей опять представлялся вопрос, не виновата ли она, не нарушена ли уже ее верность князю Андрею, и опять она заставала себя до малейших подробностей воспоминающею каждое слово, каждый жест, каждый оттенок игры выражения на лице этого человека, умевшего возбудить в ней непонятное для нее и страшное чувство. На взгляд домашних, Наташа казалась оживленнее обыкновенного, но она далеко была не так спокойна и счастлива, как была прежде.
В воскресение утром Марья Дмитриевна пригласила своих гостей к обедни в свой приход Успенья на Могильцах.
– Я этих модных церквей не люблю, – говорила она, видимо гордясь своим свободомыслием. – Везде Бог один. Поп у нас прекрасный, служит прилично, так это благородно, и дьякон тоже. Разве от этого святость какая, что концерты на клиросе поют? Не люблю, одно баловство!
Марья Дмитриевна любила воскресные дни и умела праздновать их. Дом ее бывал весь вымыт и вычищен в субботу; люди и она не работали, все были празднично разряжены, и все бывали у обедни. К господскому обеду прибавлялись кушанья, и людям давалась водка и жареный гусь или поросенок. Но ни на чем во всем доме так не бывал заметен праздник, как на широком, строгом лице Марьи Дмитриевны, в этот день принимавшем неизменяемое выражение торжественности.
Когда напились кофе после обедни, в гостиной с снятыми чехлами, Марье Дмитриевне доложили, что карета готова, и она с строгим видом, одетая в парадную шаль, в которой она делала визиты, поднялась и объявила, что едет к князю Николаю Андреевичу Болконскому, чтобы объясниться с ним насчет Наташи.
После отъезда Марьи Дмитриевны, к Ростовым приехала модистка от мадам Шальме, и Наташа, затворив дверь в соседней с гостиной комнате, очень довольная развлечением, занялась примериваньем новых платьев. В то время как она, надев сметанный на живую нитку еще без рукавов лиф и загибая голову, гляделась в зеркало, как сидит спинка, она услыхала в гостиной оживленные звуки голоса отца и другого, женского голоса, который заставил ее покраснеть. Это был голос Элен. Не успела Наташа снять примериваемый лиф, как дверь отворилась и в комнату вошла графиня Безухая, сияющая добродушной и ласковой улыбкой, в темнолиловом, с высоким воротом, бархатном платье.
– Ah, ma delicieuse! [О, моя прелестная!] – сказала она красневшей Наташе. – Charmante! [Очаровательна!] Нет, это ни на что не похоже, мой милый граф, – сказала она вошедшему за ней Илье Андреичу. – Как жить в Москве и никуда не ездить? Нет, я от вас не отстану! Нынче вечером у меня m lle Georges декламирует и соберутся кое кто; и если вы не привезете своих красавиц, которые лучше m lle Georges, то я вас знать не хочу. Мужа нет, он уехал в Тверь, а то бы я его за вами прислала. Непременно приезжайте, непременно, в девятом часу. – Она кивнула головой знакомой модистке, почтительно присевшей ей, и села на кресло подле зеркала, живописно раскинув складки своего бархатного платья. Она не переставала добродушно и весело болтать, беспрестанно восхищаясь красотой Наташи. Она рассмотрела ее платья и похвалила их, похвалилась и своим новым платьем en gaz metallique, [из газа цвета металла,] которое она получила из Парижа и советовала Наташе сделать такое же.
– Впрочем, вам все идет, моя прелестная, – говорила она.
С лица Наташи не сходила улыбка удовольствия. Она чувствовала себя счастливой и расцветающей под похвалами этой милой графини Безуховой, казавшейся ей прежде такой неприступной и важной дамой, и бывшей теперь такой доброй с нею. Наташе стало весело и она чувствовала себя почти влюбленной в эту такую красивую и такую добродушную женщину. Элен с своей стороны искренно восхищалась Наташей и желала повеселить ее. Анатоль просил ее свести его с Наташей, и для этого она приехала к Ростовым. Мысль свести брата с Наташей забавляла ее.
Несмотря на то, что прежде у нее была досада на Наташу за то, что она в Петербурге отбила у нее Бориса, она теперь и не думала об этом, и всей душой, по своему, желала добра Наташе. Уезжая от Ростовых, она отозвала в сторону свою protegee.
– Вчера брат обедал у меня – мы помирали со смеху – ничего не ест и вздыхает по вас, моя прелесть. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chere. [Он сходит с ума, но сходит с ума от любви к вам, моя милая.]
Наташа багрово покраснела услыхав эти слова.
– Как краснеет, как краснеет, ma delicieuse! [моя прелесть!] – проговорила Элен. – Непременно приезжайте. Si vous aimez quelqu'un, ma delicieuse, ce n'est pas une raison pour se cloitrer. Si meme vous etes promise, je suis sure que votre рromis aurait desire que vous alliez dans le monde en son absence plutot que de deperir d'ennui. [Из того, что вы любите кого нибудь, моя прелестная, никак не следует жить монашенкой. Даже если вы невеста, я уверена, что ваш жених предпочел бы, чтобы вы в его отсутствии выезжали в свет, чем погибали со скуки.]
«Стало быть она знает, что я невеста, стало быть и oни с мужем, с Пьером, с этим справедливым Пьером, думала Наташа, говорили и смеялись про это. Стало быть это ничего». И опять под влиянием Элен то, что прежде представлялось страшным, показалось простым и естественным. «И она такая grande dame, [важная барыня,] такая милая и так видно всей душой любит меня, думала Наташа. И отчего не веселиться?» думала Наташа, удивленными, широко раскрытыми глазами глядя на Элен.
К обеду вернулась Марья Дмитриевна, молчаливая и серьезная, очевидно понесшая поражение у старого князя. Она была еще слишком взволнована от происшедшего столкновения, чтобы быть в силах спокойно рассказать дело. На вопрос графа она отвечала, что всё хорошо и что она завтра расскажет. Узнав о посещении графини Безуховой и приглашении на вечер, Марья Дмитриевна сказала: